1、第二节第二节 极限的概念极限的概念 一、数列的极限一、数列的极限 数列极限是极限概念中最简单、最基本的情形，是函数列极限是极限概念中最简单、最基本的情形，是函数极限的特例，为进一步讨论函数极限应先理解数列极限数极限的特例，为进一步讨论函数极限应先理解数列极限.1.数数列列的的定定义义 在在某某一一对对应应规规则则下下，当当()n n 依依次次 取取1,2,3,n,时时，对对 应应 的的 实实 数数 排排 成成 一一 列列 数数，12,nx xx这这列列数数就就称称为为数数列列，记记为为 nx.数数列列也也可可理理解解为为定定义义域域为为正正整整数数集集*的的函函数数*(),nxf n n 数数
2、列列中中的的第第 n 个个数数nx叫叫做做数数列列的的第第 n 项项或或一一般般项项.例如数列：例如数列：1 111,2 3n 一般项一般项1;nxn 1 2 3,2 3 41nn 一般项一般项1nnxn；2,4,6,8,(1)2,nn 一般项一般项(1)2nnxn 11,1,1,1,(1),n 一般项一般项1(1)nnx；上述各数列，随上述各数列，随 n 逐渐增大，它们有其各自变化趋势逐渐增大，它们有其各自变化趋势.数列数列1n ，当，当 n 无限增大时，一般项无限增大时，一般项1nxn无限接近无限接近于于 0；数列数列1nn，当，当 n 无限增大时，一般项无限增大时，一般项1nnxn无限无
3、限接近于接近于 0；数数列列(1)2nn，当当 n 无无限限增增大大时时，(1)2nxn 也也无无限限增增大大，所所以以(1)2nnxn 不不接接近近于于任任何何确确定定的的常常数数.数数列列1(1)n，当当 n 无无限限增增大大时时，当当 n 为为奇奇数数时时，1(1)1nnx，当当 n 为为偶偶数数时时，1(1)1nnx ，即即nx不不接接近近于于任任何何确确定定的的常常数数.从从以以上上四四个个数数列列观观察察可可知知，nx的的一一般般项项nx的的变变化化趋趋势势有有两两种种情情形形或或无无限限接接近近于于某某个个确确定定常常数数或或不不接接近近于于任任何何确确定定的的常常数数.为为此此
4、可可得得数数列列极极限限的的描描述述性性定定义义如如下下：定义定义 1 如果数列如果数列 nx的项数的项数 n 无限增大时，一般项无限增大时，一般项nx无限接近于某个确定的常数无限接近于某个确定的常数 a，则称，则称 a 是数列是数列 nx的极的极限，此时也称数列限，此时也称数列 nx收敛于收敛于 a，记作，记作limnnxa或或()nxa n.如如，1lim0nn或或10 nn；lim11nnn或或11nnn.定义中“当定义中“当 n 无限增大时，无限增大时，一般项一般项nx无限接近于无限接近于 a”的意思是：当的意思是：当 n 充分大时，充分大时，nx与与 a 可以任意靠近，要多可以任意靠
5、近，要多近就能有多近，也就是说，近就能有多近，也就是说，nxa可以小于任意给的正数，可以小于任意给的正数，只要只要 n 充分地大充分地大.例例 1 作作图图并并讨讨论论数数列列 215 5 9 91,2 3 4 5nnn 的的极极限限.nO12 3 4 5 612nx图图1-22例例 2 作作图图并并讨讨论论数数列列2 4 512,3 3 4nn的的极极限限.nO12 3 4 5 612nx图图1-23从从以以上上两两例例还还可可以以看看出出数数列列无无限限接接近近于于极极限限值值的的方方式式是是多多种种多多样样的的.例例如如数数列列1nn的的极极限限是是从从小小于于 1 逐逐渐渐增增大大无无
6、限限接接近近于于 1.数数列列1nn是是从从大大到到小小无无限限接接近近于于极极限限值值 1；数数列列21nnn 是是在在极极限限值值上上、下下跳跳动动地地无无限限接接近近于于 2.例例 3 并不是任数列都有极限并不是任数列都有极限.（1）数列数列1 23 4,1,2 34 51nnn正负交错，正负交错，当当 n 无限增大时，不接近于任何确定的常数无限增大时，不接近于任何确定的常数.（2）数列数列1,2,3,4,1,nn随随 n 无限增大其绝无限增大其绝对值对值1nn无限增大，也不接近于任何确定的常数无限增大，也不接近于任何确定的常数.对于例对于例 3 中所提到的这些数列，给出下面定义中所提到
7、的这些数列，给出下面定义.定义定义 2 如果数列如果数列 nx的项数的项数 n 无限增大时，它的一无限增大时，它的一般项般项nx不接近于任何确定的常数，称数列不接近于任何确定的常数，称数列 nx没有极限，没有极限，或称数列或称数列 nx发散，记作发散，记作limnnx不存在不存在.当当 n 无限增大时，如果无限增大时，如果nx无限增大，则数列没有极无限增大，则数列没有极限，习惯上也称数列限，习惯上也称数列 nx的极限是无穷大，记作的极限是无穷大，记作limnnx.1lim1nn和和lim1nnn都 不 存 在，后 者 可 记 作都 不 存 在，后 者 可 记 作lim1nnn.为进一步讨论收敛
8、数列与发散数列的性态，下面先为进一步讨论收敛数列与发散数列的性态，下面先给出有界数列和无界数列的定义，并探寻数列收敛的必给出有界数列和无界数列的定义，并探寻数列收敛的必要条件及数列无界与发散的关系要条件及数列无界与发散的关系.定义定义 3 对于数列对于数列 nx，如果存在正数，如果存在正数 M，使得对于，使得对于一切一切nx都满足不等式都满足不等式nxM，则称数列，则称数列 nx是有界的；是有界的；如果这样的正数如果这样的正数 M 不存在，就说数列不存在，就说数列 nx是无界的是无界的.收敛数列收敛数列21nn一定有界，取一定有界，取2M，对于一切，对于一切nx都都有不等式有不等式 2221n
9、n 成立成立.发散数列发散数列1n也可能有界，也可能有界，11n；无界数列无界数列(1)2nn一定发散；一定发散；有 界 数 列有 界 数 列11(1)2n 不 一 定 收 敛，不 一 定 收 敛，11(1)12n，但当，但当 n 为奇数时，为奇数时，11(1)02n；当；当n 为偶数时，为偶数时，11(1)12n.综上可知：收敛数列必有界综上可知：收敛数列必有界.数列有界是数列收敛的数列有界是数列收敛的必要条件，而不是充分条件必要条件，而不是充分条件.有界数列未必收敛有界数列未必收敛.定定义义 4 设设函函数数()f x在在(0)xm m时时有有定定义义，当当 x 无无限限增增大大（记记作作
10、x ）时时，对对应应的的函函数数值值无无限限接接近近于于确确定定的的数数 A，则则称称 A 是是函函数数()f x当当x 时时的的极极限限.记记作作lim()xf xA或或()()f xA x.二、函数的极限二、函数的极限 前前面面已已说说过过，数数列列是是一一种种特特殊殊的的函函数数，因因此此，可可以以类类似似于于数数列列来来讨讨论论自自变变量量 x 在在某某一一变变化化过过程程中中函函数数()f x的的极极限限.根根据据自自变变量量 x 的的变变化化过过程程分分以以下下两两种种情情况况讨讨论论函函数数()f x的的极极限限：1.自自变变量量 x 的的绝绝对对值值x无无限限增增大大即即趋趋于
11、于无无穷穷大大（记记作作x ）时时，函函数数值值()f x的的的的变变化化情情形形：（简简记记为为当当x 时时，()f x的的极极限限）.例例4 在同一坐标系下作数列在同一坐标系下作数列1nxn和函数和函数1(0)yxx的图形的图形.并分别观察并分别观察1()nxnn 及及1()yxx 的变化的变化趋势，并指出各自的极限趋势，并指出各自的极限.1x2x3x5x4x6x图图1-24xO2 3 4 5 611y12例例 5 lime0 xx，lim exx，此此时时lim exx既既不不等等于于 0，也也不不是是；1lim0 xx，1lim0 xx，则则 1lim0 xx；lim arctan2x
12、x，lim arctan2xx，此此时时 limarctanxx不不存存在在.如如果果 limxf xC或或 limxf xC，则则直直线线yC是是函函数数 yf x的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线.因因为为lim 20 xx，21lim2xxx，因因此此直直线线0y 与与2y 分分别别为为函函数数2xy 与与21xyx图图形形的的水水平平渐渐近近线线.类似地可以定义函数极限类似地可以定义函数极限 lim()xf x 或或()f x ()x .当且仅当当且仅当lim()xf x 与与lim()xf x 时，时，lim()xf x.2.自变量自变量x任意地接近于有限值任意地接近于有限值 0
13、x或者说趋于有限或者说趋于有限值值0 x（记作（记作0 xx）时，函数值）时，函数值 f x的变化情形：（简记的变化情形：（简记为当为当0 xx时，时，f x的极限）的极限）.在给出在给出0 xx时函数极限之前，我们先考察时函数极限之前，我们先考察例例 6.x3yo图图1-2532121 211xf xx例例 6 当当1x 时时，函函数数 211xf xx的的变变化化情情况况 例例 7 因为因为21723xx，所以，当，所以，当3x 时，时，217x，即，即()mf xM.此处此处 21f xx在在3x 处有定义，且当处有定义，且当3x 时，时，f x的极限值恰好是的极限值恰好是 2f.yxO
14、11图图2-5图图1-26因此，当因此，当 及及 都存在都存在,但不相等但不相等,或者或者)(0 xf0()f x)(0 xf与与 中至少有一个不存在时，就可断言中至少有一个不存在时，就可断言 存在存在.0lim()xxf x0()f x例例 9 设函数设函数21,1()2,1xxf xx 证明：当证明：当1x 时，时，()f x的的极限不存在极限不存在.证证：1(1)lim(21)1xfx，1(1)lim()2xff x，即即(1)(1),ff1lim()xf x不不存存在在.例例 10 设设函函数数221,()221,xxf xxx 求求22lim(),lim(),xxf xf x并并由由此此判判断断2lim()xf x是是否否存存在在.解解22222lim()lim(21)5,lim()lim(1)5xxxxf xxf xx，即即(2)(2)5,ff由由函函数数()f x在在2x 处处极极限限存存在在的的充充要要条条件件知知，2lim()5xf x.内容小结内容小结1.数列极限的概念数列极限的概念2.函数极限的概念函数极限的概念3.极限的唯一性极限的唯一性作业作业P28 2,3,4,5
