1、2022-12-26数学与计算科学学院1.2 群的概念群的概念v群的定义群的定义v群的性质群的性质v群的判别群的判别2022-12-26数学与计算科学学院一群的定义一群的定义 定义定义1.2.11.2.1设 是一个非空集合,若对 中任意AA两个元素 通过某个法则“”，有 中惟一确定的,a bA则称法则“”为集合上的一个代数运代数运元素 与之对应,c算（算（algebraic operation）元素 是 通过运c,a b 算“”作用的结果,我们将此结果记为.a bc2022-12-26数学与计算科学学院例例有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q Q上的代数运算,除法不是Q Q上的代数运算如果只
2、考 虑所有非零有理数的集合Q Q*,则除法是Q Q*上的代数运算.剩余类集对 ，规定,Zma b abab.a babm例例 设 为大于1的正整数，为 的模mmZZ2022-12-26数学与计算科学学院证证我们只要证明,上面规定的运算与剩余类的代表元的选取无关即可设,aa,bb则|,m aa|.m bb于是|()()()(),maabbabab|()()()().maa bbb aaba b从而 则“”与“”都是 上的代数运算mZ2022-12-26数学与计算科学学院,abab.aba b所以+与 都是 上的代数运算.Zm 2022-12-26数学与计算科学学院一个代数运算，即对所有的 有 如
3、,a bG.a bG果 的运算还满足G(G1)结合律，即对所有的 有；,a b cG()();a bcab c(G2)中有元素 ，使对每个 ，有GeaG定义定义1.2.21.2.2设 是一个非空集合，“”是 上的GG;e aa ea(G3)对 中每个元素 ，存在元素 ，使 GbG2022-12-26数学与计算科学学院.a bb ae在不致引起混淆的情况下,也 称为群(,)G G（unit element）或恒等元恒等元（identity）；注注1(G2)中的元素 称为群 的单位元单位元eG(G3)中的元素 称为 的逆元逆元（inverse）ba则称 关于运算“”构成一个群群（group），记作
4、 G我们将证明：群 的单位元 和每个元素的逆元Ge都是惟一的 中元素 的惟一的逆元通常记作 Gaa12022-12-26数学与计算科学学院（commutative group）或阿贝尔群阿贝尔群（abelian group)，有 ，则称 是一个交换群交换群,a bGa bb aG3群 中元素的个数称为群 的阶阶（order），GG记为 如果 是有|G|G限数,则称 为有限群有限群 G2如果群 的运算还满足交换律，即对任意的G（finite group），否则称 为无限群无限群（infinite group).G2022-12-26数学与计算科学学院例例整数集 关于数的加法构成群这个群Z称为整数
5、加群)(),(abcabc证证对任意的 ，有 ，所以“”是 上的一个代数运算同时，对任意的 ,有,Za bZab,Za b cZ所以结合律成立.另一方面 ，且 有 0ZZ,a,00aaa2022-12-26数学与计算科学学院又对每个 有 Z,a()(),0aaaa 从而 关于“”构成群，显然这是一个交换群Z所以0为 的单位元.Z所以 是 的逆元.aa注注1当群的运算用加号“”表示时，通常将 的单位元记作0，并称0为 的零元；将GGaG的逆元记作 ,并称 为 的负元aaa2022-12-26数学与计算科学学院2习惯上，只有当群为交换群时，才用“”来表 示群的运算，并称这个运算为加法加法，把运算的
6、结果叫做和和，同时称这样的群为加群加群相应地,将不是加群的群称为乘群乘群，并把乘群的运算叫做乘法乘法，运算的结果叫做积积在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写今后，如不作特别声明，我们总假定群的运算是乘法当然,所有关于乘群的结论对加群也成立（必要时,作一些相关的记号和术语上改变）2022-12-26数学与计算科学学院例例全体非零有理数的集合Q Q*关于数的乘法构成交换群,这个群的单位元是数1，非零有理数 ab 的逆元是 的倒数 同理，全体非零实数的 abba集R R*、全体非零复数的集合 关于数的乘法也*C构成交换群2022-12-26数学与计算科学学院n例例实数域R R上全体 阶方阵的集合
7、 ，(R)nM关于矩阵的加法构成一个交换群全体 阶可逆n方阵的集合 关于矩阵的乘法构成群，(R)nGL(R)nGL群中的单位元是单位矩阵 ，可逆方阵nE(R)nAGL的逆元是 的逆矩阵 A.1A当 时，是一个非交换群1n(R)nGL例例集合 关于数的乘法构成交换群,11 i,i2022-12-26数学与计算科学学院nnUxxC|1 关于数的乘法构成一个 阶交换群n证证(1)对任意的 ，因为 ,nx yU,11nnxy所以(),1 11nnnxyx y 例例全体 次单位根组成的集合n因此 于是“”是 的代数运算 nxyUnUcossin,kkknnn22 i0 1 212022-12-26数学与
8、计算科学学院(3)由于 ，且对任意的 ，1nUnxUxxx 11所以1为 的单位元 nU(4)对任意的 ，有 ，且 nxUnnxU1,nnnx xxxx111所以 有逆元 xnx1的乘法也满足交换律和结合律(2)因为数的乘法满足交换律和结合律，所以nU2022-12-26数学与计算科学学院因此 关于数的乘法构成一个群通常称这个群为 nU 次单位根群次单位根群，显然 是一个具有 个元素的交换群nnnU2022-12-26数学与计算科学学院例例设 是大于1的正整数，则 关于剩余 mZm类的加法构成加群.这个群称为 的模模 剩余类加剩余类加群群 Zm证证(1)由例知，剩余类的加法“”是 的 Zm代数
9、运算(2)对任意的 ，,a b c mZ()abc 所以结合律成立 abc()abc()abcabc(),abc2022-12-26数学与计算科学学院(3)对任意的 ,m,Za b,ababbaba所以交换律成立(4)对任意的 ，mZa,00aaa且,00aaa所以0为 的零元 Zm2022-12-26数学与计算科学学院(5)对任意的 ,mZa,0aaaa 且,0aaaa 所以 为 的负元aa从而知，关于剩余类的加法构成加群Zm2022-12-26数学与计算科学学院例例设 是大于1的正整数，记m()(,),|1mU maZa m则 关于剩余类的乘法构成群()U m证证(1)对任意的 ，有,()
10、a bU m(,),1a m(,),1b m 于是 ，从而 (,)1ab m()abU m(2)对任意的 ,(),a b cU m()()()(),a bcab cab ca bca bcab c所以剩余类的乘法“”是 的代数运算()U m2022-12-26数学与计算科学学院所以结合律成立.(3)因为 ，从而 ，且对任意的(,)11m 1mZ(),aU m,11aaa 且,11aaa 所以1是 的单位元()U m2022-12-26数学与计算科学学院(4)对任意的 ，有 ，(),aU m(,)1a m 由整数的性质可知，存在 ，使,Zu v,1aumv所以 ，且()uU m(,),1u m
11、显然,|1 (1a uauaumvm mvu auaau因），所以 为 的逆元ua从而知，的每个元素在()U m()U m中都可逆 2022-12-26数学与计算科学学院这就证明了 关于剩余类的乘法构成群()U m注注(1)群 称为 的模模 单位群单位群，显(),)U m Zm然这是一个交换群当 为素数时，常记作 .p()U p*pZ易知，*,Z1 21pp(2)由初等数论可知（参见1），的阶等于 ,()U m()m这里 是欧拉函数如果()m,srrrsmp pp1212其中 为的 不同素因子，那么,sp pp12m2022-12-26数学与计算科学学院()()()()ssrrrrrrssmp
12、ppppp11221111122 stimp111.2022-12-26数学与计算科学学院例例1010具体写出 中任意两个个元素的乘积以 *5Z及每一个元素的逆元素易知*,.,.51 2 3 4Z 直接计算，可得 表表1.2.11.2.11 112 123 134 14 1 222 243 214 231 332 313 344 321 442 433 424 412022-12-26数学与计算科学学院由表中很容易看出,111,123,132.144注注观察表1.2.1，我们发现可以把表1.2.1表示为更加简单的形式（见表1.2.2）表表1.2.21.2.2123411234224133314
13、2443212022-12-26数学与计算科学学院形如表1.2.2的表通常称为群的乘法表乘法表（multiplication table），也称群表群表（group table）或凯莱表凯莱表（Cayley table）人们常用群表来表述有限群的运算如下表所示：ebeebaaa b2022-12-26数学与计算科学学院在一个群表中,表的左上角列出了群的运算符号 （有时省略），表的最上面一行则依次列出群的所有元素（通常单位元列在最前面），表的最左 列按同样的次序列出群的所有元素表中的其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘 积注意，在乘积 中，左边的因子 总是 a ba左列上的元素,右边的
14、因子 总是最上面一行的b元素由群表很容易确定一个元素的逆元素 2022-12-26数学与计算科学学院又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群2022-12-26数学与计算科学学院二群的性质二群的性质定理定理1.2.11.2.1设 为群，则有 G(1)群 的单位元是惟一的；G(2)群 的每个元素的逆元是惟一的；G(3)对任意的 ，有 ；aG()11aa(4)对任意的 ，有 ；,a bG()111abb a(5)在群中消去律成立，即设 ，,a b cG如果 ，或 ，则 abacbacabc2022-12-26数学与计算科学学院证证(1)如果 都是 的单位元，则,12e eG（因为
15、 是 的单位元），122eee1eG因此,2121eeee所以单位元是惟一的(2)设 都是 的逆元，则,b caG（因为 是 的单位元），2eG121eee,abbae.accae2022-12-26数学与计算科学学院于是()().cc ec abca be bb 所以 的逆元是惟一的 a(3)因为 是 的逆元，所以1aa.11a aaae从而由逆元的定义知，是 的逆元又由逆元的aa1惟一性得().11aa(4)直接计算可得()()(),abb aa bbaaeaaae1111112022-12-26数学与计算科学学院及()()(),b aabba a bb ebb be111111从而由逆元
16、的惟一性得().abb a111(5)如果 ，则 abac()()()().beba a baabaaca a cecc1111同理可证另一消去律2022-12-26数学与计算科学学院定理定理1.2.21.2.2设 是群，那么对任意的 ，G,a bG方程 及axbyab在 中都有惟一解 G证证取 ，则1xa b()().11a a baabebb所以方程 有解 axb.1xa b又如 为方程 的任一解，即 则xcaxb,acb()().111ceaa a caaca b这就证明了惟一性 2022-12-26数学与计算科学学院同理可证另一方程也有惟一解 2022-12-26数学与计算科学学院指数
17、与指数法则积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成 .abc群的定义中的结合律表明，群中 三个元素的乘,a b c进一步可知，在群 中，任意 个元素 Gk,ka aa12的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成 .ka aa12据此,我们可以定义群的元素的方幂方幂 对任意的正整数 ，定义 nnnaaa aa 个2022-12-26数学与计算科学学院再约定 （为正整数）ae0，()nnaa1，n则 对任意整数都有意义，并且不难证明：na对任意的 有下列的指数法则指数法则aG，,m nZ，(1)；nmn maaa(2)()nmnmaa；(3)如果 是交换群，则 G()nnnaba b（如果 不是交换群，
18、一般不成立）G2022-12-26数学与计算科学学院当 是加群时,元素的方幂则应改写为倍数倍数G,()().nanaaaaan ana00 个，相应地,指数法则变为倍数法则倍数法则：(1)()namanm a；(2)()()m namn a；(3)()n abnanb（因为加群是交换群，所以（3）对加群总是成立的）2022-12-26数学与计算科学学院定理定理1.2.31.2.3设 是一个具有代数运算的非空 G集合，则 关于所给的运算构成群的充分必要条件是 G三群的判别三群的判别(1)的运算满足结合律；G(2)中有一个元素 （称为 的左单位元）,使对 GeG任意的 有aG，eaa；(3)对 的
19、每一个元素 ，存在 （称为 的Ga aGa左逆元），使 这里 是 的左单位元 a aeeG2022-12-26数学与计算科学学院证证必要性必要性由群的定义，这是显然的充分性充分性只需证:是 的单位元,，是 的 eGaa逆元即可 设 由条件(3)知，存在 使,aG,aG.a ae而对于 也存在 使,aG,aG.a ae于是()()()().aaeaaa a aaa aaaa eaa ae且2022-12-26数学与计算科学学院()()aea a aaa ae aa进而由条件（1）知，为群 G由条件(2)及式(3)知，是 的单位元 是 的逆元，e aaG2022-12-26数学与计算科学学院注注这
20、个定理说明，一个具有乘法运算的非空集合 ，只要满足结合律，有左单位元，每个元素G有左逆元，就构成一个群同理可证，一个具有乘法运算的非空集合 ，如 G果满足结合律，有右单位元，且 中每个元素有G右逆元，则 构成群 G2022-12-26数学与计算科学学院定理定理1.2.41.2.4设 是一个具有乘法运算且满足结 G合律的非空集合，则 构成群的充分必要条件是：G对任意的 方程 及 在 中有解.,a bGaxbyabG证证必要性必要性已证（见定理1.2.2）充分性充分性任取 ，由条件知，有解，bGybb设为 ，则 .又对任意的 ，有解,设为 eebbaGbxa设为 于是c()(),eae bceb
21、cbca从而知 是 的左单位元 eG2022-12-26数学与计算科学学院其次，对每个 ，有解，设为 .于是aGyaea.a ae从而知 有左逆元 a于是由定理1.2.3知，构成群 2022-12-26数学与计算科学学院例例1111设 是一个具有乘法运算的非空有限集合，G如果 满足结合律，且两个消去律成立，则 是一GG个群,nGa aa12对任意的 考察 与 ，如果,a bGiaajaaijaaaa证证设则由左消去律得，于是 这说明，,ijaaij,naa aaaa12是 中 个不同的元素因 ，Gn|Gn2022-12-26数学与计算科学学院,nnaa aaaaGa aa1212同理可证，方程 在 中也有解 yabG从而由定理1.2.4知，是群 G所以因 故必存在 ，使 这说明，方程 iaGiaabbGaxb在 中有解G2022-12-26数学与计算科学学院参考文献及阅读材料参考文献及阅读材料1 潘承洞，潘承彪初等数论北京：北京大学出版社，19982 中国大百科全书数学北京，上海：中国大百科全书出版社，19883 数学百科全书(第二卷)北京：科学出版社，1995
