1、1第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分的概念和计算方法 第十章 2一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M.密度函数为3定义定义.设,),(,),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素体积元素,vd.dddzyx若对 作任意分割任意分
2、割:任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘积和式”极限记作记作由定义可知,引例中物体的质量为:vdzyxM,特别若在1,zyxf上那么三重积分在数值上就等于区域的体积即:VdV4性质性质:三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积,三重积分存在定理:当函数zyxfzyxf,上连续时在闭区域在区域上的三重积分必定存在,此时称函数.,上是可积的在zyxf5二、三重积分的计算二、三重积分的计算1）利用直角坐标计
3、算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法2.投影法(“先一后二”)方法方法3.截面法(“先二后一”)方法方法1.三次积分法,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:6投影法方法方法1.三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxdzxyD),(2yxzz),(1yxzz 二次积分即得:vzyxfd),(Dyxzyxzz
4、zyxfyx),(),(21d),(dd)(2xyxoyDbax)(1xy7其中 为三个坐标例例1.计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域.1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21(dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x)1(021dxy10d xx481面及平面8zxyDDyxdd 方法方法2.投影法投影法(“先一后二先一后二”)Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDy
5、xzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz),(1yxzz yxdd微元线密度记作9例例2:计算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.0yzx22解法一解法一:采用先对z积分,将Izdzxx20sinydyx0 xd20 xd20ydxyxcos0241.面上区域投影到xoy200:20:xxyDxzyx10解法二解法二;采用先对0yzx222020:0:xxzDxyzxIzdzxx20sinydyx0 xd20 xdx2021zdzxx)(sin20241.面上区域投影到xozy积分
6、,将例例2:计算是由平面其中zdydxdzxyIsin200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.112020:2:22yyzDzxyzyIzdy220 xdzxzy22sinydy20241.面上区域投影到zoyx积分,将解法三解法三;采用先对例例2:计算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.0yzx2212一般在解题时,首先应该根据区域的具体情况,考虑它对那个坐标面投影比较方便,从而决定采用先对那个变量积分的积分的次序.此题用解法三麻烦.13ab方法方法3.截面法截面法(“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底,d z 为高的柱形薄片质量为z
7、D以xyz该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作14xyz例例3.计算三重积分,ddd2zyxz.1:222222czbyax其中解解:zyxzddd2czczbaz0222d)1(2czc2222221:czbyaxDzzDyxddczz02d23154cbaabc用用“先二后一先二后一”zDz15220:20:2xyxzDyyIydy20 xdy22zdzxx)(sin20241解法四解法四:若注意到变量y的取值介于两个常数,0y2y之间,且在y处用平行于坐标面zo
8、x的平面去截:,则有其截面域yDzdxdzxyDsinydy20先二后一0yzx22例例2:计算是由平面其中zdydxdzxyIsin200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.16小结小结:三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法2.“先一后二先一后二”方法方法3.“先二后一先二后一”方法方法1.“三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积
9、函数及积分域的特点灵活选择.17oxyz2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),(zyxM)0,(yx18如图所示,在柱面坐标系中体积元素为zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddxyzodd积分域由抛物面、圆
10、柱面、球面所围成。被积函数表达式中含有2222,zxyx等因子。19其中为由例例1.计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(,0yaazz所围解解:在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式298a柱面cos2成半圆柱体.20例例2:求由圆柱面2040:40:yxDyz401622zyzyx及平面所围成的物体的质量.物体的密度为22.,.x y zxy解解:vdyxMD22zdddD20d402dsin40zd204043sin4134d20sin643256d3512x0yz21o
11、oxyz例例3.计算三重积分解解:在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面42zvdddd原式=22o oxyz例例3.计算三重积分解解:用先二后一h:hzI0dzdzh02)1ln(024)41ln()41(4hhhhz 0Z202d120d,1ddd22yxzyxIzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面zvddddzyxDZ4:22zD23例例4.计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4,1),(2122围成由z
12、zyxz解解:zyxxIddd2利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220243.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面,rOM 令),(rMsinrcosrz 25xyzo如图所示,在球面坐标系中体积元素为ddrrdrdv d因此有zyxzyxfddd),
13、(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.dddsin2rrd积分域是由球面、锥面所围成。被积函数中含有222zyx的因子。dddsind2rrv drdsinr26例例1.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,cos0:3ar 利用对称性,所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar,202020dsin20d4yoz面对称,并与x
14、oy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz dddsind2rrv yzxar27例例2.计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 28主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞高等数学 第十七讲29例例3：计算vdyxzI22所围成。平面和是由锥面其中122zyxz解法一解法一：采用球坐标计算ddrdrrrIsinsincos2152cos10:r402020dsin22ryxcossinrx
15、 sinsinry 40cos1042cossinrdrdxyzo30例例3：计算vdyxzI22所围成。平面和是由锥面其中122zyxz解法二解法二：采用三次定积分计算2010:1:yxDz101220zdzddddzdzI2152xyzo31yxDydxdyxI22122yxzdzyxDydxdyxyx22221212021drdrrr1021152解法三：解法三：采用先一后二计算1:22zyx1:22 yxDyx例例3：计算vdyxzI22所围成。平面和是由锥面其中122zyxzxyzo32解法四解法四：采用先二后一在处用垂直于z轴的平面去截,222:zyxDZ得到截面域zDydxdyx
16、2210zdzI10zdz20dzrdr02152例例3：计算vdyxzI22所围成。平面和是由锥面其中122zyxzxyzozD(01)zz33zoxy2例例4.设由锥面22yxz和球面4222zyx所围成,计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d2253234例例5.计算,ddd12zyxxyI所围成.其中 由1,1,12222yzxzxy分析分析：若用“先二后一”,则有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210计算较繁!采用“三次积分”较好.1zxy1o135:45
17、28 1122yzx1020:rDzx1zxy1o12122001cosIdrrd r211 rydy解解:例例5.计算,ddd12zyxxyI所围成.其中 由1,1,12222yzxzxy36:4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd1122思考思考:若被积函数为 f(y)时,如何计算简便?解法二解法二:例例5.计算,ddd12zyxxyI所围成.其中 由1,1,12222yzxzxy37例例6.计算Idzezyyzy10)1(2)1(dzeydydxIzyyxx2)1(101010)1(解解:积分域为平面 x+y+z=1 与三个坐
18、标面所围四e41交换积分顺序，得zx1y11zyD练习练习计算dzzzdydxIyx00101sin（P368 题题6）面体,dxzy10dydzeyzyDzy2)1()1(10)1(dyy38例例6.按yzx,的先后顺序更换下列积分次序:yxxzdzyxfydxd01010),()1(2201010),()2(yxzdzyxfxdyd 解解:若积分域图形难画时,可逐次固定一个积分变量,变换另两个变量的积分次序.(1)xoy1 yx原式=yxzdzyxf0),(yxdyd1010 xozyyxz10ydyzd0yxdzyxf10),(10yd1yzdyyzxdzyxf1),(y11D2D392
19、201010),()2(yxzdzyxfxdydxzo2y22yxz110yd20yzd10),(xdzyxf10yd221 yyzdxdzyxf),(1D2D2yz140内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成;412,zxz1.将.)(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42,1yxyvzyxfI
20、d),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面围成,:422.设,1:222zyx计算vzyxzyxzd1)1ln(222222提示提示:利用对称性原式=122ddyxyx0奇函数222211222222d1)1ln(yxyxzzyxzyxz43 作作 业业P164 1,(3),(4);4;6;7;8;9(1);10(2);11(1),(3);1344当被积函数在积分域上变号时,因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf
