1、流体力学的三种研究方法流体力学的三种研究方法流体力学基本控制方程流体力学基本控制方程连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律动量方程动量方程牛顿第二定律牛顿第二定律能量方程能量方程能量守恒定律能量守恒定律1）有限控制体模型）有限控制体模型对于有连续性的流体，有下面两种模型：对于有连续性的流体，有下面两种模型：2）无穷小流体微团）无穷小流体微团我们不是同时观察整个流场，而是将物理学基本原我们不是同时观察整个流场，而是将物理学基本原理用在这些流动模型上，从而得到流体流动方程。理用在这些流动模型上，从而得到流体流动方程。有限控制体模型有限控制体模型空间位置固定的空间位置固定的有限控制体，流有限控
2、制体，流体流过控制体体流过控制体随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始体，同一批流体质点始终位于同一控制体内终位于同一控制体内无穷小流体微团模型无穷小流体微团模型空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小流体微团，流体流小流体微团，流体流过微团过微团沿流线运动的无穷小沿流线运动的无穷小流体微团，其速度等流体微团，其速度等于流线上每一点的当于流线上每一点的当地速度地速度流动控制方程经常用物质导数来表达。流动控制方程经常用物质导数来表达。沿流线运动的无穷小沿流线运动的无穷小流体微团，其速度等流体微团，其速度等于流线上每一点的当于流线上每一点的当地速度地速度采用流体微团模型来理解物
3、质导数的概念：采用流体微团模型来理解物质导数的概念：流体微团在流场中的运动物质导数的示意图流体微团在流场中的运动物质导数的示意图流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图考虑非定常流动：考虑非定常流动：流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图考虑非定常流动：考虑非定常流动：流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图在在1点做如下的泰勒级数展开：点做如下的泰勒级数展开：流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的
4、示运动物质导数的示意图意图这里这里D/Dt代表流体微团通过代表流体微团通过1点时，流体微团密度变化的点时，流体微团密度变化的瞬时时间变化率。我们把瞬时时间变化率。我们把D/Dt定义为密度的物质导数。定义为密度的物质导数。流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图注意注意D/Dt是给定的流体微团在空间运动时，其密度的时间是给定的流体微团在空间运动时，其密度的时间变化率。我们必须跟踪运动的流体微团，注意它通过点变化率。我们必须跟踪运动的流体微团，注意它通过点1时时密度的变化。密度的变化。流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图物
5、质导数物质导数D/Dt与偏导数与偏导数 /t不同不同，/t是在固定点是在固定点1时观时观察密度变化的时间变化率，该变化由流场瞬间的起伏所引起。察密度变化的时间变化率，该变化由流场瞬间的起伏所引起。向量算子向量算子D/Dt是物质导数，它在物理上是跟踪一个运动的流体微团的是物质导数，它在物理上是跟踪一个运动的流体微团的时间变化率；时间变化率；流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图/t叫做当地导数，它在物理上是固定点处的时间变化率；叫做当地导数，它在物理上是固定点处的时间变化率；流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图 叫做迁
6、移导数，它在物理上表示由于流体微团从流场叫做迁移导数，它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性而引起的时间中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性而引起的时间变化率。变化率。流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图物质导数可用于任何流场变量，比如物质导数可用于任何流场变量，比如Dp/Dt、DT/Dt等等流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图人进入山洞，洞内温度比洞外温度低，正经过洞口人进入山洞，洞内温度比洞外温度低，正经过洞口向里进时，同时被雪球击中。向里进时，同时被雪球击中。洞内温度比洞
7、外温度低所引起的温降洞内温度比洞外温度低所引起的温降迁移导数迁移导数物质导数物质导数当地导数当地导数迁移导数迁移导数被雪球击中所引起的温降被雪球击中所引起的温降当地导数当地导数总的温降总的温降物质导数物质导数物质导数物质导数全微分：全微分：对时间的全导数：对时间的全导数：物质导数物质导数物质导数在本质上与对时间的全导数相同。物质导数在本质上与对时间的全导数相同。对时间的全导数：对时间的全导数：速度散度速度散度 这一表达式也经常出现在流这一表达式也经常出现在流体动力学方程中。体动力学方程中。随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始体，同一批流体质点始终位于同一控制体内终位于同
8、一控制体内考虑如图所示随流体运考虑如图所示随流体运动的控制体。这个控制动的控制体。这个控制体在运动中，总是由相体在运动中，总是由相同的流体粒子组成，因同的流体粒子组成，因此它的质量是固定的，此它的质量是固定的，不随时间变化。不随时间变化。随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始体，同一批流体质点始终位于同一控制体内终位于同一控制体内但是，当它运动到流体但是，当它运动到流体不同的区域，由于密度不同的区域，由于密度不同，它的体积和控制不同，它的体积和控制面会随着时间改变。面会随着时间改变。随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始体，同一批流体质点始终位于同一
9、控制体内终位于同一控制体内也就是说，随着流场特也就是说，随着流场特性的变化，这个质量固性的变化，这个质量固定的、运动着的控制体，定的、运动着的控制体，体积不断地增大或减小，体积不断地增大或减小，形状也在不断地改变着。形状也在不断地改变着。速度散度的物理意义：速度散度的物理意义：是每单位体积运动着是每单位体积运动着的流体微团，体积相对变化的时间变化率。的流体微团，体积相对变化的时间变化率。空间位置固定的空间位置固定的有限控制体模型有限控制体模型连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律通过控制面通过控制面S流出控制体的净质量流量流出控制体的净质量流量控制体内质量减少的时间变化率控制体内质量减少
10、的时间变化率空间位置固定的空间位置固定的有限控制体模型有限控制体模型通过控制面通过控制面S流出控制体的净质量流量流出控制体的净质量流量控制体内质量减少的时间变化率控制体内质量减少的时间变化率SVV dSdVt 0VSdVV dSt或或空间位置固定的空间位置固定的有限控制体模型有限控制体模型连续性方程：连续性方程：0VSdVV dSt随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体模型体模型连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律有限控制体的总质量为：有限控制体的总质量为：VmdV随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体模型体模型连续性方程：连续性方程：0VDdVDt空间位置固定的无穷空间位置固
11、定的无穷小微团模型小微团模型连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律流出微团的质量流量流出微团的质量流量微团内质量的减少微团内质量的减少空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小微团模型小微团模型X方向的净流出量为：方向的净流出量为：uuudx dydzu dydzdxdydzxx流出微团的质量流量流出微团的质量流量 微团内质量的减少微团内质量的减少空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小微团模型小微团模型Y方向的净流出量为：方向的净流出量为：vvvdy dxdzv dxdzdxdydzyy流出微团的质量流量流出微团的质量流量 微团内质量的减少微团内质量的减少空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷
12、小微团模型小微团模型Z方向的净流出量为：方向的净流出量为：wwwdz dxdyw dxdydxdydzzz流出微团的质量流量流出微团的质量流量 微团内质量的减少微团内质量的减少空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小微团模型小微团模型微团内质量增加的时间变微团内质量增加的时间变化率为：化率为：dxdydzt流出微团的质量流量流出微团的质量流量 微团内质量的减少微团内质量的减少空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小微团模型小微团模型流出微团的质量流量流出微团的质量流量微团内质量的减少微团内质量的减少uvwdxdydzdxdydzdxdydzxyzdxdydzt 或或0uvwtxyz空间位置固定的无
13、穷空间位置固定的无穷小微团模型小微团模型0uvwtxyz或或0Vt连续性方程：连续性方程：随流体运动的无穷小随流体运动的无穷小微团模型微团模型流体微团的质量：流体微团的质量：连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律随流体运动的无穷小随流体运动的无穷小微团模型微团模型连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律随流体运动的无穷小随流体运动的无穷小微团模型微团模型连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律随流体运动的无穷小随流体运动的无穷小微团模型微团模型连续性方程：连续性方程：0VSdVV dSt空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型随流体运动的
14、有限控制体模型0VDdVDt空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型0Vt随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型0VSdVV dSt空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型0Vt空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型0Vt随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型0VSdVV dSt空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型0VDdVDt空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型0Vt随
15、流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型积分形式的方程允许出现间断，微分形式的方程要求积分形式的方程允许出现间断，微分形式的方程要求流动参数是连续的。因此，积分形式的方程比微分形流动参数是连续的。因此，积分形式的方程比微分形式的方程更基础、更重要。在流动包含真实的间断式的方程更基础、更重要。在流动包含真实的间断（如激波）时，这一点尤其重要。（如激波）时，这一点尤其重要。动量方程动量方程牛顿第二定律牛顿第二定律xxFmaFma力的两个来源：力的两个来源：1）体积力：直接作用）体积力：直接作用在流体微团整个体积微在流体微团整个体积微元上的力，而且作用是元上的力，而且作用是超距离的，比如重
16、力，超距离的，比如重力，电场力，磁场力。电场力，磁场力。随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型力的两个来源：力的两个来源：2）表面力：直接作）表面力：直接作用在流体微团的表面。用在流体微团的表面。随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型表面力的两个表面力的两个来源：来源：1）压力）压力2）粘性力）粘性力粘性力的两个粘性力的两个来源：来源：1）正应力）正应力2）切应力）切应力切应力：与流体剪切变形的时间变化率有关，切应力：与流体剪切变形的时间变化率有关，如下图中的如下图中的 xy正应力：与流体微团体积的时间变化率有关，正应力：与流体微团体积的时间变化率有关，如下图中的如
17、下图中的 xx作用在单位质量流体微团作用在单位质量流体微团上的体积力记做上的体积力记做 ，其，其X方向的分量为方向的分量为随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型fxf作用在流体微团上的体作用在流体微团上的体积力的积力的X方向分量方向分量随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型xfdxdydz作用在流体微作用在流体微团上的团上的X方向的方向的压力压力作用在流体微作用在流体微团上的团上的X方向的方向的正应力正应力作用在流体微作用在流体微团上的团上的X方向的方向的切应力切应力作用在流体微作用在流体微团上的团上的X方向总方向总的表面力的表面力随流体运动的无穷小微团模型随流体运
18、动的无穷小微团模型作用在流体微团上的作用在流体微团上的X方向总的力：方向总的力：随流体运动的无随流体运动的无穷小微团模型穷小微团模型作用在流体微团上的作用在流体微团上的X方向总的力：方向总的力：运动流体微团的质量：运动流体微团的质量：随流体运动的无随流体运动的无穷小微团模型穷小微团模型运动流体微团的运动流体微团的X方向的加速度：方向的加速度：随流体运动的无随流体运动的无穷小微团模型穷小微团模型由牛顿第二定理得粘性流由牛顿第二定理得粘性流X方向的动量方程：方向的动量方程：随流体运动的无随流体运动的无穷小微团模型穷小微团模型类似地，可得类似地，可得Y方向和方向和Z方向的动量方程：方向的动量方程：三
19、个方向的动量方程：三个方向的动量方程：以上为非守恒形式的纳维斯托克斯方程以上为非守恒形式的纳维斯托克斯方程(Navier-Stokes方程方程)，简称非守恒形式的，简称非守恒形式的NS方程。方程。非守恒形式的的非守恒形式的的NS方程可以转化为如下守恒方程可以转化为如下守恒形式的形式的NS方程方程牛顿流体：流体的切应力与应变的时间变化率牛顿流体：流体的切应力与应变的时间变化率(也就是速度梯度也就是速度梯度)成正比。成正比。在空气动力学的所有实际问题中，流体都可以在空气动力学的所有实际问题中，流体都可以看成牛顿流体。看成牛顿流体。对牛顿流体，有对牛顿流体，有完整的完整的NS方程守恒形式：方程守恒形
20、式：随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量能量方程能量方程能量守恒定律能量守恒定律随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流体微团内能流体微团内能量的变化率量的变化率流入微团内流入微团内的净热流量的净热流量体积力和表面力对体积力和表面力对微团做功的功率微团做功的功率随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量作用于速度为作用于速度为V的流体微团上的体的流体微团上的体积力，做功的功率为：积力，做功的功率为：随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量对比下图作用在面对比下图作用在面adhe和面和面bcgf上
21、的压力，则压力在上的压力，则压力在X方向上做功的功率为：方向上做功的功率为：随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量类似地，在面类似地，在面abcd和面和面efgh上，切应力在上，切应力在X方向上做方向上做功的功率为：功的功率为：随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量所有表面力（包括压力、正应力、切应力）在所有表面力（包括压力、正应力、切应力）在X方向方向上做功的功率为：上做功的功率为：所有力（包括体积力、表面力）做功的功率总和（包所有力（包括体积力、表面力）做功的功率总和（包括括X方向、方向、Y方向、方向、Z方向）为：方向）为：随流体运动的无
22、穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流体微团内能流体微团内能量的变化率量的变化率流入微团内流入微团内的净热流量的净热流量体积力和表面力对体积力和表面力对微团做功的功率微团做功的功率随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流入微团的净热流量来源两个方面：流入微团的净热流量来源两个方面：1）体积加热，如吸收或释放的热辐射。）体积加热，如吸收或释放的热辐射。随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流入微团的净热流量来源两个方面：流入微团的净热流量来源两个方面：2）由温度梯度导致的跨过表面的热输运，即热传导。）由温度梯度导致的跨过表面的热输
23、运，即热传导。随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量定义定义 为单位质量的体积加热率；运动流体微团的为单位质量的体积加热率；运动流体微团的质量为质量为 ，因此，微团的体积加热为，因此，微团的体积加热为随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量考虑面考虑面adhe和面和面bcgf，热传导在，热传导在X方向对流体微团的方向对流体微团的加热为：加热为：随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量热传导在热传导在X、Y、Z三个方向对流体微团的加热为：三个方向对流体微团的加热为：随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能
24、量通量因此，流入微团内的净热流量为：因此，流入微团内的净热流量为：根据傅立叶热传导定律，热传导产生的热流与当地的根据傅立叶热传导定律，热传导产生的热流与当地的温度梯度成正比，设温度梯度成正比，设k为热导率，则为热导率，则随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量因此，流入微团内的净热流量可写为：因此，流入微团内的净热流量可写为：随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流体微团内能流体微团内能量的变化率量的变化率流入微团内流入微团内的净热流量的净热流量体积力和表面力对体积力和表面力对微团做功的功率微团做功的功率随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的
25、能量通量小微团的能量通量跟随流体运动的微团的能量有两个来源：跟随流体运动的微团的能量有两个来源：1）由分子随机运动而产生的内能，定义单位质量内）由分子随机运动而产生的内能，定义单位质量内能为能为e随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量跟随流体运动的微团的能量有两个来源：跟随流体运动的微团的能量有两个来源：2）流体微团平动时具有的动能，单位质量的动能为）流体微团平动时具有的动能，单位质量的动能为随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量运动流体微团的质量为运动流体微团的质量为 ，因此，流体微团，因此，流体微团内能量的变化率为内能量的变化率为随流体运
26、动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流体微团内能流体微团内能量的变化率量的变化率流入微团内流入微团内的净热流量的净热流量体积力和表面力对体积力和表面力对微团做功的功率微团做功的功率根据能量守恒定律，有根据能量守恒定律，有流体微团内能流体微团内能量的变化率量的变化率流入微团内流入微团内的净热流量的净热流量体积力和表面力对体积力和表面力对微团做功的功率微团做功的功率于是能量方程（非守恒形式）为：于是能量方程（非守恒形式）为：只用内能只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）为：表示的能量方程（非守恒形式）为：只用内能只用内能e表示的能量方程中不包含体积力项。表示的能量方程中不包含体
27、积力项。只用内能只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）可写为：表示的能量方程（非守恒形式）可写为：根据根据 ，对牛顿流体，有对牛顿流体，有只用内能只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）可写为：表示的能量方程（非守恒形式）可写为：只用内能只用内能e表示的能量方程（守恒形式）为：表示的能量方程（守恒形式）为：用总能用总能 表示的能量方程（守恒形式）为：表示的能量方程（守恒形式）为：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：1.连续性方程连续性方程非守恒形式：非守恒形式：守恒形式：守恒形式：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩粘性
28、流动的控制方程总结如下：2.动量方程动量方程非守恒形式：非守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：2.动量方程动量方程守恒形式：守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：3.能量方程能量方程非守恒形式：非守恒形式：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：3.能量方程能量方程守恒形式：守恒形式：非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩
29、无粘流动的控制方程总结如下：1.连续性方程连续性方程非守恒形式：非守恒形式：守恒形式：守恒形式：非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：2.动量方程动量方程非守恒形式：非守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：2.动量方程动量方程守恒形式：守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：3.能量方程能量方程非守恒形式：非守恒形式：守恒形式：守恒形式：连续性方
30、程、动量方程、能量方程共有连续性方程、动量方程、能量方程共有5个，但有六个，但有六个未知的流场变量：个未知的流场变量：在空气动力学中，通常假设气体是完全气体（分子间在空气动力学中，通常假设气体是完全气体（分子间作用力可忽略），状态方程是：作用力可忽略），状态方程是：状态方程提供了第状态方程提供了第6个方程，但引进了第七个未知量：个方程，但引进了第七个未知量：温度温度T用以封闭整个方程组的第七个方程必须是状态参量之用以封闭整个方程组的第七个方程必须是状态参量之间的热力学关系。比如：间的热力学关系。比如：对常比热容完全气体，这个关系可以是：对常比热容完全气体，这个关系可以是：其中的其中的 是定容比
31、热。这个方程有时候也被称为量是定容比热。这个方程有时候也被称为量热状态方程。热状态方程。无论流动是波音无论流动是波音747飞机周围的流动、亚声速风洞内飞机周围的流动、亚声速风洞内的流动，还是流过一个风车流动，控制方程都是相同的流动，还是流过一个风车流动，控制方程都是相同的。然而，尽管流动的控制方程是相同的，可这些情的。然而，尽管流动的控制方程是相同的，可这些情形中流动却是完全不同的。为什么会这样的呢？差异形中流动却是完全不同的。为什么会这样的呢？差异是哪里产生的呢？是哪里产生的呢？答案是边界条件。不同的边界条件，有时还包括初始答案是边界条件。不同的边界条件，有时还包括初始条件，使得同一个控制方
32、程得到不同的特解。条件，使得同一个控制方程得到不同的特解。对于粘性流动，物面上的物理边界条件有物面速度无对于粘性流动，物面上的物理边界条件有物面速度无滑移边界条件和物面温度边界条件。滑移边界条件和物面温度边界条件。物面速度无滑移边界条件指：紧挨物面的气流与物面物面速度无滑移边界条件指：紧挨物面的气流与物面之间的相对速度为零。即：之间的相对速度为零。即：在物面（对于粘性流动）在物面（对于粘性流动）大部分粘性流动的物面温度边界条件要么给定一个常大部分粘性流动的物面温度边界条件要么给定一个常数作为壁面温度，即数作为壁面温度，即在物面在物面要么假设壁面为绝热壁，即要么假设壁面为绝热壁，即在物面在物面对
33、于无粘流动，物面上唯一的物理边界条件是法向速对于无粘流动，物面上唯一的物理边界条件是法向速度为零边界条件。度为零边界条件。也就是说物面上的流动与物面相切。也就是说物面上的流动与物面相切。在物面（对于无粘流动）在物面（对于无粘流动）无论是粘性流还是无粘流，根据问题的不同，流场中无论是粘性流还是无粘流，根据问题的不同，流场中不是物面的地方有多种不同类型的边界条件。不是物面的地方有多种不同类型的边界条件。比如对于流过固定形状管道的流动，应该在管道的入比如对于流过固定形状管道的流动，应该在管道的入口和出口有适合的入流和出流边界条件。口和出口有适合的入流和出流边界条件。比如对于已知来流中的飞行物，则给定
34、自由来流条件比如对于已知来流中的飞行物，则给定自由来流条件作为物体四周无穷远处的边界条件。作为物体四周无穷远处的边界条件。守恒变量：守恒变量：2,2Vuvwe 非守恒变量：非守恒变量：,u v w p非守恒变量可以由守恒变量求出：非守恒变量可以由守恒变量求出：守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是守守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是守恒变量。恒变量。非守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是非守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是非守恒变量。非守恒变量。守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第一守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第一个优点：个优点：守恒形式
35、的控制方程为算法设计和编程计算提供了方守恒形式的控制方程为算法设计和编程计算提供了方便。便。守恒形式的连续性方程、动量方程和能量方程可以用守恒形式的连续性方程、动量方程和能量方程可以用同一个通用方程来表达，这有助于计算程序的简化和同一个通用方程来表达，这有助于计算程序的简化和程序结构的组织。程序结构的组织。守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：U,F,G,H,J都是列向量。都是列向量。守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于无粘或粘性流动：对于无粘或粘性流动：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：
36、守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于无粘流动：对于无粘流动：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于粘性流动：对于粘性流动：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于粘性流动：对于粘性流动：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于粘性流动：对于粘性流动：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：列向量列向量U被称为解向量。被称为解向量。列向量列向量F,G,H被称为通量向量（或通量项）。被称为通量向量（或
37、通量项）。列向量列向量J代表源项（当体积力和体积热流可忽略时等代表源项（当体积力和体积热流可忽略时等于零）于零）在某些问题中，非定常的瞬时流场是我们最感兴趣的。在某些问题中，非定常的瞬时流场是我们最感兴趣的。这类问题为非定常问题。这类问题为非定常问题。对其他一些问题，需要得到定常解，这类问题为定常对其他一些问题，需要得到定常解，这类问题为定常问题。问题。求解定常问题，最好的方式是求解非定常方程，用长求解定常问题，最好的方式是求解非定常方程，用长时间的渐进解趋于定常状态。这种方法称为求解定常时间的渐进解趋于定常状态。这种方法称为求解定常流动的时间相关算法。流动的时间相关算法。上面方程的求解采用了
38、时间推进的方式，也就是说，上面方程的求解采用了时间推进的方式，也就是说，相关的流动变量是按时间步，一步步推进求解的。相关的流动变量是按时间步，一步步推进求解的。时间推进的方式时间推进的方式解向量解向量U的分量通常就是每一时间步直接被求解的未的分量通常就是每一时间步直接被求解的未知函数，右边的空间导数项被看成是已知的。知函数，右边的空间导数项被看成是已知的。通过某种方式求出右边的空间导数项，比如可以用上通过某种方式求出右边的空间导数项，比如可以用上一个时间步的结果计算出方程右边的这些项。一个时间步的结果计算出方程右边的这些项。在包含激波的流场中，流场的原始变量在包含激波的流场中，流场的原始变量p
39、,u,T等在跨等在跨过激波时，会发生急剧的不连续变化。过激波时，会发生急剧的不连续变化。采用激波捕捉法计算含激波的流场时，是让激波作为采用激波捕捉法计算含激波的流场时，是让激波作为流场计算的直接结果，自然而然地出现在计算区域里，流场计算的直接结果，自然而然地出现在计算区域里，而不必对激波本身进行特殊的处理。而不必对激波本身进行特殊的处理。守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第二守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第二个优点：个优点：采用激波捕捉法计算含激波的流场时，应该采用守恒采用激波捕捉法计算含激波的流场时，应该采用守恒形式的控制方程，以使计算结果光滑、稳定。形式的控制方程，以使
40、计算结果光滑、稳定。如果采用非守恒形式，流场计算结果在激波上下游出如果采用非守恒形式，流场计算结果在激波上下游出现空间振荡（抖动），激波的位置也可能不对，甚至现空间振荡（抖动），激波的位置也可能不对，甚至计算不稳定。计算不稳定。守恒形式的控制方程使用通量变守恒形式的控制方程使用通量变量作为未知函数，而通量变量在量作为未知函数，而通量变量在跨过激波时的变化要么为零，要跨过激波时的变化要么为零，要么很小。么很小。与把原始变量作为未知函数的非与把原始变量作为未知函数的非守恒形式相比，使用守恒形式提守恒形式相比，使用守恒形式提高了激波捕捉法数值解的质量。高了激波捕捉法数值解的质量。理论上，根据理论上，
41、根据偏微分方程的偏微分方程的解能得到流场解能得到流场中任意点上流中任意点上流场变量的值。场变量的值。离散网格点离散网格点实际上，我们实际上，我们采用代数差分采用代数差分的方式将偏微的方式将偏微分方程组转化分方程组转化为代数方程组。为代数方程组。离散网格点离散网格点通过求解代数通过求解代数方程组获得流方程组获得流场中离散网格场中离散网格节点上的变量节点上的变量值。值。离散网格点离散网格点从而，使得原从而，使得原来的偏微分方来的偏微分方程组被程组被“离散离散化化”了。了。离散网格点离散网格点离散网格点离散网格点泰勒级数展开：泰勒级数展开：泰勒级数展开：泰勒级数展开：差分表达式差分表达式截断误差截断
42、误差一阶向前差分：一阶向前差分：上述差分表达式用到了上述差分表达式用到了(i,j)点及其右边点及其右边(i+1,j)点的点的信息，没有左边信息，没有左边(i-1,j)点的信息，且精度为一阶点的信息，且精度为一阶离散网格点离散网格点泰勒级数展开：泰勒级数展开：泰勒级数展开：泰勒级数展开：一阶向后差分：一阶向后差分：上述差分表达式用到了上述差分表达式用到了(i,j)点及其左边点及其左边(i-1,j)点的点的信息，没有右边信息，没有右边(i+1,j)点的信息，且精度为一阶点的信息，且精度为一阶两式相减得：两式相减得：得：得：二阶中心差分：二阶中心差分：上述差分表达式用到了左边上述差分表达式用到了左边
43、(i-1,j)点及右边点及右边(i+1,j)点的信息，点的信息，(i,j)点位于它们中间，且精度为二阶点位于它们中间，且精度为二阶Y方向的差分表达式：方向的差分表达式：两式相加得：两式相加得：得：得：二阶中心差分（关于二阶导数）二阶中心差分（关于二阶导数）对对Y方向的二阶导数有：方向的二阶导数有：二阶中心差分（关于二阶中心差分（关于Y方向二阶导数）方向二阶导数）下面求二阶混合偏导数下面求二阶混合偏导数上式对上式对y求导得：求导得：下面求二阶混合偏导数下面求二阶混合偏导数上式对上式对y求导得：求导得：下面求二阶混合偏导数下面求二阶混合偏导数两式相减得：两式相减得：6下面求二阶混合偏导数下面求二阶
44、混合偏导数6二阶混合偏导数的二阶精度中心差分二阶混合偏导数的二阶精度中心差分二阶偏导数，四阶精度中心差分二阶偏导数，四阶精度中心差分高阶精度的差分需要更多的网格点，所以计算中的每一高阶精度的差分需要更多的网格点，所以计算中的每一个时间步或空间步都需要更多的计算机时间。个时间步或空间步都需要更多的计算机时间。在边界上怎样构造差分在边界上怎样构造差分近似？近似？边界网格点边界网格点向前差分，只有一阶精度。向前差分，只有一阶精度。边界网格点边界网格点在边界上如何得到二阶在边界上如何得到二阶精度的有限差分呢？精度的有限差分呢？边界网格点边界网格点不同于前面的泰勒级数不同于前面的泰勒级数分析，下面采用多
45、项式分析，下面采用多项式来分析。来分析。边界网格点边界网格点设设边界网格点边界网格点在网格点在网格点1，在网格点在网格点2，在网格点在网格点3，边界网格点边界网格点得得边界网格点边界网格点对对y求导得：求导得：在边界点在边界点1，边界网格点边界网格点得：得：边界网格点边界网格点根据根据知知为三阶精度为三阶精度边界网格点边界网格点故故为两阶精度为两阶精度为三阶精度为三阶精度边界网格点边界网格点为单侧差分为单侧差分对一个给定的偏微分方程，如果将其中所有的偏对一个给定的偏微分方程，如果将其中所有的偏导数都用有限差分来代替，所得到的代数方程叫导数都用有限差分来代替，所得到的代数方程叫做差分方程，它是偏
46、微分方程的代数表示。做差分方程，它是偏微分方程的代数表示。考虑非定常一维考虑非定常一维热传导方程：热传导方程：偏微分方程：偏微分方程：差分方程：差分方程：截断误差：截断误差：差分方程是一个代数差分方程是一个代数方程，如果在右图所方程，如果在右图所示区域内所有网格点示区域内所有网格点上都列出差分方程，上都列出差分方程，就得到一个联立的代就得到一个联立的代数方程组。数方程组。当网格点的数量趋于当网格点的数量趋于无穷多，也就是无穷多，也就是时，差分方程能否还时，差分方程能否还原为原来的微分方程原为原来的微分方程呢？呢？截断误差：截断误差：截断误差趋于零，从而差分方程确实趋近于原微截断误差趋于零，从而
47、差分方程确实趋近于原微分方程。分方程。从而差分方程确实趋近于原微分方程，从而差分方程确实趋近于原微分方程，如果，如果，截断误差趋于零，截断误差趋于零，此时我们说偏微分方程的这个有限差分表示是相此时我们说偏微分方程的这个有限差分表示是相容的。容的。原微分方程与相应的差分方程之间的区别原微分方程与相应的差分方程之间的区别截断误差：截断误差：原微分方程的解析解与差分方程的解之间的区别原微分方程的解析解与差分方程的解之间的区别离散误差：离散误差：上述方程是抛物型方程，可以推进求解，推进变量是时间上述方程是抛物型方程，可以推进求解，推进变量是时间t边界条件已知边界条件已知边界条件已知边界条件已知显式方法
48、中每一个差分方程只包含一个未知显式方法中每一个差分方程只包含一个未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方法数，从而这个未知数可以用直接计算的方法显式地求解。显式方法是最简单的方法。显式地求解。显式方法是最简单的方法。克兰克尼科尔森格式克兰克尼科尔森格式对于排列在同一时间层对于排列在同一时间层所有网格点上的未知量，所有网格点上的未知量，必须将它们联立起来同必须将它们联立起来同时求解，才能求出这些时求解，才能求出这些未知量，这种方法就定未知量，这种方法就定义为隐式方法。义为隐式方法。由于需要求解联立的代由于需要求解联立的代数方程组，隐式方法通数方程组，隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。常涉及大型矩阵
49、的运算。隐式方法比显式方法需隐式方法比显式方法需要更多、更复杂的计算。要更多、更复杂的计算。A，B，Ki 均为已知量均为已知量A，B，Ki 均为已知量均为已知量在网格点在网格点2：A，B，Ki 均为已知量均为已知量T1 为边界条件，已知量为边界条件，已知量在网格点在网格点3：A，B，Ki 均为已知量均为已知量在网格点在网格点4：在网格点在网格点5：A，B，Ki 均为已知量均为已知量在网格点在网格点6：T7 为边界条件，已知量为边界条件，已知量于是有关于于是有关于T2，T3，T4，T5，T6这五个未知数的五个方程这五个未知数的五个方程A，B，Ki 均为已知量均为已知量写成矩阵形式：写成矩阵形式：
50、系数矩阵是一个三对角矩阵，仅在三条对角线上有非系数矩阵是一个三对角矩阵，仅在三条对角线上有非零元素。零元素。求解线性代数方程组的标准方法是高斯消去法。应用求解线性代数方程组的标准方法是高斯消去法。应用于三对角方程组，通常采用托马斯算法（国内称为追于三对角方程组，通常采用托马斯算法（国内称为追赶法）求解。赶法）求解。对于显式方法，一旦对于显式方法，一旦 x取定，那么取定，那么 t的取值必须受到的取值必须受到稳定性条件的限制，其取值必须小于等于某个值。否稳定性条件的限制，其取值必须小于等于某个值。否则，计算不稳定。因此，则，计算不稳定。因此，t必须取得很小，才能保持必须取得很小，才能保持计算稳定，
