1、2022-12-4数学与计算科学学院数学与计算科学学院数学与计算科学学院设设V是数域是数域P上的线性空间，集合上的线性空间，集合()WV W 若若W对于对于V中的两种运算也构成数域中的两种运算也构成数域P上的线性上的线性空间空间,则称则称W为为V的一个的一个线性子空间线性子空间，简称为，简称为子空间子空间注：注：线性子空间也是数域线性子空间也是数域P上一线性空间，它也上一线性空间，它也 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念有基与维数的概念.维数维数.数学与计算科学学院()W ，若，若W对于对于V中两种运算封闭，即中两种运算封闭，即,;WW
2、 有有则则W是是V的一个子空间的一个子空间：设：设V为数域为数域P上的线性空间，集合上的线性空间，集合 WV,WkPkW 有有,.Wa bP abW ：V为数域为数域P上的线性空间上的线性空间,(),WV W 则则W是是V的子空间的子空间数学与计算科学学院 ，.且对且对 ，W WW由数乘运算由数乘运算封闭，有封闭，有(1)W，即，即W中元素的负元素就是中元素的负元素就是它在它在V中的负元素，中的负元素，4）成立）成立就是就是V中中的零元，的零元，3）成立）成立由于由于 WV，规则，规则1）、）、2）、）、5）、）、6）、）、7）、）、8）是显然成立的下证是显然成立的下证3）、）、4）成立）成立
3、 由加法封闭，有由加法封闭，有 ,即即W中的零元中的零元0()W 证明证明：要证明：要证明W也为数域也为数域P上的线性空间，上的线性空间，即证即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则中的向量满足线性空间定义中的八条规则 数学与计算科学学院 例例2设设V为所有实函数所成集合构成的线性空间为所有实函数所成集合构成的线性空间,则则Rx为为V的一个子空间的一个子空间 例例3Pxn是是Px的的线性子空间的的线性子空间 例例1设设V为数域为数域P上的线性空间，只含零向量的上的线性空间，只含零向量的子集合是子集合是V的一个线性子空间，称之为的一个线性子空间，称之为V的的零子空间零子空间线性空间线性空间V本
4、身也是本身也是V的一个子空间的一个子空间.这两个子空间有时称为这两个子空间有时称为平凡子空间平凡子空间，而其它的，而其它的子空间称为子空间称为非平凡子空间非平凡子空间 0W 数学与计算科学学院的全部解向量所成集合的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数对于通常的向量加法和数 ()的的解空间解空间W的维数的维数n秩秩(A)，；()ijs nAa 例例4n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 111122121122221122000nnnnsssnna xa xa xa xa xaxa xa xa x ()()的一个基础解系就是解空间的一个基础解系就是解空间W的一组基的一组基.空间，称空间，称W
5、为方程组为方程组()的的解空间解空间量乘法构成的线性空间是量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间维向量空间 Pn 的一个子的一个子数学与计算科学学院例例5判断判断Pn的下列子集合哪些是子空间：的下列子集合哪些是子空间：11212(,)0,nniWx xxxxxxP 解：解：W1、W3是是Pn的子空间，的子空间，W2不是不是Pn的子空间的子空间.21212(,)1,nniWx xxxxxxP 3121(,0),1,2,1niWx xxxP in 若为若为Pn的子空间，求出其维数与一组基的子空间，求出其维数与一组基.事实上，事实上，W1 是是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组的解空间的解空间.所以
6、，维所以，维W1 n n1 1，的一个基础解系的一个基础解系120nxxx 数学与计算科学学院就是就是W1 的一组基的一组基.1(1,1,0,0),1(1,0,0,1)n ,2(1,0,1,0,0),而在而在 W2中任取两个向量，设中任取两个向量，设,1212(,),(,)nnxxxyyy 1122()()()nnxyxyxy但但是是1212()()112nnxxxyyy 1122(,)nnxy xyxy 2,W 则则故故W2不是不是Pn的子空间的子空间.数学与计算科学学院故，故，W3为为V的一个子空间，且维的一个子空间，且维W3 n n1 1 ，1213(,0)nkkx kxkxW 1122
7、113(,0)nnxyxyxyW 则有则有 其次，其次，3,WkP 121121(,0),(,0)nnxxxyyy 设设330(0,0,0),WW 首首先先下证下证W3是是Pn的子空间的子空间.(0,0,1,0,0),1,2,1iiin 就是就是W3的一组基的一组基.数学与计算科学学院例例6设设V为数域为数域P上的线性空间，上的线性空间，12,rV 1122,1,2,rriWkkkkP ir令令则则W关于关于V的运算作成的运算作成V的一个子空间的一个子空间 即的一切线性即的一切线性组合所成集合组合所成集合.12,r 数学与计算科学学院称为称为V的由的由 生成的子空间生成的子空间，12,r 定义
8、定义：V为数域为数域P上的线性空间，上的线性空间，则子空间则子空间 12,rV ，1122,1,2,rriWkkkkP ir 记作记作 12(,)rL 称称 为为 的一组的一组 生成元生成元.12,r 12(,)rL 数学与计算科学学院例例7在在Pn 中中，21(1,)nnP xLx xx (0,0,1,0,0),1,2,iiin 为为Pn的的一组基，一组基，12(,)nna aaP 1 122nnaaa 有有12(,)nnPL 故故有有即即 Pn 由它的一组基生成由它的一组基生成.类似地，还有类似地，还有 1011011,nnnaa xaxa aaP 事实上，任一有限事实上，任一有限维线性空
9、间都可由维线性空间都可由它的一组基生成它的一组基生成.数学与计算科学学院设设W为为n维线性空间维线性空间V的任一子空间，的任一子空间，是是W的一组基，则有的一组基，则有12,r 12(,)rWL （）1）；为线性空间为线性空间V中的中的两组向量，则两组向量，则12,s 1212(,)(,)rsLL 12,r 与与 等价等价 12,r 12,s 2）生成子空间）生成子空间 的维数的维数12(,)rL 向量组向量组 的秩的秩12,r 数学与计算科学学院证：证：1）若）若 1212(,)(,)rsLL 则对则对,1,2,iir 有有 ，12(,)isL 从而从而 可被可被12,s i 线性表出；线性
10、表出；同理每一个同理每一个也可被也可被 线性表出线性表出.12,r i 所以，所以，与与 等价等价 12,r 12,s 12(,)rL ，可被可被 线性表出，线性表出，12,r 从而可被从而可被 线性表出，即线性表出，即 12,s 12(,),sL 反之，反之，与与 等价等价 12,r 12,s 1212(,)(,)rsLL 数学与计算科学学院所以所以,1212(,)(,).rtLL 同理可得，同理可得，1212(,)(,)srLL 故，故，1212(,)(,)rsLL 由由3 3定理定理1 1，2）设向量组）设向量组 的秩的秩t，不妨设，不妨设 12,r 为它的一个极大无关组为它的一个极大无
11、关组 12,()ttr 因为因为 与与 等价，等价，12,r 12,t 就是就是 的一组基，的一组基，12(,)rL 12,t 所以，所以，的维数的维数t12(,)rL 数学与计算科学学院无关组，则无关组，则推论：推论：设是线性空间设是线性空间V V中不全为零中不全为零12,s 的一组向量，是它的一个极大的一组向量，是它的一个极大12,()riiirs 1212(,)(,)rsiiiLL 设设 为为P上上n维线性空间维线性空间V的一组基，的一组基，12,n 则则 的维数秩的维数秩(A).12(,)sL 1212(,)(,)snA A为为P上一个上一个 矩阵，若矩阵，若ns 数学与计算科学学院证
12、：设秩证：设秩(A)r，不失一般性，设，不失一般性，设A的前的前r列线列线性无关，并将这性无关，并将这r 列构成的矩阵记为列构成的矩阵记为A1，其余，其余s-r列列构成的矩阵记为构成的矩阵记为A2，则则A(A1,A2)，且，且秩秩(A1)秩秩(A)r，12121(,)(,)rnA 设即设即11220,rrkkk 112(,)0,rrkk 下证线性无关下证线性无关.12,r 数学与计算科学学院12,n 是是V的一组基，的一组基，110rkAk 又秩又秩(A1)r，方程组方程组只有零解，即只有零解，即120,rkkk 12,r 线性无关线性无关.从而从而1121(,)0nrkAk 数学与计算科学学
13、院1212(,)(,)rjnjB 任取任取(1,2,),jjs 将将A的第的第 j 列添在列添在A1的右边构成的矩阵记为的右边构成的矩阵记为Bj，则，则则有则有1121(,)0njrrlBll 1121(,)0,rjrrlll 即即设设112210,rrrjllll 数学与计算科学学院从而有从而有110jrrlBll 而秩而秩(Bj)r，有非零解，故有不全为零的数有非零解，故有不全为零的数121,rrl ll l 使使故为的极大无关组，故为的极大无关组，12,r 12,s 所以所以 的维数的维数r秩秩(A).12(,)sL 112210,rrrjllll 线性相关线性相关.12,rj 数学与计
14、算科学学院则向量组则向量组 与矩阵与矩阵A的列向量组具有相同的列向量组具有相同12,s 线性相关性线性相关性.所以可对矩阵所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯作初等行变换化阶梯阵来求向量组阵来求向量组 的一个极大无关组，从而的一个极大无关组，从而12,s 求出生成子空间的维数与一组基求出生成子空间的维数与一组基.12(,)sL 1212(,)(,)snA 由证明过程可知，若由证明过程可知，若 为为V的一组基，的一组基，12,n 数学与计算科学学院为为 V 的一组基即在的一组基即在 V 中必定可找到中必定可找到 nm 个向量个向量设设W为为 n 维线性空间维线性空间 V 的一个的一个 m 维子空间，
15、维子空间，（）为为W的一组基，则这组向量必定可扩充的一组基，则这组向量必定可扩充12,m ，使，使 为为 V 的一组基的一组基12,n 12,mmn扩基定理扩基定理 证明证明：对：对nm作数学归纳法作数学归纳法当当 nm0时，即时，即nm，定理成立定理成立12,m 就是就是V的一组基的一组基.假设当假设当nmk时结论成立时结论成立.数学与计算科学学院因因 n(m1)(nm)1(k1)1k，下面我们考虑下面我们考虑 nmk1 的情形的情形必定是线性无关的必定是线性无关的121,mm 既然既然 还不是还不是V的一组基，它又是线的一组基，它又是线性无关的，那么在性无关的，那么在V中必定有一个向量不能
16、被中必定有一个向量不能被 线性表出，把它添加进去，则线性表出，把它添加进去，则12,m 1m 12,m 由定理由定理3，子空间，子空间 是是m1维的维的121(,)mL 可以扩充为整个空间可以扩充为整个空间V的一组基由归纳原理得证的一组基由归纳原理得证.由归纳假设，由归纳假设，的基的基121(,)mL 121,mm 数学与计算科学学院它扩充为它扩充为P4的一组基，其中的一组基，其中例例8 求求 的维数与一组基，并把的维数与一组基，并把12345(,)L 1(1,1,2,4),5(2,1,5,6)4(1,1,2,0),3(3,0,7,14),2(0,3,1,2),解：对以为列向量的矩阵解：对以为
17、列向量的矩阵A作作12345,初等行变换初等行变换10 3121 3 01 12 1 72 542 14 06A 1 0 3120 3 3030 1 1010 2 242数学与计算科学学院1 0 3120 1 1010 0 0000 0 0441 0 3 1 20 1 1 0 10 0 0 1 10 0 0 0 0B 由由B知，为知，为 的一个极大的一个极大124,12345,故，维故，维 3 3，12345(,)L 就是就是 的一组基的一组基.124,12345(,)L 无关组无关组.数学与计算科学学院10 101 31 0.2 12 142 0 0可可逆逆10 11 31120,42 0
18、又又(0,0,1,0)令令则则 线性无关，从而为线性无关，从而为P4的一组基的一组基.124,数学与计算科学学院 设设V为数域为数域P上的线性空间，为上的线性空间，为V1234,的一组基，且的一组基，且123,V 1123412(,),34 2123421(,),31 3123413(,),03 求求 的一组基，并把它扩充为的一组基，并把它扩充为V的一组基的一组基.123(,)L 数学与计算科学学院令对令对A作初等行变换作初等行变换12121 3,3304 13A 12112 11 2 105105 10 1 10330 1 10 0 60770 0 00 0 0AB 123123412121 3(,)(,)330413 解：解：数学与计算科学学院1 21 021 3 0.3 30 04 13 1 可可逆逆则线性无关，从而为则线性无关，从而为V的一组基的一组基.1234,又又12 121 30,33 041234400(,)01 令令由由B知，知，A的列向量线性无关，从而的列向量线性无关，从而123,线性无关线性无关.故故 为的一组基为的一组基.123,123(,)L
