1、一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义:设设),(,),(),(21xuxuxun是定义在区间是定义在区间RI 上的一列函数上的一列函数,则表达式则表达式 )()()()(211xuxuxuxunnn 称为定义在区间称为定义在区间I上的上的(函数项函数项)无穷级数无穷级数.简称简称函数函数项项级数级数.,120 xxxnn例如级数例如级数2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:对对于于点点Ix 0,若若数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛,则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点,否否则则称称为为发发散散点点.所有发散点的全体称为所有发散点的全体
2、称为发散域发散域.函数项级数函数项级数)(1xunn 的所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域,记为记为 X.X.3.3.和函数和函数:1()(),nnuxs xxX 在收敛域在收敛域 X X 上上,函数项级数的和是函数项级数的和是 x的函数的函数 )(xs,称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数.即即 111nnx 例求等比级数的收敛域与和函数.例求等比级数的收敛域与和函数.二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义:形形如如nnnxxa)(00 的的函函数数项项级级数数称称为为幂幂级级数数.000,nnnxa x 不失一般性,只需讨论当时的幂级数
3、 即只需不失一般性,只需讨论当时的幂级数 即只需讨论形如的幂级数.讨论形如的幂级数.在上面的幂级数中在上面的幂级数中,na称称为为幂级数系数幂级数系数.2.2.收敛性收敛性:,120 xxxnn例如级数例如级数;,1收敛收敛时时当当 x);1,1(收敛域收敛域);,11,(发散域发散域;,1发散发散时时当当 x定定理理 1 1 (A Ab be el l 定定理理)如如果果幂幂级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛,则则 它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切 x处处绝绝对对收收敛敛;如如果果幂幂级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散,则则它它在在满满足
4、足 不不等等式式0 xx 的的一一切切 x处处发发散散.证明证明,0lim0 nnnxa,)1(00收敛收敛 nnnxa),2,1,0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxM ,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛即即级级数数 nnnxa,)2(0时时发发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点1x适适合合01xx 使使级级数数收收敛敛,则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所设矛盾.由由(1)结论结论xo R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散
5、区域发散区域如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在,它它具具有有下下列列性性质质:当当Rx 时时,幂幂级级数数收收敛敛;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散.推论推论定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.收敛收敛区间可以是下列四种情形之一区间可以是下列四种情形之一:,0 R),RR,(R
6、R.,RR 规定规定,R收收敛敛区区间间为为一一点点0 x;收收敛敛区区间间),(.),(RR(1)若幂级数只在若幂级数只在0 x处收敛处收敛,则收敛半则收敛半径为径为(2)若若幂幂级级数数对对一一切切实实数数x都都收收敛敛,则则收收敛敛半半径径为为 定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,且且 nnnaa1lim 则这个幂级数的收敛半径为则这个幂级数的收敛半径为1,0,0,0,.R 若若若若若若证明证明应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x ,)0(lim)1(1存在存在
7、如果如果 nnnaa由比值审敛法由比值审敛法,1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当当 x,|0发发散散级级数数 nnnxa开始开始并且从某个并且从某个 n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa发发散散从从而而级级数数;1 R收敛半径收敛半径,0)2(如果如果,0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa;R收敛半径收敛半径,)3(如果如果,0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数)|01(0收收敛敛使使知知将将有有点点否否
8、则则由由定定理理 nnnxax.0 R收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:1(2);nnxn 1(3);nnnn x 1(4);!nnxn 1(1)(5);2nnnxn 21(1);nnxn 21(6)(1).21nnnxn 例例 3 3 求求幂幂级级数数 1122nnnx的的收收敛敛区区间间.解解 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛,1212 x当当,2时时即即 x,1212 x当
9、当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为).2,2(三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质:(1)加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (2)乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx,(其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30
10、ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘积积321xxx2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:(1)幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 内连续内连续.注意注意:如果收敛区间包含端点如果收敛区间包含端点,则和函数在区间则和函数在区间的端点处单侧连续的端点处单侧连续.00,().:nnna xRs x 设设 幂幂 级级 数数的的 收收 敛敛 半半 径径 为为和和 函函 数数 为为和和 函函 数数 有有 如如 下下 性性 质质(2)幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs
11、在在区区间间),(RR 内内可可积积,且且对对可可逐逐项项积积分分,即即 000()()xxnnns x dxa xdx 00nxnndxxa10.(,)1nnnaxxR Rn 逐项积分后所得的幂级数与原级数有相同的逐项积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径收敛半径.(3)幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在区间在区间),(RR 内可导内可导,并可逐项求导并可逐项求导.0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(,)xR R 逐项求导后所得的幂级数与原级数有相同的逐项求导后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径收敛半径.例例 4 4 求求级级数数 11
12、)1(nnnnx的的和和函函数数.解解,)1()(11 nnnnxxs,0)0(s显然显然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11(x,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11(x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即15.nnnx 例求幂级数的和函数例求幂级数的和函数例例 6 6 求求 12)1(nnnn的的和和.解解,)1(1nnxnn 考虑级数考虑级数收敛区间收敛区间(-1,1),1)1()(nnxnnxs则则)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn
13、故故)21(s.8 常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数;11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 四、小结四、小结2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径R3.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析运算性质1.函数项级数的概念函数项级数的概念:思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答不一定不一
14、定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是)1,1(),1,1,1,1 一、一、求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:1 1、)2(424222nxxxn；2 2、nnxnxx125222222；3 3、122212nnnxn；4 4、)0,0(1 babaxnnnn.练练 习习 题题二二、利利用用逐逐项项求求导导或或逐逐项项积积分分,求求下下列列级级数数的的和和函函数数:1 1、11nnnx；2 2、12531253nxxxxn.练习题答案练习题答案一、一、1 1、),(；2 2、21,21；3 3、)2,2(；4 4、),(cc,其中其中 0,max bac.二、二、1 1、)11()1(12 xx；2 2、)11(11ln21 xxx.
