1、第4节 静电场的环路定理Circuital Theorem of Electrostatic Fields电场力 高斯定理 有源场电场力做功 环路定理 无旋场1 1一、静电场力做功EdlLbaq00dddAFlq El00dddLLLAFlq ElqEl电场强度 沿路径L的线积分 积分取决于电场强度 的分布E0dLAElqE由电场强度的定义可知，在静电场 中，电荷q0受到电场力 的作用。当q0在电场中的位移为 时，电场力 做功：E0Fq EdlF在力 作用下，q0从a点经某路径L到达b点，电场力做的总功为F1.在点电荷q的电场中点电荷的电场力作功点电荷的电场力作功只与被移动电荷距离场源电荷的距
2、离相关只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关与路径无关与路径无关+qabdl F drrr+drq0crarb电场力做功0dAF dlq E dl点电荷q的电场强度为204rqEer0204rqqdAF dle dlr002200cos dd44qqqqlrrr积分002001144baabqqqqAdrrrr2 2ab2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场)1q2qiqjqnq1EnEE c0q电场力是保守力，静电场是保守力场。结论将电荷q0从a点移动到b点，在任意点c受电场力0Fq E 12nEEEE 该处的场强为dd0baAFlq El d012()bnaqEEEl 电场力作功ddd0
3、1020bbbnaaaA qElqElqEl 电场强度的线积分与路径无关3 3二、环路定理在任意电场中,将q0从a b电场力作功：经L1经L2dd00baabq Elq El 1L2Ldd00bbaaq Elq El 1L2Ldd00bbaaq Elq El 1L2LaL1L2b0qd0LAq El d00LAq El 即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零静电场的环路定理静电场的环路定理d0LEl 4 41若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该矢量场为无旋场。静电场两个基本性质：高斯定理有源场环路定理无旋场d01iSSESq d0LEl 2 运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将
4、在磁场部分讨论。注5 5aL1L20q一、电势差和电势ddbbaaElEl 1L2L存在与位置有关的态函数第5节 电势差和电势从上一节讨论可知Electric Potential Difference and Electric Potential 即：a、b两点的电势差=A/q0将单位正电荷从ab电场力作的功与路径无关与路径无关 与重力势能类似定义：a、b两点的电势分别为Va、Vb，dbabaVVEl 则两点间的电势差电势差为b6 6例:已知真空中两金属圆筒电极间电压为U，半径分别为 R1、R2。求：负极上静止电子到正极时的速度？U1R2Rd0babaAVVElq 2eUvm()()eU 21
5、02mv ()Aq VV解：由电势差的定义可得212eUmv 即7 71o 电场中某点的“V”由场源电荷及场点位置决定，与q0无关。它描述的是电场“能的性质”。2o 电势是标量，有正、负。3o 电势是相对量，相对于 V=0 处而言。原则上可选电场中任意一点的电势为零。注意定义：电场中任意点P 的电势d0VPPVEl 把单位正电荷从P点沿任意路径移动到零势点,电场力力做的功dbabaVVEl 8 8单位：伏特或焦耳/库仑,记为V或J/C,1V1J/C4 电势零点的选取电荷分布在有限空间，取无穷远为 V=0 点。电荷分布在无限空间，取有限远点为V=0 点。一般工程上 选大地或设备外壳为V=0点理论
6、上注意9 9二、电势的计算1.用定义法求Vd0VPPVEl 例.求点电荷q电场中任意一点P 的电势V=？q Pq 0时,VP为正,r V,r处V=0 minq l 可做如下近似00()44PiiqqVV Prr 解：用迭加法coserrpeql eql 由0()4rrqr r 204erPp eVr 得例.长为L 的均匀带电导线,电荷线密度为+.求:延长线上任意一点 P 的电势。l Lxxdxx Por 解：用迭加法，取电荷元ddqx ddd0044()qxVrLlx 0ln4Lll dd 004()LPxVVL lx P 的电势1616d04PqqVr 例.求一均匀带电圆环轴线上任意点P 的
7、电势.设圆环半径为R，总带电量为q。2204qRx 解:根据迭加法，在带电圆环上取电荷元dqdd04PqVr 其在P点产生的电势为dd00220044qqPqqVrRx 所有电荷在P产生的电势讨论o01|,4|PqxR Vx相当于点电荷o020,4PqxVR ,0PxV rRxxoPqdq.1717d04PqqVr 一、等势面电场中所有电势相等的点构成的曲面叫等势面。（可由实验测定）04qVr 第6节 电势梯度Electric Potential Gradient1.定义1818在等势面上移动电荷时,电场力不做功；电场线与等势面处处正交;电场线方向指向电势降低方向;若相邻等势面电势差相等,则等
8、势面密处场强大；等势面疏处场强小。2.等势面与场强的关系 19190()ababAq VV dbabaVVEl 二、电势梯度矢量（grad V）2020表示 与V的积分关系积分关系E babaVVE dl 与V的微分关系微分关系?E ddd2121cosPPPPVVVElEl 沿电势增加的方向作等势面的法线 ，电场强度 与 方向相反。n n E VdVV 1P2PEdl n 2P 在静电场中取两个相距很近的等势面V和V+dV，讨论V和V+dV上任意两点P1和P2的电势差。cosE 为场强 在 方向的分量 E dl lEddlVEl 电势V沿 的空间变化率dl 1.电势梯度电势梯度定义：定义：电
9、场中某点的电势沿过该点等势面的法线方向的空间变化率叫该点的电势梯度。（实际上是电势在该点的最大空间变化率）方向:与 同向大小：梯度定义：ddgradVVnn ddVnn 2121VdVV 1P2PEdl n 2P 2.电场强度与电势梯度的关系ddEnV ddVEn Vgrad ddVEnn VdVV 1P2PEdn n 根据电势差的定义,把单位正电荷从P1移到P2电场力所作的功为：ddd()AEnVVV 即:电场中某点的场强 等于该点电势梯度的负值 EVgradE 2222归纳积分关系：d0VaaVEl 注已知 可以求V,已知V 可以求 。EE求 的方法又增加一个！E微分关系：Egrad V
10、电场强度与电势的关系xVEx yVEy zVEz ddVEnn 直角坐标系中，电势函数V=V(x,y,z)()VVVEijkxyz V 2323场强的大小取决于电势在该点的空间空间变化率变化率，与该点电势数值的大小无关！例.求均匀带电Q，半径为R的圆环轴线上任意一点的场强。x.PoRxr则该点的电场00VVyz 322204()PxQxVEExRx 方向沿x轴()PVVVEijkxyz 2424解:已求得圆环轴线上任意一点P的电势为2204PQVRx l Prr+r+qq 例.由电偶极子的电势公式，求其电场的分布。e re r 302cos4rqlVErr 30sin4qlVErr 如图取极坐标系,则电场强度为r rEE eE e 其中304epEEr 2 当 时中垂线上一点的场强3024erpEEr0 当 时延长线上一点的场强2525解:已求得电偶极子电场中的电势为2200cos()44erpeqlV rrr VdVV 1P2PE dnn VgradE 取决于V 在该点的空间变化率,与该点V 值大小无关。（1）小结（2）电场强度 的又一单位：V/m=N/CE d01iSSESq （3）求 的三种方法点电荷电场叠加用高斯定理求对称场电势梯度法d204rqEer gradEV E 2626
