1、第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念及其线性法则及其线性法则第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学 本节要点本节要点 本节通过原函数引出了不定积分的概念，并得到不定本节通过原函数引出了不定积分的概念，并得到不定积分的简单性质积分的简单性质.一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分二、不定积分的计算二、不定积分的计算一、一、原函数与不定积分原函数与不定积分 1.原函数原函数在第二章关于求导的问题中提出，已知在第二章关于求导的问题中提出，已知 ，求，求 的导数的导数 。()F x()()F xf x()F x()f x()()F xf x().F x而现在的问题是而现在的问题是 已知已知
2、,求满足求满足 的的 这类问题就是求原函数问题这类问题就是求原函数问题.定义定义1 如果在区间如果在区间 上的可导函数上的可导函数 的导函数为的导函数为()F xI dd,Fxf xF xf xx或或则称函数则称函数 为为 在区间在区间 上的一个上的一个原函数.()F x()f xI()f xxI，即对任一，即对任一 ，都有，都有例例1sinxcosx所以所以 是是 的一个原函数；的一个原函数；211x所以所以 为为 的一个原函数；的一个原函数；2ln1xx211xcossin,xx 因为因为2221ln11,11xxxxxx 因为因为10,lnln,xxxx1ln,xx由于由于110,lnl
3、n1,xxxxx1xln x所以所以 是是 在在 的一个原函数；的一个原函数；,00,我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函数是唯一的，但某个函数的原函数是否唯一呢？为此，数是唯一的，但某个函数的原函数是否唯一呢？为此，先引入先引入:()(),F xf x原函数存在定理 如果函数如果函数 在区间在区间 上连续上连续,则在区则在区间间 上存在可导函数上存在可导函数 ，使得对任一，使得对任一 ,都有都有()f xII()F xxI即即连续函数一定有原函数存在.此定理将在定积分内容中讨论。此定理将在定积分内容中讨论。所以如果所以如果 是是 的原函
4、数的原函数,则则 也是也是 的原函数的原函数.()F x()f x()F xC()f x()()(),F xCF xf x由于由于 其中其中 为任意常数，为任意常数，C如果如果 也是也是 的原函数的原函数,即即 ，则，则 G x()f x Gxf x ()0G xF xf xf x()G xF xCC 为任意常数，所以，为任意常数，所以，任意两个原函数之间只差任意两个原函数之间只差一个常数。而且一个常数。而且 任意一个原函数可以表示为任意一个原函数可以表示为 f x f x()F xC 2.不定积分不定积分 由上面的讨论，可得到如下定义：由上面的讨论，可得到如下定义：定义定义2 在区间在区间
5、上，函数上，函数 的带有任意常数的原函数的带有任意常数的原函数称为称为 在区间在区间 上的上的不定积分，记作，记作I()f x()f xI()d.f xx其中其中 称为称为积分号积分号，()f x称为称为被积函数被积函数，()df xx称为称为被积表达式被积表达式x称为称为积分变量积分变量。dfxxF xC如果如果 是是 的一个原函数，则的一个原函数，则 的不定积分的不定积分可表示为可表示为()F x()f x fx由于由于 表示表示 的任意一个原函数，所以的任意一个原函数，所以 dfxx fx dfxxfx又由于又由于 是是 的一个原函数，所以的一个原函数，所以 fx fx dfxxfxC例
6、例2 由定义，不难得到下面的：由定义，不难得到下面的：323213,3xxxx1ln xx由于由于231d,3xxxC1dln,xxCxsincos,cos dsin,xxx xxC2211arctan,darctan.11xxxCxx2()e,xf xx 为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示;注注2 定义在区间定义在区间 上的连续函数一定存在原函数，但上的连续函数一定存在原函数，但其原函数不一定能用初等函数来表示；例如函数其原函数不一定能用初等函数来表示；例如函数I注注1 在不定积分表达式中最后的常数在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉，
7、不能漏掉，加上任意常数加上任意常数 表示不定积分，不加任意常数表示不定积分，不加任意常数 表示某一个原函数。表示某一个原函数。CCC注注3 在区间在区间 内存在原函数的函数不一定是连续函数，内存在原函数的函数不一定是连续函数，例如函数例如函数:I 112 sincos 0,0 0 xxf xxxx存在间断点存在间断点 ，但，但 在在 存在原函数存在原函数0 x()f x,21sin 0.0 0 xxF xxx例例3 设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.解解 设此曲线的方程为
8、设此曲线的方程为 由题设得关系由题设得关系(),yf xd2,dyxx即，即，是是 的一个原函数，因的一个原函数，因 即即()f x2x22 d,x xxC21.yx 2,f xxC且曲线过且曲线过(1,2),即即 代入曲线方程得代入曲线方程得 故所故所求曲线的方程为求曲线的方程为 1,C 12,f 函数函数 的原函数的图形称为的原函数的图形称为 的积分曲线。的积分曲线。()f x()f xC上例中上例中 的原函数为的原函数为 在常数在常数 取不取不同值时，可得不同的积分曲线。同值时，可得不同的积分曲线。2x2,yxCOxy2yx21yx21yx 3.基本积分公式基本积分公式 12d1.1xx
9、xC 1d,k xkxC 是常数；特别是常数；特别kd.xxC d3ln.xxCx 4e de.xxxC 5d.0,1lnxxaaxC aaa 6cos dsin.x xx C 7sindcos.x xx C 2218dsecdtan.cosxx xx Cx 2219dcsc dcot.sinxx xx Cx 10sec tan dsecxx xx C 11csc cot dcsc.xx xx C 14sinh dcosh.x xx C 15cosh dsinh.x xx C 2d13arctan.1xx Cx 2d12arcsin.1xx Cx二、不定积分的计算二、不定积分的计算 由原函数与
10、不定积分的定义可得到如下不定积分的性质由原函数与不定积分的定义可得到如下不定积分的性质:性质性质 设函数设函数 及及 的原函数存在，则的原函数存在，则()f x()g x ddd,f xg xxf xxg xx其中其中 为任意常数为任意常数.,这就是不定积分的线性运算性质。这就是不定积分的线性运算性质。用基本积分表和线性运算性质可以计算一些简单函数用基本积分表和线性运算性质可以计算一些简单函数的不定积分。的不定积分。例例4 求积分求积分321d.xxx解解 先将先将 展开，然后再利用积分公式及运算法展开，然后再利用积分公式及运算法,则则:31x 321dxxx211d3 d3ddx xxxxx
11、x322331dxxxxx2313dxxxx 2133ln.2xxxCx例例5 求积分求积分331d.xxx解解 先将先将 展开，然后再利用积分公式及运算法展开，然后再利用积分公式及运算法,331x 331dxxx323331dxxxxx1111662233dxxxxx111111116622111133.111111112662xxxxC 75316622218182.375xxxxC求出的不定积分可以通过求导来验证其是否正确。求出的不定积分可以通过求导来验证其是否正确。例例6 求积分求积分23d.5xxxx解解23d5xxxx12ln2ln5 5x23d55xxx13.ln3ln5 5xC
12、例例7 求积分求积分13e d.xxx解解13e dxxx33eln3lnexC33edxx13e1 ln3xxC例例8 求积分求积分221d.1xxxxx解解 将积分拆成两项的和，可得将积分拆成两项的和，可得221d1xxxxx22(1)d1xxxxx211d1xxxarctanln.xxC例例9 求积分求积分42d.1xxx42d1xxx解解 分子部分减分子部分减1 1加加1 1项后项后,分解被积表达式，得分解被积表达式，得 2211d1xxx 421 1d1xxx 222111d1xxxx3arctan.3xxxC例例10 求积分求积分62d.1xxx62d1xxx解解 分子部分减分子部
13、分减1 1加加1 1项后项后,分解被积表达式，得分解被积表达式，得 42211d1xxxx 621 1d1xxx 2422111d1xxxxx53arctan.53xxxxC例例11 求积分求积分2tand.x x2tandx x解解 利用三角公式利用三角公式22sectan1,xx2sec1 dxxtan.xxC例例12 求积分求积分2sind.2xx解解 利用半角公式利用半角公式21cossin.22xx2sind2xx11 cosd2xx1sin.2xxC例例13 求积分求积分221d.sincos22xxx解解 由倍角公式由倍角公式 则则cos22sin cos,xxx221dsinc
14、os22xxx24 cscdx x24dsinxx4cot.xC 24d2sincos22xxx例例14 求积分求积分22cos2d.cossinxxxx解解 由倍角公式由倍角公式 则则22cos2cossin,xxx22cos2dcossinxxxx22cscsecdxxxcottan.xxC 2222cossindcossinxxxxx2211dsincosxxx 11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付，只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。12、善解人意的海豚：常常
15、问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共 事者的负担，也 让你更具人缘。11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付，只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共 事者的负担，也 让你更具人缘。11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付，只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共 事者的负担，也 让你更具人缘。
