1、第三章中值定理与导数的应用 中值定理中值定理 洛必达法则洛必达法则泰勒公式泰勒公式导数的应用导数的应用中值定理 第第 一一 节节学习重点学习重点理解罗尔定理理解罗尔定理掌握拉格朗日中值定理及其推论掌握拉格朗日中值定理及其推论【高等数学】电子教程 微分中值定理微分中值定理包括：罗尔包括：罗尔(Rolle)定理、拉格朗定理、拉格朗日日(Lagrange)中值定理和柯西中值定理和柯西(Cauchy)中值定理中值定理3.1 中中 值值 定定 理理 微分中值定理的共同特点是：微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的可以断定在所给区间内至少有一点
2、，使所研究的函数在该点具有某种微分性质。函数在该点具有某种微分性质。微分中值定理是微分学的理论基础。是利用微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。导数研究函数性质的理论依据。【高等数学】电子教程)()()()(:),(.)()(00000 xfxfxfxfxUxxUxxf 或或有有若若有有定定义义的的某某邻邻域域在在点点设设函函数数一、费尔马一、费尔马(Fermat)引理引理（1）极值）极值(局部最值局部最值)的定义：的定义：则称函数则称函数 (或极小值或极小值),取得极大值取得极大值在在0 xf并称并称 为为的极大值点的极大值点f0 x).(或极小值点或极小值点 极
3、值未必是函数极值未必是函数 在在 上的最大值上的最大值,极值只是局部最大的极值只是局部最大的.)(xfy I【高等数学】电子教程0 x1xxyo)(极大值点极大值点)(极极小小值值点点极极大大值值)(0 xf极极小小值值)(1xf)(xfy 【高等数学】电子教程0)(,)(,)(000 xfxxfxxf则则必必有有可可导导点点在在并并且且取取得得极极值值在在点点设设函函数数（2）费尔马）费尔马(Fermat)引理引理(极值必要条件极值必要条件)证明证明:)0)(0)(:(00 xfxf且且只只须须证证明明.)(0处处取取得得极极大大值值在在点点不不妨妨设设xxf有有内内的的邻邻域域在在点点即即
4、,),(000 xxx)()(0 xfxf 000)()()(xxxfxfxxf 考考察察【高等数学】电子教程0)()(000 xxxfxfxx0)()(000 xxxfxfxx并并且且有有都都存存在在和和所所以以存存在在因因为为,)()(,)(000 xfxfxf 0)()(lim)()(00000 xxxfxfxfxfxx0)()(lim)()(00000 xxxfxfxfxfxx0)(0 xf【高等数学】电子教程说明说明:.0)(00极极值值点点的的一一个个不不一一定定是是函函数数的的点点满满足足fxxf .0)(0必必要要条条件件是是可可导导函函数数取取得得极极值值的的 xf称使称使
5、的点的点 为函数为函数 的的驻点驻点0)(0 xf0 x)(xfy 二、罗尔二、罗尔(Rolle)定理定理【高等数学】电子教程怎样证明罗尔定理怎样证明罗尔定理？xyoabAB 想到利用闭区间上连续想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！函数的最大最小值定理！轴轴切切线线平平行行于于 x0)(f【高等数学】电子教程证明证明:【高等数学】电子教程使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在内内可可微微在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数,),(,),()2(;,)1()(bababaxf)()()()(bafabafbf 三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagra
6、nge)定理定理【高等数学】电子教程怎样证明拉格朗日定理怎样证明拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件拉格朗日定理若添加条件:)()(bfaf 则为罗尔定理；则为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件罗尔定理若放弃条件:)()(bfaf 则推广为拉格朗日定理。则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的新问题新问题转化为已掌握的转化为已掌握的老问题老问题。因此想到利用罗尔定理！因此想到利用罗尔定理！【高等数学】电子教程xo0)(:kakxafyAB方方程程弦弦CABabafbfk )()(yab 满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件弦线与弦线与f(x)在端
7、点处相等在端点处相等kakxafxfxF )()()(设设所以函数所以函数【高等数学】电子教程)()()()()()(axabafbfafxfxF ).()(,),(,)(:bFaFbabaxF 且且可可导导内内在在上上连连续续在在容容易易验验证证证明：证明：构造辅助函数构造辅助函数使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在由由罗罗尔尔定定理理知知,),(,ba0)()()()(abafbffF abafbff )()()(【高等数学】电子教程abafbff )()()(拉格朗日公式各种形式拉格朗日公式各种形式)()()()(abfafbf )()()()(1212xxfxfxf xfxfxxf
8、 )()()(00 xxxfxfxxf )()()(000),(ba ),(ba ),(21xx ),(00 xxx )10(【高等数学】电子教程思思考考题题：？比比较较公公式式与与公公式式的的区区别别)()()()(000 xxxfxfxxf xxxfxfxxf )()()(000有限增量公式有限增量公式微小增量公式微小增量公式【高等数学】电子教程0,xba上上任任意意取取定定一一点点在在)()()(00 xxfxfxf 朗朗日日中中值值定定理理条条件件上上满满足足拉拉格格或或在在,)(,00 xxxxxfbax .,)(上恒为常数上恒为常数在在则则上恒为零上恒为零在在若若bafbaxf 推
9、论推论1：证证有有由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理,0)()(0 xfxf之之间间与与在在0 xx 0)(f已已知知常常数数 )()(0 xfxf拉格朗日中值定理的推论拉格朗日中值定理的推论【高等数学】电子教程)()()(,),()(,是是常常数数其其中中有有则则有有若若CCxgxfbaxxgxfbax 推论推论2：).(,),0)(0)(,单单调调减减少少上上单单调调增增加加在在则则有有若若bafxfxfbax 推论推论3：).(,),0)(0)(,严严格格单单调调减减上上严严格格单单调调增增在在则则有有若若bafxfxfbax 推论推论4：【高等数学】电子教程:,),(.0)(,),(
10、)2(;,)1()(),(使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在且且内内可可微微在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数 baxgbabaxgxf )()()()()()()(bagfagbgafbf 四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理【高等数学】电子教程.0)()(agbg先先证证矛矛盾盾！这这与与假假设设条条件件使使得得存存在在一一点点由由罗罗尔尔定定理理知知0)(,0)(),(,xgcgbac用用反反证证法法)()(,0)()(agbgagbg 即即假假设设证明：证明：构造辅助函数构造辅助函数)()()()()()()()()(agxgagb
11、gafbfafxfxF 即即使得使得故存在故存在满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件,0)(),(,)(FbaxF)()()()()()(gfagbgafbf 【高等数学】电子教程辑辑关关系系：三三个个定定理理之之间间有有如如下下逻逻拉格朗日定理拉格朗日定理罗尔定理罗尔定理柯西定理柯西定理【高等数学】电子教程例例1.设函数设函数 f(x)=(x 1)(x 2)(x 3),试判断方程试判断方程 f x 有几个实根有几个实根,分别在何区间分别在何区间?解解:因为因为 f(1)=f(2)=f(3),且且f(x)在在1,2上连续上连续,在在(1,2)内可导内可导,由罗尔定理由罗尔定理,1(1,2),使使
12、f(1;同理同理,2,使使 f (2;又因又因f (x是二次方程是二次方程,至多两个实根至多两个实根,故故f (x有两个实根有两个实根,分别位于分别位于(1,2)和和(2,3)内内.【高等数学】电子教程例例.设设 f(x)=x2+x.在在1,1上验证拉格朗上验证拉格朗日中值定理的正确性日中值定理的正确性.解解:(1)f(x)=x2+x在在1,1上连续上连续,在在(1,1)内可导内可导.(2)看是否存在看是否存在 (1,1),使得使得f(1)f(1)=f()2即即 2(2 +1)=20或或 4 =0.=0 (1,1).故故 =0 (1,1),使得使得f(1)f(1)=f()2.【高等数学】电子教
13、程例例.证明证明 当当x 0时时,.)1ln(1xxxx 证证:改写原式改写原式,.1)1ln(11 xxx(利用公式利用公式)()()(fabafbf 证不等式时证不等式时,往往要把待证式中的一部分写成往往要把待证式中的一部分写成的形式的形式,以便构造函数以便构造函数 f(x).)abafbf )()(0)01ln()1ln(00)1ln()1ln(xxxxxx【高等数学】电子教程所以所以,记记 f(t)=ln(1+t),知知f(t)在在0,x上满足拉格上满足拉格朗日中值定理的条件朗日中值定理的条件.且且0)01ln()1ln()1ln(xxxx)(f ),0(,11x 因因)0(1111)
14、(,111)(xxff )0(.1)1ln(11 xxxx故故【高等数学】电子教程证证在在 内可导，且内可导，且 .1,0 xfxxfxF 可得可得又由又由0)1(f.010 ）（）（FF，使使）内内有有一一点点，由由罗罗尔尔定定理理，在在 10(,0 F xxfxF xF1,0设设 ，显然，显然 在在 上连续上连续;,0)(ff即即 .ff 【高等数学】电子教程例例5.设设 f(x)在在(,+)内可导内可导.f(0)=0.证明证明 (,+),使得使得 2f()f()=3 2 f 2(1)证证:这一类问题这一类问题,往往可考虑用中值定理解决往往可考虑用中值定理解决.变形变形.3)()(2)1(
15、22 fff 注意到注意到,xxxxfff 3223 ,)()()(2【高等数学】电子教程左端左端,.01)0()1()1(33222 fff从而从而,待证式为待证式为 .)()(01)0()1(323322 xxxfff故故,记记F(x)=f 2(x),g(x)=x3在在0,1上连续上连续,在在(0,1)内可导内可导.由柯西中值定理由柯西中值定理,(0,1),使得使得.3)()(2)1(22 fff 【高等数学】电子教程.)(,)(,)(lim,)()(lafaxflxfaaUaxfax 且且可可导导在在点点则则函函数数且且外外可可导导除除点点连连续续的的邻邻域域在在点点若若函函数数使使得得
16、之之间间至至少少存存在在一一点点与与则则在在理理条条件件上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定或或在在函函数数显显然然且且,)(,.),(cxaaxxaxfaxaUx )()()(cfaxafxf 证证思考题思考题【高等数学】电子教程从从而而有有时时因因为为当当.,acax)(lim)(lim)()(limcfcfaxafxfacaxax 即即有有由由已已知知条条件件,)(lim,lcfac lcfaxafxfacax )(lim)()(lim.)(,)(,lafaxf 且且可可导导在在点点函函数数由由导导数数定定义义知知【高等数学】电子教程注注意意)()(lim,)(,)(lim,)(,000000 xfxfxxfxfxxxxfxxxx 且且必必可可导导在在则则函函数数存存在在且且处处可可导导在在附附近近连连续续在在点点只只要要此此例例说说明明【高等数学】电子教程
