1、1 1 集集 合合2 2 映射与变换映射与变换3 3 代数运算代数运算4 4 运算率运算率5 5 同态与同构同态与同构6 6 等价关系与集合的分类等价关系与集合的分类1 1 集集 合合 表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如如“一队一队”、“一班一班”、“一筐一筐”.组成集合的东西组成集合的东西叫这个集合的元素叫这个集合的元素.我们常用大写拉丁字母我们常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用表示集合，用小写拉丁字母小写拉丁字母a，b，c，表示元素表示元素.如果如果a是集合是集合A的的元素，就说元素，就说a属于属于A，记作，记作 ；如果；如果a
2、不是集合不是集合A的元素，就说的元素，就说a不属于不属于A，记作，记作 ；AaaA 例如，设例如，设A是一切偶数所成的集合，那么是一切偶数所成的集合，那么4A，而而 .3A 一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合有限集合.如，学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合.如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合无限集合.如，全体自然数的集合；全体实数的集合.不含任何元素的集合叫空集.表示为：枚举法枚举法:例如,我们把一个含有n个元素 的集合的有限集合表示成：.前五个正整数的集合就可以记作 .naaa,21naaa,215,4,3,2,1拟枚举：
3、拟枚举：自然数的集合可以记作 ,拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合,像自然数、整数.5,4,3,2,1n描述法描述法:如果一个集A是由一切具有某一性质的元素所组成的，那么就用记号具有某一性质 x|x A来表示.表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合.|11,Axxx R 常用的数集：常用的数集：全体整数的集合，表示为Z全体有理数的集合，表示为Q全体实数的集合，表示为R全体复数的集合，表示为C 设A，B是两个集合，如果A 的每一元素都是B 的元素，那么就说是的子集子集，记作 ，或记作 .根据这个定义，是的的子集当且仅当对于每一个元素x，如果 ，就有 .BA AB AxBxA是B的子集，
4、记作：记作：()(:)ABx xAxB 如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的，就说A与B 相等，记作：A=B.即()(:)ABx xAxB 以集合A的所有子集为元素的集合，称为A的幂集幂集，记为P(A).AA=AA=2n如果集合 包含无限多个元素，则记为；如果 包含个元素，则记为，此时P(A)并运算并运算 设A，B是两个集合.由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集并集（简称并），记作 .如图1所示.BAAB()()xABxAxB或()()xABxAxB且BA交运算交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集交集(简称交)，记作：，如图2所示.BABA显然，显
5、然，ABABBA，例如，例如，A=1，2，3，4，B=2，3，4，5，则，则4,3,2BA我们有我们有()()xABxAxB且()()xABxAxB或运算性质运算性质:交换律交换律:ABBAABBA;分配律分配律:CABACBACABACBA结合律结合律:()()ABCABC)()(CBACBA;幂等率幂等率:AAAAAA;两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设 是给定的集合.由 的一切元素所成的集合叫做 的并；由 的一切公共元素所成的集合叫做 的交.的并和交分别记为：和 .我们有nAAA,21nAAA,21nAAA,21nAAA,21nAAA,21nAAA,21nAAA21nAA
6、A2112()(,1,2,)ixAAAxA in至少属于某一12()(,1,2,)ixAAAxA in属于每一差运算：差运算：设A，B是两个集合，令|BxAxxBA但也就是说，是由一切属于A但不属于B 的元素所组成的，称为A与B 的差.BA注意：并没有要求注意：并没有要求B是是A的子集的子集.例如，例如，QC积运算：积运算：设A，B是两个集合，令称 为A与B的笛卡儿积（简称为积）.是一切元素对（a,b）所成的集合，其中第一个位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B.可以定义多个集合的笛卡儿积,|),(BbAabaBABA2 2 映射与变换映射与变换定义定义1 设设A，B 是两个非空的集合，
7、是两个非空的集合，A到到B 的一个映射的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合对于集合A中的中的每一个元素每一个元素 x，有集合，有集合B中一个惟一确定的元素中一个惟一确定的元素 y 与它与它对应对应.用字母用字母f，g，表示映射表示映射.用记号用记号 表示表示f 是是A到到B的一个映射的一个映射.BAf:如果通过映射如果通过映射f，与，与A中元素中元素x对应的对应的B中元素是中元素是y，那，那么就写作么就写作 yxf:这时这时y 叫做叫做 x 在在f 之下的象，之下的象，记作记作 .)(xf例例1 设 这是A到B的一个映射.4,3,2,1 BA1
8、4,43,32,21:f例例2 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集合.对于每一 ，令 与它对应.f 不是A到B的映射，因为当 时，不能由x唯一确定.Axxxf)(0 x)(xf定义定义2 2 设f 是A到B的一个映射，如果Imf=B，那么说称f 是A到B上上的一个映射，这里也称f 是一个满射。设 是一个映射.对于 ，x的像 .一切这样的象作成B的一个子集，用 表示：，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.BAf:AxBxf)()(Af()()|f Af xxA11()B()AfBffB表示 中所有元素在 之下全体逆象作成的集合，且定义定义3 设 是一个映射，如果对于A中任意两个元素 和
9、 ，只要 ，就有 ，那么就称f 是A到B的一个单射单射.或A到B的一一映射BAf:1x2x21xx)()(21xfxf 如果既是满射，又是单射，即如果 f 满足下面两个条件，BAf)(就称f是A到B的一个双射双射.或或A到到B上的一一映射上的一一映射1212()()f xf xxxx A ，XYXYXYYX ：设 是集合 到 的一个映射，则 是 到 的一个双射为“双边单值”，即 对 中每个 元素在 中只有一个象定理，且对 中没个元素在中有且只有一个逆象11221212YX,(),().x,Xxyxyyyx12证：“”对 中每个元素在 中都有一个逆象，故 满；又设x,x且如果，则由逆象惟一，故即
10、 单，从而 双。“”显然X YX=Y对两个有限集合 和 来说，它们之间能够建立双射的充要条件是，即二者包含的元素个数相等。XY2X=YXY：设 与 是两个有限集合且，则 到的映射 是满射当且仅当 是单射。（有限等势，单即满、满即单、定理从而双）12n12nX=Y=nX=x,x,x,Y=y,y,y(1,2,;1)XYiikixyinkn证：“”设，且又：是 到 的一个映射1212x,kkxy若 满，则由必有y1223=(),n 1()Y nkkkkkyXyyyX因为若y，则最多只有个元素，从而（矛盾），因此 单。X()()=XnYXY“”设 单，则由于 中不同元素的象也不同，故从而，即 满例例3
11、令令 那么那么 .|,:xxRRf2,:xxRRggf 设 ，都是A到B的映射，如果对于每一 ，都有 ，那么就说映射f与g是相等的.记作BAf:BAg:()()f xg xgf xA定义定义4：设 是A到B 的一个映射，是B 到C 的一个映射.那么对于每一个 ，是C中的一个元素.因此，对于每一 ，就有C 中唯一的确定的元素 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映射是由 和 所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 .于是有 BAf:CBg:)(xfgAx)(xfgBAf:CBg:fg:;()()()gfACgfxg f xAx对于一切 ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：fg f
12、gABCAx（交换图）（交换图）例例4 4 设设2;:xxRRf:;sing RR xx2sin;:xxRRfg那么那么 例例5 5 设设 A=1，2，3 13,32,21;:AAf23,12,31;:AAg那么那么 33,22,11;:AAfg 映射 ，有 .但是，一般情况下 .设A是非空集合 称为设A上的 恒等映射。BAf:CBg:DCh:fghfgh)()(fggf:AIAA,xx 设A，B是两个非空集合，用 和 表示A和B的恒等映射.设 是A到 B 的一个映射.显然有：，.AIBIBAf:AfIfBIff例例6：f 是集合A到B的一个双射的充要条件是存在B到A的一个映射g，使得 ，且映
13、射g是由f 唯一确定的,称为f 的逆映射,表示为AgfIBfgI1f证证:(必要性)因为f 是满射，所以对于B中每一个y，有 ，使得 Axyxf)(又因为f 是单射，所以这个x 是由y唯一确定的：即如果还有 使得 ，那么 .Ax()f xy xx则g是B 到A 的一个映射.xyg:yxf)(我们规定任意 而 .我们有Axyxf)()()()()gfxg f xg yx任 ，而 .那么 故#yBxyg)()()()()fgyf g yf xyBfgIAgfI所以（充分性（充分性)任意 ,令 .由于 ，所以ByAxyg)(BfgI()()I()Bf xf g yyy即f是满射.设 而 Axx21,
14、)()(21xfxf由于 ，所以AgfI111222()()()()AAxIxgf xgf xIxx这说证明了f 是单射.因此，f 是A到B 的双射.最后，令 和 都具有性质:ABg:ABh:Agfh fIBfgfhI，有()()BAggIgfhgfhIhh所以 g 是由 f 唯一确定的.#1AffI1IBff，设f 是A到B 的一个映射，我们把满足例6条件的映射 叫做 f 的逆映射逆映射.一个映射不一定有逆映射，然而如果映射 有逆映射的话，逆映射是由 f 唯一确定的，以后把 f 的逆映射记作 .有 ABg:BAf:1f 因此，因此，也是一个双射，并且也是一个双射，并且f 就是就是 的逆映射，
15、即的逆映射，即 .ABf:1ff11)(1f例例7:设A是一切非负实数所成的集合；10|xRxBBAf:xxxf1)(f 是A到B 的一个映射，因为当 时，并且是由x 唯一确定的.证明，f 是一个双射.0 x110 xx证：证：任意 .取 Byyyx1因为 ，所以 ，且 ，所以 .且有 10 x01 y0 xAxyyyyyxxxf1111)(（f满）满）设 而 .那么 Axx21,)()(21xfxf221111xxxx由此 ，所以f 是单射.12=xxA于是由例6，f 有逆映射.易验证，1;1xfBA xx：一般地，设一般地，设A是一个非空的是一个非空的集合，把集合，把AA到到A的一个映的一
16、个映射叫做集合射叫做集合A的一个代数运的一个代数运算算.定义定义5：集合X到自身的映射，叫做集合X的一个变换变换。单射变换、满射变换、双射变换、恒等变换单射变换、满射变换、双射变换、恒等变换X=0,1,2,3,0,0,1()1,xxxelse例如：，构造 如下：X则 是的满射变换.(非单射变换）nn3：含 个元素的任意集合共有!个双射变换。（等价于全排定理列的个数）12=(1)(2)()nnn对有限集合的双射变换，常用以下特殊符号表示：并称其为一个 次置换。3M=1,2,33=63n 例如：当时，集合共有！个次置换，分别是：11 23=1 2341 23=23 151 23=3 1 221 2
17、3=1 3231 23=2 1 361 23=32 13.代数运算代数运算MMbM1dM：是一个集合，若有一个法则，它对 中任意两个有次序的元素a和，在 中都有一个惟一确定的元素与它们对应，则定义称这个法则是集合 的一个代数运算。注注(1)(1)为什么叫运算？不妨设为什么叫运算？不妨设是映射，若是映射，若，我们可以说，我们可以说a和和b在在的法则下运算得到的法则下运算得到d(2)(2)一个代数运算可以用一个代数运算可以用 表示，并将表示，并将(a,b)在在像记作像记作下的下的一般映射的描述:fABD(,)f a bd作为运算的记号:a bdabd,.abd简记:例例A所有正整数，下列运算是不是
18、A的代数运算?aa bb10a ba b 22a bab(1)a ba b?A=Z?A=Q?A=RAP A)2(：并与交是否为非空集合 的幂集的代例数运算？n3例：矩阵的乘法是否为全体 阶非奇异方阵的代数运算？例例4：Aa,b,c规定A的两个不同的代 数运算 T(M)表示非空集合M的全体变换作成的集合。S(M)表示非空集合M的全体双射变换作成的集合。显然变换的合成（乘法）是显然变换的合成（乘法）是T(M)和和S(M)的一个代数运算。的一个代数运算。123456342M=1,2,3,S(M)=,1 2 31 2 31 2 3=2 1 32 3 11 3 2 例如：设则而 对有限集合的代数运算，常
19、直观地列成一个表（乘法表）（乘法表）1211112122122212nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa12,(,1,2,)Mnijija aaaaaM i jn设M=,而是 的一个代数运算，则？S(M)的乘法表的乘法表u一、结合率4运算律运算律1.,A a b2a3ba bc.ab c.AR引例例规定 上的代数运算如下：请计算：（），（）a bcab c结论：代数运算并不保证（）（）12312312n12nA3aaaaaaAnaaaaaa结合律的作用在 里任意取出 个元啊，一般没有意义。如果结合律成立呢？一般情况，在 里任意取出 个元，假如我们写下符号这个符号当然也没有意义。但是A
20、A abca bcab cabc我们说，一个集合 的代数运算适合结合律，假如对于的任何三个元，来说，都定义有（）（）（注意：，不一定是不相同的元。）假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果加括号的步骤自然不止一种，但因为是一个有限整数，这种步骤的个数总是一个有限整数假定它是，我们把由这个步骤所得的结果用 ,来表示。这样得来的N个 ,当然未必相等,但是它们也可能都相等。我们规定:12()Nnaaa112()naaa212()na aa）（naaa21 假如对于 的 个固定的元 来说,所有的 都相等,我们就唯一的结果,用 来表示.问题:什么条件下,所有的 都相等?12(.)naaaA(2)n
21、n12,.na aa12(.)naaa12.naaaA(2)n n 12,.na aa12()naaa12.naaaA定理定理:假如一个集合假如一个集合 的代数运算适合结合律的代数运算适合结合律,那么对于那么对于 的任意的任意 个元个元 来说来说,所有的所有的 都相等；因此符号都相等；因此符号 也就总有意义也就总有意义证明证明对n用数学归纳法(第二型)(I)n=2,3，定理是对的 (II)假定个数 ，定理是对的在这个假定之下，如果我们能够证明:对于一个任意的 来说 (一个固定的结果)定理也就证明了.这一个 是经过一种加括号的步骤所得来的结果,这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算:这里,是前面
22、的若干个,假定是 个元,，经过一个加括号的步骤所得的结果,是其余的 个元 ，经过一个加括号的步骤所得的结果。因为1b1n）（n21aaana123(aaana(12aa)）（n21aaa21n21bbaaa）（i1b2bnin2i1ia a a，和 都 ,由归纳法的假定,情况情况1 假定 ,那么上式就是要证明的情况情况2 假定 ，那么 即（）式仍然成立证完。结合律成立，保证了可以应用 个符号。结合律的重要也就在此,211iaaabini1nniiaaab212)()(212121niiinaaaaaaaaa1i)()()()()()(3212121212121nniiiniiinaaaaaaa
23、aaaaaaaaaaaa1i naaa21u二、交换率2.ARA a b2a3b a b.b a.引例例，规定 上的代数运算如下：请计算：a bb a结论：代数运算并不保证12nAaaa定理：假如一个集合 的代数运算，同时适合结合律与交换律，那么在里元的次序可以任意排列。证明：我们用归纳法（略）。在以后的运算中，总是要求结合律成立，一般不要求交换律成立。AAaba bb a定义：我们说，集合 的一个代数运算适合交换律，假如对于 的任何两个元，来说都有定义与定理AAA引言现在要讨论同两种代数运算发生关系的一种规律，就是分配律。我们看集合 的两种代数运算 和对于任意集合 中任意的，来说，（）和（）
24、（）都有意义，都是 的元，但这两个元未必相等。三、分配率A()()A左分配定义：我们说，代数运算 对适合左分配律，假如对于 的任何，来说，都有（）例：假如 是全体实数的集合，和就是普通的乘法和加法，那么上式就变成（）（）律（）n1n1n1A：假如适合结合律，而且 对适合左分配律，那么对于 的任何，来说，（）（）（理定）12i1n1n-1n1n-1n1n-1n1nn12n 1nabbabbbabba ba ba ba ba ba b证明：归纳法。当，的时候，定理是对的。假定，当，的个数只有个的时候，定理是对的，现在我们看有 个时的情形。这时（）（）（）（）（）（）（）（）（）证完n1n1nAA2
25、A右分配律定义：集合 的代数运算 对适合右分配律，假如对于 的任何，来说，都有：（）（）（）定理假如适合结合律，而且 对适合右分配律，那么对于 的任何，来说，有：（）（）（）u5 同态与同构 如何比较两个代数系统如何比较两个代数系统?回忆两个三角形全等的定义回忆两个三角形全等的定义:经过运动经过运动,顶点可以重合顶点可以重合.这里这里涉及两个步骤涉及两个步骤:第一第一,点间有一个对应点间有一个对应(映射映射);第二第二,对应后对应后可以重合可以重合.我们比较两个代数系统我们比较两个代数系统 和和 .第一第一,我们需要一个映射我们需要一个映射 ;第二第二,这个映射还能够使这个映射还能够使“运算重
26、合运算重合”或曰：保持运算或曰：保持运算.具具体的说体的说,假如假如 和和 是是 的两个元的两个元,那么那么 和和 都有意都有意义义,都是的元都是的元.保持运算即下面等式成立保持运算即下面等式成立:AA:AAabA()a b()()ab()()()a baba ba b 上面的等式即:xx 换一种表示，假定在 之下的像，所有整数,的代数运算是普通加法.,的代数运算是普通乘法.AA1,1A A 定义定义1 一个 到 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射同态映射,假如,都有:AA,a bA()()()a bab 定义与例子定义与例子 例例1 证明证明 (是 的任一元)是一个到的同态映射.证明证
27、明 1:1aaA 例例2 :,若是偶数若是偶数 ,若是奇数若是奇数 证明证明:是一个是一个 到到 的满射的同态映射的满射的同态映射.21a 1a 2AA 证明证明:显然显然,是是 到到 的满射的满射.对于对于 的任意两的任意两个整数个整数 和和 来说来说,分三种情况分三种情况:2AAAab(1)若 ,都是偶数,那么 也是偶数 ,所以,abab2()1a2()1b2()1ab222()()()abab(2)若 ,都是奇数ab(3)若 和 奇偶性相反,.ab 例例3 :(是 的任一元)固然是一个 到 的映射,但不是同态映射.因为,对于任意 的 和 来说,21a aaAAAAb1,1ab 1(1)(
28、1)ab 性质1 （1）反身性:（2）传递性:注:对称性不成立AA 定义定义 和 是两个代数系统,如果存在存在一个 到 的同态满射同态满射 ,就称 和 同态.记号:AAAAAAAAf 定理定理1 假定,对于代数运算 和 来说,到 同态.那么,（1）若 适合结合律,也适合结合律；（2）若 适合交换律,也适合交换律.AA()()()()()()()abcfabcfabcfabcfafbcabc 于是 证明证明 我们用 来表示 到 的同态满射.（1）假定 是 的任意三个元.由于 是同态满射,我们在 里至少找得出三个元 ,来,使得在 之下,f,a b cAAAAff,aa bb ccabc(2)证明类
29、似.注:这种通过同态映射过渡的方法在证明具有这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性一般性 定理定理2 假定,都是集合 的代数运算,都是集合 的代数运算,并且存在一个 到 的满射 ,使得 与 对于代数运算 来说同态,对于代数运算 来说也同态.那么(1)若 适合第一分配律,也适合第一分配律.(2)若 适合第二分配律,也适合第二分配律.,AAAAAA,证明证明 注:,由 的性质可以推出 具有同样的性质;反过来不成立.AAAA定义定义（同构映射）定义定义 和 是两个代数系统,如果存在存在一个 到 的同构映射同构映射 ,就称 和 同构同构.AAAAfAA 记号:AA自同态、自同构的概念可以自然的给出
30、同构的代数系统意味什么同构的代数系统意味什么0A，1，23A，4，5例例 ,0120 1 2 1 2 02 0 13 4 53453 4 54 5 35 3 40 1 2 与 的代数运算 与 的表AA请比较两个运算表异同之处?在A的运算表,进行变换:03,14,25 变成了什么?它们可以统一成为一个运算表.A AAA：设，上的代数运算定义如下：，则 的个双射变换中，哪些是 的例自同构映射？11 23=1 2341 23=23 151 23=3 1 221 23=1 3231 23=2 1 361 23=32 1AAAA：是有理数集，是普通加法，是整数集，是普通例加法，问（，）与（，）是否同构？
31、AA证：若 与 之间有同构映射设为，A()1a，故 ,a,()22aAnAn对 于=()()()()22222aaaaan故：112nA（矛盾）（矛盾）小结小结 现在我们看两个任意的，对于代数运算 和 来说是同构的集合 和 我们可以假定，并且在 与 间的同构映射 之下，由于同构映射的性质，我们知道，AA,.,cbaA,.,cbaAAAaabbccxyzxyz抽象地来看，与 这两个代数系统，没有任何区别（只有命名上的不同而已）.AA6 等价关系与集合的分类 RM1MRM：为集合 的元素间的一个关系是到对，错定义的一个映射,(,),(,),a bMR a ba bRaRbR a ba bRaRb对
32、符合关系错不符合关系:1,2,3,2,3RM1MaRbabaR bab规定问 是否为例的关系？+:Z,1,R2MbdbdMRacac规定问是否为的关系？例(例4）MRMR2：集合 的一个关系 叫做 的一个系，如定义等价关果满足：1R2,a aaMaRbbRaa bMaRbbRcaRca b cM（），（），(3)，,a bab记为即等价记为Z3Z：上的“等于”关系是等价关系例，而，1时，这个群也不是交换群。G 1,1,:111()()1()1x,1,1i j kijkGijkijkx yxyxyijkjxxjjkiyi j kkkjiG ：中定义乘法其中构成一8阶非交换群.（四例元数群）推论推
33、论1群中群中消去律成立 若 ，那么 ；若 ，那么 axaxxxyayayySS：设 是一个非空集合，若它有一个代数运算满足结合律，则称 是一定义个半群。SS如果半群 含有单位元（既是左单位又是右单位），则称 为幺半群。SSSSS是一个非空集合，对 中任意元素a,b,规定：ab=b则 作成一个半群，且中每个元素都是左单位元。但是当 时，没有例8：右单位。GG：作成群的充要条定理件是，在 中两个消去有限半群率成立。12G=,G=,nna aa证：必要性显然；充分性:设且12,G,nabGGaa aaaaG，半群 满足消去率，则G(1),Gjaabjnaxb于是在 中必有某即方程在 中有解Gyab同
34、理可证方程在中有解。#GG-aa ：如果一个的代数运算用加号+表示时，我们常称其为一个。是单位元改用0表示，并称 的零元；元素a的逆元用 表示，并交换称定义群为加群的负元。全体整数对数的普通加法作成一整数加群个加群，.(称其为Z,+)1 1 群中元素的阶群中元素的阶1212G,Gnna aaGaaa若 是一个群（结合律满足），总有意义，它是 中一个确定的元素。01111Gn,()nnnnnaae aaaaaaa aa 个个任取，是一个正整数，规定：,(),.mnm nm nmna aaaaaG m nZ 故指数运算规则在群中成立：定义定义1：群 的一个元素 ,使得Gamae的最小的正整数 叫做
35、 的阶阶若是这样的一个 不存在，我们说，是无限阶的mamaaa的阶用符号 表示注注 (1)(1)当当 为加群时为加群时,其运算记为加法其运算记为加法,单位元为单位元为0,0,则则的最小正整数的最小正整数为元素为元素a a的阶。的阶。(3)(3)群的阶和元素的阶不是一回事群的阶和元素的阶不是一回事.(2)(2)1e 例例1：例例2：中每个元素的有限群定理1阶都有限。Gn证：设为 阶有限群21,naGa aa 则中必有相等的,11,sts taatsnae设则无限群中元素的阶可能有限也可能无限甚至可能都有限i1U(iiiUU：例3设是正整数）是全体i次单位根对普通乘法作成的群(），令则U对普通乘法
36、作成一个群，且是一个无限交换群，其中每个元素i次单位根群的阶都有限GG2GGe：若群 中每个元素的阶都有限，则称 为；若 中除 外，其余元素的阶均无限，则称 为；既不是周期群也不是无扭群的定义周群成为期群无扭群混合群。Gn2|maen m设群中元素a的阶是，则定理：,mae证：设并令m=nq+r,0rn()mnqrnqrraaaaae,0,anrn 而且必有r=0,从而n|m设n|m,则令m=nq=()=mnqaae故n(3,(,)kanakk n：若群中元素 的阶是，则定理为任意整数）1111(,),(,)1k ndndn kdkn k证：设且1111,()()nknnkkknanaaaae
37、由于有11(),|,|kmkmaeaen km nk m又设则且有111(,)1,|n knm而故1=(,)knank n即,1,sastats t：在群中设则其中推论是正整数。,(,)12kanank n：在群中设则推论,4,abbaam bnabmn定理：若群中元素则当且(m,n)=1时，)()()mnmnmnmnnmaba babe证：(,()ssZabe 又若)()smm ssmsmababbe(则,|bnn smn s而故从而|,m s同理且(m,n)=1,故mn|s（反例（反例P43）mG5GGmGem：设 为交换群，且 中所有元素有最大阶，则中每个元素的阶都是 的因数。从而群 中
38、每个元素均满足方程x定理GmGnab证：设 中元素 的阶是，是 中任意一个元素，阶为11np,ktmp mpnp ntk如果则必存在素数 满足：1 m,m11,knptam bnam bp由于故由推论1：1111(,)1,Gktnptkm pa bp mp mm又且 是交换群故：G6Gxe3：设 是有限群，证明：中使x的元素 的个例数是奇数。GaxGax=x5a：设群 只有惟一的一个阶为2的元素，证明：，都有例。G4ba：群 中任意两元素a,b,证明：ab与的具例有相同的阶。3子 群 讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个群 假如由 里取出一个非空子集 来，那么利用 的乘法可以把 的两个元
39、相乘对于这个乘法来说，很可能也作成一个群GGHGHH定义定义1一个群 的一个非空子集 叫做 的一个子群子群，假如 对于 的乘法来说作成一个群,用符号 表示GHGHGHG 群 ，则 至少有两个子群：；只包含单位元 的子集（平凡子群）1)GG（GGeGHGHGHHaG1：设 是群，则子群 的单位元就是群的单位元，中元素a在 中的逆定理元就是 在 中的逆元。定理定理2：一个群 的一个非空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：（）（）GHG,a bHabH1aHaH证明证明充分性：1）由于（），是闭的；2）结合律在 中成立，在中自然成立；3）因为 至少有一个元 ，由（），也有 元 ，所以由（），
40、4）由（），对于 的任意元 来说，有 元 ，使得HGHHaH1a1a aeHHaH1a1a ae必要性显然成立定理定理3:一个群 的一个非空子集 作成 的一个子群的充要条件是：（）GHG11,()a bGabHa bH 证明证明 I.我们先证明，（）和（）成立，（）就也成立 假定 ，属于 ，由（），由（），II.现在我们反过来证明，由（）可以得到（）和（）假定 由（），于是 （）成立abH1bH1abHaH1aaeH 11eaaH假定 ，由刚证明的，；由（），,即(i)成立#aHbH1bH11()a babH例例1：一个群 的一个非空有限子集 作成 的一个子群的充要条件是：GHG,a bHab
41、H1H=,maa证：“”显然“”设12,maHaa aaaaH 有且彼此不同12H=,maa aaaa从而,iiaaaa故(GiaeH于是群 中消去率成立）1,jjjaaaeaaH又有故所以.。F()()2nFGL Fn：数域 上的特殊线性群SL是一般线性群的例一个子群。GG2GaGa：设 是一个群，中元素 如果同 中每定个元素都可交换，则称 是群 的一个义中心元素GeG若群 的中心元素只有 时，称 为无中心群GC(4G)GG群 的全体中心元素作成的集合是的一个子群，理：称为定的中心 证：显 然 eC(G),从 而 C(G)1,a babC(G),往证C(G),xGaxxa bxxb 有111
42、1bxb bbb xbb xxb从而111111)()()()()()abx a b xa xbax bxa bx ab于是(1()#abC G故G()GG()CC GC GG显然群 的中心是 的一个交换子群，且有是交换群容易证明:,()()AB CA BC()()()A BCABAC111(),ABB A11()AA ,ABab aA bB11AaaA定义定义3：设A，B是群G的两个非空子集,规定-1ABABAA乘并称为 与 的，为积的逆-1GHHH=HH=H:群 的非空子集 作成子群的充要条件是：且推论1证明:设H是G的子群,那么 ,(?)另一方面,所以 ,而:,所以 .反过来,构成 的一
43、个子群.HHH1HHHHeHHHHH1111()aHaHaaH1HH,a bHabHHH11aHaHHHG 推论推论2：一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：GHG1HHH 推论推论2 一个群 的一个非空有限子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：GHGHHH定理5：设H,K是G的两个子群,那么HK是子群 的充要条件是HK=KH证明:如果HK是子群,那么由推论1：(HK)-1=HK同时,(HK)-1=K-1H-1=KH,所以 HK=KH反过来,如果HK=KH，则 (HK)(HK)-1=HKK-1H-1 =HKKH=HKH=HHK=HK2HKG从而由推论 知：HGHH
44、3：是群 的非空子集，若 中每个元素的阶都有限证明：作成子群a,bH,ab例H证：“”显然HHG“”，且，a,bH,abHHG故 对 中运算满足封闭性及结合律 H，往证 H，H不妨设 naaa个即 从而 aaa 个当时，当时，即，从而H故:HG,KG,:1)HKG)GKKH.4设证明；或例1)eHK,HK 证：显然故,HK,H,Ka ba ba b则，-1-1HKabab故，-1HKHKGab 所以，即（任意两个子群的交仍是子群）2)显然G“”设 HK如果，则结论成立；HKhH,hK如果，则存在使kK,hk因此对任意的有K从而必有hkH或hk-1Kh=hkkK如果hk，则（矛盾）从而必有hkH
45、.kKH由 的任意性知：（群G不可能是两 个真子群的并）4循环群循环群MGGMMGMMGMM 设 是群 的任意一个非空子集，则 中包含 的子群总是存在的，用表示 中包含 的一切子群的交，则显然是 中包含 的一个子群，且是包含的最小子群。MGMM定义1生成的子：称为群 中由子集，并把 叫做这个子群群的生成系。MGM=M显然12nkkk12niiM=a aa|aM,kZ,n=1,2,例1：12nkkk12nii1H=a aa|aM,kZ,n=1,2,G证：）往证是 的子群。2MHMH）往证，从而。3HM）往证12n12nM=a,a,a M=a,a,aM=aM=a当时，记时，记G=a,GaaG2：若
46、则称 为由 生成的一个，并称 为 的一个定义循环群生成元。k-2-1012a=a|kZ=,a,a,a=e,a,a,a=ka|kZ=,-2a,-a,0,a,2a,Abel显然循环群必是群Z2例：整数加群 是无限循环群nnUn22cossin|0,1,213,kkiknnnn：次单位根乘群是一个 阶循环U例群-ZZ=1=-1易知：1与 1是群 仅有的两个生成元n22=cossinUkkkinn令，直接验证可知：当(k,n)=1时，都是的生成元-2-10122n-1G=,1ast,a,a,a=e,a,a,2anne,a,a1astaaaaa：设群则）当时，由，可得即）当时，是且，定理阶群证：略Gn1
47、 nG：阶群 是循环群推有论阶元素G=na证：“”设是 阶循环群1Gna由定理：的生成元 的阶必为Gaan“”设，2n-1H=e,a,a,a Gn则，是 的一个 阶子群G=nG=H=a而，故-1n)2(aaan：无限循环群有两个生成元，即 与定理；阶循环群有个生成元。-1aaaa证：时，只有两个生成元 与显然；(0)n()kkanaknaaan当时，元素是的生成元当且仅当 的阶也是，即(k,n)=1,从而有个生成元n1(,)2U3aaZanaa）若，则；）：设是任一循环，则群定若理-2-112G=,a,a,e,a,a,4：考察例Z=,-2,-1,0,1,2,2n-1G=e,a,a,a2n-1n
48、U1,（同构）（同构）4：循环群的子群仍定理是循环群Ha证：设 是循环群的任一子群.H=e,H若则 显然是循环群；He,HHHaaaa-若则 中必含有某个（），且，不妨设为 中 的最小正幂Ha于是：Ha又，令，Haaaaaa 则由于，故（）aaa 从而，故（）Ha所以aaa：无限循环群有无限多个子群：当为阶循环群时，对的每个正因数，有且只有一个阶子群，即定理aaaa2证：设，则显然,都是的子群；,|,an k nnkq若且,qqakaa则从而是的一个k阶子群Hka设也是的一个 阶子群Haak不妨设，则a而，故（，）（，）从而（，），qqaaaa所以，即Hqa从而12()()(1)(1)(1)m
49、T nT nkkk12mkkk12m：阶循环群有且仅有个子群其中n=p p推p论变换群MMM：，由 的若干变换关于变换的乘法作成群，称为 的一定义1个变换群。双射变换群，非双射变换群例例，：，：，：，：，构成群（双射变换群）A11121212223112241221342M1,M=G=M2 设并取定aM,则易知：xa(xM)是的一例个非双射变换，并且，从而作成的一个非：双射变换群S(1M)关于变换的乘法作成一个群定理：.证：略nMMM=n2nS定义对称：称集合的双射变换群S(M)为上的。当时，成为，用群次对称群来表示。nMnSn显然S(M)是上最大的双射变换群，且 次对称群是一个阶为！的有限群
50、MGMGMMG3：，是 的若干变换作成的变换群，证明：是 的一个双射变换群的恒等变换例G证：“”设 是双射变换群GM则 的单位元显然是，即的恒等变换MG“”设的恒等变换则 显然为的单位元GG，由于是群，且往证 是双射变换,()=(b)a ba若,且()(),()=(b)abaab则即MM即是到的单射MM从而 是到的双射变换，则（）()()()()aaaa 且MM故是到的 满 射MGMGM2GM：，是的一个变换群，证明：是的一个双射变换群在 中含有的满（单定理）射变换证：必要性显然，下证充分性：M设 是 的满射变换，且Mb,()aMba则，有G令 是群 的单位元()()()()abbba M即
