1、第三章第三章 经典单方程计量经济学模型经典单方程计量经济学模型多元回归多元回归 多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计 多元线性回归模型的统计检验 多元线性回归模型的预测 回归模型的其他形式 回归模型的参数约束3.1 多元线性回归模型多元线性回归模型 一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定 一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型表现在线性回归模型中的解释变量有多个。中的解释变量有多个。一般表现形式一般表现形式ikikiiiXXXY 22110i=1,2,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数回归参数（regress
2、ion coefficient）。习惯上习惯上：把常数项常数项看成为一虚变量虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样：模型中解释变量的数目为（模型中解释变量的数目为（k+1+1）ikikiiiXXXY 22110也被称为也被称为总体回归函数总体回归函数的的随机表达形式随机表达形式。它。它 的的非随机表达式非随机表达式为为:kikiikiiiiXXXXXXYE 2211021),|(方程表示：方程表示：各变量各变量X X值固定时值固定时Y Y的平均响应的平均响应。j也被称为也被称为偏回归系数偏回归系数，表示在其他解释变，表示在其他解释变量保持不变的情况下，量保持不变的情况下，Xj每变化每
3、变化1个单位时，个单位时，Y的均值的均值E(Y)的变化的变化;或者说或者说j给出了给出了Xj的单位变化对的单位变化对Y均值的均值的“直直接接”或或“净净”（不含其他变量）影响。（不含其他变量）影响。总体回归模型总体回归模型n个随机方程的个随机方程的矩阵表达式矩阵表达式为为 XY其中其中)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kk121nn样本回归函数样本回归函数：用来估计总体回归函数：用来估计总体回归函数kikiiiiXXXY22110其其随机表示式随机表示式:ikikiiiieXXXY22110 ei称为称为残差残差或或剩余项剩余项(residu
4、als)，可看成是总，可看成是总体回归函数中随机扰动项体回归函数中随机扰动项 i的近似替代。的近似替代。样本回归函数样本回归函数的的矩阵表达矩阵表达:XY或或eXY其中：其中：k10neee21e二、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定 假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性0)(iE22)()(iiEVar0)(),(jijiECovnjiji,2,1,假设3，解释变量与随机项不相关 0),(ijiXCov假设4，随机项满足正态分布),0(2Nikj,2,1 上述假设的上述假设的矩阵符号表
5、示矩阵符号表示 式：式：假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。假设2，0)()()(11nnEEEEnnEE11)(21121nnnEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn假设3，E(X)=0，即 0)()()(11iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。样本回归函数：用来估计总体回归函数根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量68 AC=6.由于XX满秩，故有渐近无偏性、渐近有效性、一致性。一元
6、模型：F=285.可见，计算的所有t值都大于该临界值，所以拒绝原假设。该正规方程组 可以从另外一种思路来导:2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论3、有效性（最小方差性）n30 时，Z检验才能应用；三、变量的显著性检验（t检验）其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:这一检验是由对变量的 t 检验完成的。给定显著性水平=0.二、方程的显著性检验(F检验)假设4，向量 有一多维正态分布，即),(2I0N 同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n时，jjj
7、ijiQXXnxn22)(11或Qxxn1 其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵 knnkxxxx1111x假设6，回归模型的设定是正确的。3.2 多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计 估计方法OLS、ML或者MM 一、普通最小二乘估计*二、最大或然估计*三、矩估计 四、参数估计量的性质 五、样本容量问题 六、估计实例 一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值kjniXYjii,2,1,0,2,1),(如果样本函数样本函数的参数估计值已经得到，则有：KikiiiiXXXY22110i=1,2n根据最小二乘原理最小二乘原理，
8、参数估计值应该是下列方程组的解 0000210QQQQk其中2112)(niiiniiYYeQ2122110)(nikikiiiXXXY于是得到关于待估参数估计值的正规方程组正规方程组：kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)()()()(221102222110112211022110 解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值,jjk 012。正规方程组正规方程组的矩阵形式矩阵形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn2121112111
9、02112111111即YXX)X(由于XX满秩，故有 YXXX1)(将上述过程用矩阵表示矩阵表示如下：即求解方程组：0)()(XYXY0)(XXXYYXYY0)2(XXXYYY0XXYX得到：YXXX1)(XXYX于是：例例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入家庭收入-消费支出消费支出例中，53650000215002150010111111)(22121iiinnXXXnXXXXXXXX39468400156741112121iiinnYXYYYYXXXYX可求得 0735.10003.00003.07226.0)(1EXX于是 7770.0172.10339648400156740735
10、.10003.00003.07226.021E根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。多元线性回归模型的参数估计F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：*2、赤池信息准则和施瓦茨准则OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:赤池信息准则（Akaike information criterion,AIC）中国居民消费二元例中：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标
11、准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。(*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法多元线性回归模型的预测包括常数项在内的3个解释变量都在95%的水平下显著，都通过了变量显著性检验。方程的总体线性关系显著每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的1的家庭收入-消费支出例中，结果与参数的普通最小二乘估计相同施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）正规方程组正规方程组 的另一种写法对于正规方程组正规方程组 XXYXXXeXXX于是 0eX或 0ie0iijieX(*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组正规方程组的另一种写法(*)(*)样本回归函数的离差形式样
12、本回归函数的离差形式ikikiiiexxxy2211i=1,2n其矩阵形式矩阵形式为 exy其中：nyyy21yknnnkkxxxxxxxxx212221212111xk21在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为 Yxxx1)(kkXXY110随机误差项随机误差项 的方差的方差 的无偏估计的无偏估计 可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为 1122knkneiee *二、最大或然估计二、最大或然估计 对于多元线性回归模型ikikiiiXXXY 22110易知),(2XiNYi Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率)()(21)(212122222211022)2(1)2(1),(),(XY
13、XYeeYYYPLnXXXYnnnkikiiin即为变量Y的或然函数或然函数 对数或然函数为)()(21)2()(2*XYXYnLnLLnL对对数或然函数求极大值，也就是对)()(XYXY求极小值。因此，参数的最大或然估计最大或然估计为为YXXX1)(结果与参数的普通最小二乘估计相同结果与参数的普通最小二乘估计相同*三、矩估计三、矩估计（Moment Method,MM）OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正正规方程组规方程组YXX)X(并对它进行求解而完成的。该该正规方程组正规方程组 可以从另外一种思路来导:XYXXXYXXX(YX)求期望:0XYX)(E0XYX)(E称为原总体回归方程
14、的一组矩条件矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。0)1X(YXn由此得到正规方程组正规方程组 YXXX解此正规方程组即得参数的MM估计量。易知MM估计量与与OLS、ML估计量等价。矩方法矩方法是是工具变量方法工具变量方法(Instrumental Variables,IV)和和广义矩估计方法广义矩估计方法(Generalized Moment Method,GMM)的基础的基础 在在矩方法矩方法中关键是利用了中关键是利用了 E(X)=0 如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。如果存在k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含k+1
15、方程的矩条件。这就是GMM。四、参数估计量的性质四、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有 线性性、无偏性、有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性、线性性 CYYXXX1)(其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量 2、无偏性、无偏性 XXXXXXXYXXX11)()()()()()(1EEEE这里利用了假设:E(X)=0 3、有效性（最小方差性）、有效性（最小方差性）其中利用了 YXXX1)(XXXXXXX11)()()(和I2)(E
16、五、样本容量问题五、样本容量问题 所谓“最小样本容量最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。最小样本容量最小样本容量 样本最小容量必须不少于模型中解释变量样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）的数目（包括常数项）,即 n k+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1 2 2、满足基本要求的样本容量、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度从统计检验的角度：n30 时，Z检验才能应用；n-k8时,t分布较为稳定 一般经验认为一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。模型的
17、良好性质只有在大样本下才能模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明得到理论上的证明将上述过程用矩阵表示如下：3 多元线性回归模型的统计检验 最小样本容量渐近无偏性、渐近有效性、一致性。三、变量的显著性检验（t检验）最小样本容量1的家庭收入-消费支出例中，赤池信息准则（Akaike information criterion,AIC）可提出如下原假设与备择假设：上述假设的矩阵符号表示 式：一、多元线性回归模型方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。05，查得相应临界值：t0.05，查表得临界值：t0.给定显著
18、性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过五、样本容量问题于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：二元模型：F=2057.六、多元线性回归模型的参数估计实例六、多元线性回归模型的参数估计实例 例例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国居中国居民人均消费民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。解释变量：解释变量：人均GDP：GDPP 前期消费：CONSP(-1)估计区间估计区间：19792000年Eviews软件估计结果 LS/Dependent Variable is CONS Sample(ad
19、justed):1979 2000 Included observations:22 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.C 120.7000 36.51036 3.305912 0.0037 GDPP 0.221327 0.060969 3.630145 0.0018 CONSP(-1)0.451507 0.170308 2.651125 0.0158 R-squared 0.995403 Mean dependent var 928.4946 Adjusted R-squared
20、 0.994920 S.D.dependent var 372.6424 S.E.of regression 26.56078 Akaike info criterion 6.684995 Sum squared resid 13404.02 Schwarz criterion 6.833774 Log likelihood -101.7516 F-statistic 2057.271 Durbin-Watson stat 1.278500 Prob(F-statistic)0.000000 3.3 多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验(
21、F检验)三、变量的显著性检验（t检验）四、参数的置信区间 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 1、可决系数与调整的可决系数、可决系数与调整的可决系数则2222)()(2)()()()(YYYYYYYYYYYYYYTSSiiiiiiiiii 总离差平方和的分解总离差平方和的分解由于)()(YYeYYYYiiiiikiikiiieYXeXee110=0所以有：ESSRSSYYYYTSSiii22)()(注意：注意：一个有趣的现象一个有趣的现象 222222YYYYYYYYYYYYYYYYYYiiiiiiiiiiii 可决系数可决系数TSSRSSTSSESSR12该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高
22、。问题：问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大（Why?)这就给人一个错觉一个错觉：要使得模型拟合得好，只要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可要增加解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整需调整。调整的可决系数调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响除变量
23、个数对拟合优度的影响:)1/()1/(12nTSSknRSSR其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。11)1(122knnRR *2、赤池信息准则和施瓦茨准则、赤池信息准则和施瓦茨准则 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有:赤池信息准则赤池信息准则（Akaike information criterion,AIC）nknAIC)1(2lnee施瓦茨准则施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）nnknAClnlnee 这两准则均要求这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少仅当所增加的解释变量能够减少AICAIC值或值或A
24、CAC值时才在原模型中增加该解释变量值时才在原模型中增加该解释变量。Eviews的估计结果显示：中国居民消费一元例中：AIC=6.68 AC=6.83 中国居民消费二元例中：AIC=7.09 AC=7.19从这点看，可以说前期人均居民消费CONSP(-1)应包括在模型中。二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F检验检验)方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系量与解释变量之间的线性关系在总体上在总体上是否显著是否显著成立作出推断。成立作出推断。1、方程显著性的、方程显著性的F检验检验 即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+k
25、Xki+i i=1,2,n中的参数j是否显著不为0。可提出如下原假设与备择假设：H0：0=1=2=k=0 H1：j不全为0多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。可见，计算的所有t值都大于该临界值，所以拒绝原假设。二、多元线性回归模型的基本假定多元线性回归模型的参数估计四、参数估计量的性质一元模型：F=285.对于多元线性回归模型3 多元线性回归模型的统计检验1的家庭收入-消费支出例中，将上述过程用矩阵表示如下：给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过AIC=7.ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项
26、i的近似替代。这一检验是由对变量的 t 检验完成的。F F(k,n-k-1)或 FF(k,n-k-1)在变量的显著性检验中已经知道(*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法二元例：F(2,19)=3.F F检验的思想检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS由于回归平方和2iyESS是解释变量X的联合体对被解释变量 Y 的线性作用的结果，考虑比值 22/iieyRSSESS 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断断
27、。根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量)1/(/knRSSkESSF服从自由度为(k,n-k-1)的F分布 给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1)或 FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上总体上的线性关系是否显著成立。对于中国居民人均消费支出的例子：一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3给定显著性水平=0.05，查分布表，得到临界值：一元例：F(1,21)=4.32 二元例：F(2,19)=3.52显然有 F F(k,n-k-1)即二个模型的线性关系在95%的水平下
28、显著成立。2、关于拟合优度检验与方程显著性检关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论验关系的讨论 由)1/()1/(12nTSSknRSSR)1/(/knRSSkESSF可推出：kFknnR1112与或)1/()1(/22knRkRF在在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费消费一元模型一元模型中，中，在在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费消费二元模型二元模型中中，三、变量的显著性检验（三、变量的显著性检验（t检验）检验）方程的总体线性总体线性关系显著 每个解释变量每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的 因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一
29、检验是由对变量的这一检验是由对变量的 t t 检验完成的。检验完成的。1、t统计量统计量 由于12)()(XXCov 以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为：iiicVar2)(其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:1122knkneiee),(2iiiicN因此，可构造如下t统计量)1(1kntkncStiiiiiiiee 2、t检验检验 设计原假设与备择假设：H1：i0 给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过|t|t/2(n-k-1)或|t|t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判
30、定对应的解释变判定对应的解释变量是否应包括在模型中。量是否应包括在模型中。H0：i=0 （i=1,2k）注意：注意：一元线性回归中，一元线性回归中，t t检验与检验与F F检验一致检验一致 一方面一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0：1=0=0 进行检验;另一方面另一方面，两个统计量之间有如下关系：222212221222122212212)2()2()2()2(txnexnexnenexneyFiiiiiiiiii在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费支出消费支出二元模型二元模型例中，由应用软件计算出参数的t值：651.2630.3306.3210ttt 给定显著性水平=0.05，
31、查得相应临界值：t0.025(19)=2.093。可见，计算的所有计算的所有t值都大于该临界值值都大于该临界值，所以拒绝原假设。即:包括常数项在内的包括常数项在内的3个解释变量都在个解释变量都在95%的水的水平下显著，都通过了变量显著性检验。平下显著，都通过了变量显著性检验。四、参数的置信区间四、参数的置信区间 参数的置信区间用来考察在一次抽样中所估计参数的置信区间用来考察在一次抽样中所估计的参数值离参数的真实值有多的参数值离参数的真实值有多“近近”。在变量的显著性检验中已经知道在变量的显著性检验中已经知道)1(1kntkncStiiiiiiiee容易推出容易推出：在(1-)的置信水平下i的置
32、信区间是(,)iitstsii22其中，t/2为显著性水平为、自由度为n-k-1的临界值。在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费支出消费支出二元模型二元模型例中,给定=0.05，查表得临界值：t0.025(19)=2.093计算得参数的置信区间：0：(44.284,197.116)1：(0.0937,0.3489)2：(0.0951,0.8080)170.04515.0061.02213.051.3670.120210210sss 从回归计算中已得到：如何才能缩小置信区间？如何才能缩小置信区间？增大样本容量增大样本容量n n，因为在同样的样本容量下，因为在同样的样本容量下，n n越越大，大，t t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；量，还可使样本参数估计量的标准差减小；提高模型的拟合优度提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。平方和应越小。提高样本观测值的分散度提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观一般情况下，样本观测值越分散测值越分散，(XX)-1的分母的的分母的|XX|的值越大，致的值越大，致使区间缩小。使区间缩小。
