1、 线弹性本构关系：虎克定律线弹性本构关系：虎克定律 非线性弹性本构关系：非线性弹性本构关系：全量型：全量型：增量型：增量型：弹塑性本构关系：弹塑性本构关系：变形理论：简称为弹塑性小变形理论变形理论：简称为弹塑性小变形理论 增量理论：用增量形式描述材料处于塑性状态时的应力应变关系增量理论：用增量形式描述材料处于塑性状态时的应力应变关系 损伤本构关系损伤本构关系 其它本构理论：粘弹性与粘塑性本构关系、内时理论其它本构理论：粘弹性与粘塑性本构关系、内时理论一、本构关系分类一、本构关系分类:types of constitutive laws:types of constitutive lawsccE
2、ddccE 各类本构关系的理论基础不同，表达形式多样，计算结果差别较大。尚无通用的混凝土本构各类本构关系的理论基础不同，表达形式多样，计算结果差别较大。尚无通用的混凝土本构模型。实际工程中应用广泛的还是源自试验、满足计算精度要求、形式简明和使用方便的非线弹模型。实际工程中应用广泛的还是源自试验、满足计算精度要求、形式简明和使用方便的非线弹性本构模型。性本构模型。Chapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures
3、Nonlinear analysis of concrete structures 用与工程结构相同的混凝土，通过棱柱体试件试验测定；用与工程结构相同的混凝土，通过棱柱体试件试验测定；选定适合该结构的本构模型，其数学表达式中的参数由少量试验标定；选定适合该结构的本构模型，其数学表达式中的参数由少量试验标定；采用经过试验验证或工程经验证明可行的具体本构（数学）模型。采用经过试验验证或工程经验证明可行的具体本构（数学）模型。混凝土材料施工工艺和质量控制不够精细，混凝土力学试验结果变异性和离散度较大。结构分混凝土材料施工工艺和质量控制不够精细，混凝土力学试验结果变异性和离散度较大。结构分析的本构关系
4、应根据结构重要性、计算精度、试验条件等慎重地选择。析的本构关系应根据结构重要性、计算精度、试验条件等慎重地选择。二、确定本构关系的三种方法：二、确定本构关系的三种方法：Nonlinear analysis of concrete structuresChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curve 三、常用钢筋、混凝土本构关系有：三、常用钢筋、混凝土本构关系有：（1 1）混凝土的单轴受压和受拉应力）混凝土的单轴受压和受拉应力-应变关系；应变关系；（2 2）混凝土多轴应力）混凝土多轴应力-应
5、变关系；应变关系；（3 3）多种环境和受力条件下的混凝土应力）多种环境和受力条件下的混凝土应力-应变关系，包括反复加卸载，多次重复荷载（疲劳），快速（毫秒应变关系，包括反复加卸载，多次重复荷载（疲劳），快速（毫秒或微秒级）加载和变形，高温（或微秒级）加载和变形，高温（l00l00o oC C）和低温）和低温0 0o oC C）状况下的加卸载，）状况下的加卸载，；（4 4）与时间有关的混凝土受力性能，如徐变（松弛）、收缩、）与时间有关的混凝土受力性能，如徐变（松弛）、收缩、；Nonlinear analysis of concrete structuresChapter 3 Constituti
6、ve law mathematical description of constitutive law curve （6 6）钢筋和混凝土界面的粘结应力）钢筋和混凝土界面的粘结应力-相对滑移（相对滑移（-s-s）关系，包括单调和反复荷载作用；）关系，包括单调和反复荷载作用；（7 7）构件（截面）单调加载下的弯矩）构件（截面）单调加载下的弯矩-曲率关系，在（地震）反复荷载下的弯矩曲率关系，在（地震）反复荷载下的弯矩-曲率恢复力模型；曲率恢复力模型；（8 8）二维和三维钢筋混凝土有限单元的各种本构关系，如分离式、组合式或整体式模型，以及钢筋和混凝土界面）二维和三维钢筋混凝土有限单元的各种本构关系，
7、如分离式、组合式或整体式模型，以及钢筋和混凝土界面的联结单元模型等。的联结单元模型等。（5 5）钢材（筋）的应力）钢材（筋）的应力-应变关系和反复应力作用的应变关系和反复应力作用的BauschingerBauschinger效应；效应；各种非线性本构关系的理论概念、数学表达式和计算参数取值等差别较大，计算结果也不相同。进行结构非各种非线性本构关系的理论概念、数学表达式和计算参数取值等差别较大，计算结果也不相同。进行结构非线性分析时，应慎重选择混凝土本构模型，重要结构应进行理论的或试验的验证。线性分析时，应慎重选择混凝土本构模型，重要结构应进行理论的或试验的验证。Nonlinear Analys
8、is of Concrete StructuresChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curve3.1 混凝土轴压应力混凝土轴压应力-应变全曲线应变全曲线(Stress-strain curve of concrete in compression)In nonlinear analysis of reinforced concrete structures,constitutive law of material is a very important physical relatio
9、nship.testing stress-strain curve of concrete column under compressionStress-strain curve of concrete in compression is described with non-dimentional coordinates as(将混凝土受压应力将混凝土受压应力-应变全曲线用无量纲坐标表示应变全曲线用无量纲坐标表示)：The coordinate at peak point(1,1)is ploted as left curve 绘制峰点坐标为（绘制峰点坐标为（1 1，1 1）的标准曲线如图）
10、的标准曲线如图,pcx,yf令 Chapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures3.1 混凝土受压应力混凝土受压应力-应变全曲线应变全曲线(Stress-strain curve of concrete in compression);0,0 .1yx即单峰值；时,0/,1,1 .3dxdyyxD);(,10 .422即下降段有一拐点时，当Dxdxyd(E);,10 .533点即下降段上的最大曲率时，当Exd
11、xyd,0,0,6.dxdyyx时当.01 ,0 .7yx全部曲线下降段曲线可无限延长，收敛于横坐标轴，但不相交下降段曲线可无限延长，收敛于横坐标轴，但不相交单调减小，无拐点；即曲线斜率)/(,0,10 .222dxdydxydxChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures清华大学教授过镇海建议分段式曲线方程：清华大学教授过镇海建议分段式曲线方程：上升段式满足条件上升段式满足条件1 1、2 2、3 3、7
12、 7，下降段式满足条件，下降段式满足条件3 37 7。2210332210 1 1xbxbbxyxxaxaxaayx将条件将条件1 1和和3 3中的三个边界条件代入式，可解得：中的三个边界条件代入式，可解得：2 ,23 ,013120aaaaa式中的独立参数式中的独立参数a1 1可从式知，当可从式知，当x=0=0时，时，dy/dx=a1，从各符号的定义可得：从各符号的定义可得：appcxxpcxEEfdddfddxdya0000/)/()/(1Chapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curv
13、eNonlinear Analysis of Concrete Structuresa00001/)/()/(ppcxxpcxEEfdddfddxdya式中：式中：0E混凝土的初始切线弹性模量（混凝土的初始切线弹性模量（N/mmN/mm2 2）。）。ccpfE/棱柱体抗压强度和峰值应变的比值，即峰值割线模量棱柱体抗压强度和峰值应变的比值，即峰值割线模量N/mmN/mm2 2a=a1，规范称之为曲线上升段参数。，规范称之为曲线上升段参数。物理意义：混凝土的初始切线模量与峰值割线模量之比物理意义：混凝土的初始切线模量与峰值割线模量之比E E0 0/E/Ep p上升段曲线方程为：上升段曲线方程为：上
14、升段曲线方程，满足条件上升段曲线方程，满足条件7 7，由条件，由条件2 2的不等式，可得的不等式，可得a值的范围：值的范围：3a2aa)2()23(1xxxyx0.31.5aChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures上升段理论曲线随参数上升段理论曲线随参数a a的变化：的变化：a a3 3，曲线局部曲线局部y y1 1，显然违背试验结果；，显然违背试验结果；1.11.1a a1.51.5，曲线的初始段（
15、曲线的初始段（x x0 0.3.3）内有拐点，）内有拐点，单曲度不明显，在单曲度不明显，在y0.5y0.50.60.6范范围内接近一直线；围内接近一直线；a a1.11.1，上升段曲线上拐点上升段曲线上拐点inflexion明显，与明显，与混凝土材性不符。混凝土材性不符。Chapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures2210332210 1 1xbxbbxyxxaxaxaayx下降段曲线方程含三个参数，将条
16、件下降段曲线方程含三个参数，将条件3 3 的两个边界条件代入，可解得：的两个边界条件代入，可解得：020121bbbb ,式中式中b b0 0为独立参数，规范称其为下降段参数，为独立参数，规范称其为下降段参数，即即 d d=b=b0 0 将其代入式，并简化可得：将其代入式，并简化可得：xxxyxd2)1(1Chapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures上式满足条件上式满足条件6、7。d01,0,0dddyy
17、 当时，峰点后为水平线（全塑性）；时，峰点后为垂直线（脆性）。故的取值范围为：xxxyxd2)1(1可解得拐点可解得拐点inflexion位置位置x xD D（1.01.0）此外，由数学条件此外，由数学条件 4 4 满足：满足：0)1()12(32d 32322xxxxdxyddd同理，由数学条件同理，由数学条件5 5满足：满足：0)1()143()48(66d3222224233xxxxxdxydddddddd可解得最大曲率点可解得最大曲率点point of the maximum curvature的位置的位置 x xE Ex xD DChapter 3 Constitutive law
18、mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures下降段曲线上两个特征点下降段曲线上两个特征点D D、E E的位置随参数的位置随参数d d 值而变化，按式值而变化，按式0)1()12(32d 32322xxxxdxyddd0)1()143()48(66d3222224233xxxxxdxydddddddd计算结果如图，与试验数据一致计算结果如图，与试验数据一致Chapter 3 Constitutive law mathematical description o
19、f constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structuresse0.5fc510次 ce cp初始弹性模量测定方法testing method of elastic modulus)N/mm(74.342.2102,5kcucfEChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures对参数取对参数取a a 和和d d 赋予不等的数值，可得变化的理
20、论曲线。赋予不等的数值，可得变化的理论曲线。对不同强度等级的结构混凝土或约束混凝土，选用合适的参数值，可得到与试验结果对不同强度等级的结构混凝土或约束混凝土，选用合适的参数值，可得到与试验结果相符的理论曲线。过镇海等建议的参数值见上表。相符的理论曲线。过镇海等建议的参数值见上表。Chapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures混凝土受压应力混凝土受压应力-应变试验曲线的数应变试验曲线的数学函数曲线有：多学函数
21、曲线有：多项式、指数式、三项式、指数式、三角函数、有理分式、角函数、有理分式、分段式等分段式等Compressive Compressive stress-strain stress-strain relation of relation of concreteconcrete对于曲线的上升段和下降段，有的用统一方程，有的则给出分段公式。其对于曲线的上升段和下降段，有的用统一方程，有的则给出分段公式。其中比较简单、实用的曲线形式如图。中比较简单、实用的曲线形式如图。Chapter 3 Constitutive law mathematical description of constituti
22、ve law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures3.2.1 3.2.1 用于非线性分析的曲线方程用于非线性分析的曲线方程Curve equation for nonlinear analysisCurve equation for nonlinear analysis混凝土结构设计规范建议的混凝土单轴受压应力混凝土结构设计规范建议的混凝土单轴受压应力-应变全曲线方程：应变全曲线方程：ccfyx 式中的纵、横坐标改为：式中的纵、横坐标改为：式中：式中：f fc c混凝土的单轴（即轴心）抗压强度（混凝土的单轴（即轴心）抗压强度（N/mmN/
23、mm2 2），应根据结构分析方法和极限状态验算的需），应根据结构分析方法和极限状态验算的需要，分别取为标准值要，分别取为标准值f fckck、设计值、设计值f fc c或平均值或平均值f fcmcm；c c 与与fc c相应的峰值压应变。相应的峰值压应变。xxxyxd2)1(13a2aa)2()23(1xxxyx)645.11/(cckcmff3.2 3.2 混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数Curve equation and parameter in design code of concrete structuresChapter 3 Constit
24、utive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structuresc按下式计算：按下式计算：610)172700(ccfAscending curve and descending curve：905.0157.0 0125.04.2785.0 daccffFor descending curve of stress-strain,when stress reduced to 0.5 0.5f fc c，the compressive strain is so
25、lved from function(4):(4):在应力在应力-应变曲线的下降段上，当应力（残余强度）减至应变曲线的下降段上，当应力（残余强度）减至0.50.5f fc c时，所对应的压应变为时，所对应的压应变为u u。其值可由。其值可由解得：解得：)4121(21dddcu分析或验算结构构件时，混凝土的单轴压应变不宜超过值分析或验算结构构件时，混凝土的单轴压应变不宜超过值u u。xxxyxd2)1(13.2 3.2 混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值Curve equation and parameter values in design code
26、 of concrete structuresChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures 按上述公式计算随混凝土抗压强度而变化的各项参数值，经整理后如表按上述公式计算随混凝土抗压强度而变化的各项参数值，经整理后如表将这些参数带入式、即得混凝土单轴（轴心）受压应力将这些参数带入式、即得混凝土单轴（轴心）受压应力-应变全曲线。应变全曲线。1.81.81.91.92.02.12.32.63.04.23.002
27、.742.482.211.941.651.361.060.740.411.651.711.781.841.901.962.032.092.152.21203019801920185017901720164015601470137060555045403530252015)/(2mmNfc)10(6cadcu/混凝土单轴受压应力混凝土单轴受压应力-应变曲线的参数值应变曲线的参数值混凝土结构设计规范附录混凝土结构设计规范附录C明确指出，公式的适用条件是：明确指出，公式的适用条件是：C15C80，质量密度（，质量密度（22002400）kg/m3，正常温、湿度环境和加载速度等。当结构或构件的受力状态
28、或环境条件不符合此要求时，例，正常温、湿度环境和加载速度等。当结构或构件的受力状态或环境条件不符合此要求时，例如混凝土受有横向和纵向应变梯度、箍筋约束作用、重复加卸载、持续荷载或快速加载，高温作如混凝土受有横向和纵向应变梯度、箍筋约束作用、重复加卸载、持续荷载或快速加载，高温作用、用、等因素的影响时，应力等因素的影响时，应力-应变曲线方程的各参数值应适当修正。应变曲线方程的各参数值应适当修正。3.2 3.2 混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值Curve equation and parameter values in design code of co
29、ncrete structuresChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures3.2.2 compressive stress-strain curve of concrete for ultimate capacity analysis of bending member受弯构件、偏心受压构件和大偏心受拉构件，正截面混凝土将出现不均匀压应力。计算正截面极受弯构件、偏心受压构件和大偏心受拉构件，正截面混凝
30、土将出现不均匀压应力。计算正截面极限承载力时，中国规范采用的混凝土受压应力限承载力时，中国规范采用的混凝土受压应力-应变曲线方程为：应变曲线方程为：上升段：上升段：)1(1 0ncccf0下降段：下降段：ccfu0取取cccfyx 0曲线方程可改写为曲线方程可改写为1 1)1(1 10yxxyxcun3.2 3.2 混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值Curve equation and parameter values in design code of concrete structuresChapter 3 Constitutive law mat
31、hematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures规范混凝土应力-应变曲线参数fcuC50C60C70C80n21.8331.6671.500.0020.002050.00210.00215u0.00330.00320.00310.00300.0010.0020.0030.00410203040506070C80C60C40C20上升段：上升段：)1(1 0ncccf0下降段：下降段：ccfu0Factors of stress-strain curves of com
32、pressive concrete from Chinese codeFactors of stress-strain curves of compressive concrete from Chinese code 10)50(0033.0 10)50(5.0002.0)50(6012660cuucucufffn 2.0 0.002 0.0033Nonlinear Analysis of Concrete StructuresDifference of two types of stress-strain curvesDifference of two types of stress-str
33、ain curves：00.0020.0033 fc 0 cu3.2 3.2 混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值Curve equation and parameter values in design code of concrete structuresChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures00.0020.0038 fc0.15 fc0u3.3.1.st
34、ress-strain curve by Hognestad3.3.1.stress-strain curve by Hognestaduuccff0000200 15.010 2Chapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures3.3 3.3 其它受压应力其它受压应力-应变曲线应变曲线other compressive stress-strain curves3.3.2.CEB-FIP model code
35、suggested;.00200cmf0E/0.002ccmEf=混凝土抗压强度平均值-为初始弹模为初始弹模Ec-为相应于峰值点的割线模量为相应于峰值点的割线模量式中，2000002012224cccEEEEEEcmccufEEEE002000)2(11：）（cmuuuuf1200202004)(22：）（式中，式中，Chapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures3.3 3.3 其它受压应力其它受压应力-应
36、变曲线应变曲线other compressive stress-strain curves3.3.3 3.3.3 Saenz function and modifyed functionSaenz functionSaenz function20000)()(2(1cEEEModifyed Elwi and Murray functionModifyed Elwi and Murray function，3020000)()()12()(2(R1RREEEc)(1)1()1(/02000uuucEER且0,0)1(由边界条件：由边界条件：0,0)2(Edd00,)3(0,)4(0dduu,)5
37、(32DCBA解3.3 3.3 其它受压应力其它受压应力-应变曲线方程应变曲线方程Curve equation of other compressive stress-strain relationshipChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures3.3.4 3.3.4 Simulation of stress-strain curve with cubic polynomial function332
38、210CCCCCoefficients C0,C1,C2,C3 are solved by boundary condition用边界条件确定系数用边界条件确定系数0000()0,0;()0,;(),;(),0.dabEddcddseseesee sseee=Chapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures3.3 3.3 其它受压应力其它受压应力-应变曲线应变曲线other compressive stres
39、s-strain curves3.3.5 3.3.5 箍筋约束混凝土受压应力箍筋约束混凝土受压应力-应变曲线应变曲线Ductility of concrete is well improved by closed stirrups02000,2cfAB段：ccZf20001BC，段：cccff202.0CD，段：05050C5050hshC0 50 0020 00230.0023b4S-1000uh.Z.ff式中，b bwidth of restrained concrete；s sratio of stirrups area and restrained concrete areaS Sh
40、hdistance between two stirrups Chapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures3.3 3.3 其它受压应力其它受压应力-应变曲线应变曲线other compressive stress-strain curvesComparison of different stress-strain curves：（1 1）Hongnestad Hongnestad 和我国规范建议的计算正截
41、面极限承载力的关系，表达式简单，易于计算，适和我国规范建议的计算正截面极限承载力的关系，表达式简单，易于计算，适合工程计算；合工程计算；（2 2）CEB CEB、SeanzSeanz和我国规范建议的用于非线性分析的关系，较符合试验结果，适于研究分析；和我国规范建议的用于非线性分析的关系，较符合试验结果，适于研究分析；（3 3）三次多项式模拟公式既简单，易于计算，又较精确，有广阔的应用前景。）三次多项式模拟公式既简单，易于计算，又较精确，有广阔的应用前景。3.3 3.3 其它受压应力其它受压应力-应变曲线应变曲线other compressive stress-strain curvesChap
42、ter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Structures3.4 3.4 混凝土损伤应力混凝土损伤应力-应变关系应变关系damage stress-strain relation of concreteChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNonlinear Analysis of Concrete Struct
43、ures损伤：损伤：混凝土混凝土材料内发生材料内发生的的不可恢复的不可恢复的微观或宏观微观或宏观减弱。减弱。用用损伤因子损伤因子D D描述材料描述材料内部原始或受力内部原始或受力过程中过程中的受损程度。的受损程度。设：轴向力作用下，设：轴向力作用下，A横截面积；横截面积；AD截面中有缺陷的面积；截面中有缺陷的面积；An=A-AD-截面中能承担应力的截面中能承担应力的净面积净面积;D材料损伤因子为材料损伤因子为:1nnDAAAADAAA(1)nED E损伤因子未受损混凝土的弹性模量 由未损伤材料的应力由未损伤材料的应力-应变关系：应变关系：轴向力作用下的有效轴向力作用下的有效应力应力 n为：为：
44、(1-)(1-)nnFFAADDD=0(D=0(未受损未受损)；D=1(D=1(完全破坏完全破坏)轴向力作用下的平均轴向力作用下的平均(名义名义)应力为，应力为，F AE有损混凝土整有损混凝土整体弹性模量体弹性模量nnE所以所以,01DE Najar定义的损伤因子 混凝土受力状态 Nonlinear Analysis of Concrete StructuresChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curveNajar能量能量损伤理论认为，损伤理论认为，假设混凝土处于无损伤理想状态下，其应
45、力假设混凝土处于无损伤理想状态下，其应力应变关系为直线应变关系为直线OA，则混凝无损伤状，则混凝无损伤状态下所作的功为：态下所作的功为：基于能量的基于能量的Najar损伤本构关系损伤本构关系2021EWperf 而混凝土实际上是处于有损伤状态，其应力而混凝土实际上是处于有损伤状态，其应力应变曲线为应变曲线为OC，则在应，则在应变为变为 时外力所作的功为时外力所作的功为21PEW2020112212perfPEperfEWWDWENajar定义的损伤变量定义的损伤变量为：01DE Najar定义的损伤因子 混凝土受力状态 2c+=BADc022221121c+=CBACBADcuc本文本文规范建
46、议的混凝土单轴受压本构关系 Nonlinear Analysis of Concrete StructuresChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curve基于能量的基于能量的Najar损伤本构关系损伤本构关系单调荷载下的分段曲线混凝土受压损伤变量单调荷载下的分段曲线混凝土受压损伤变量 混凝土受力状态 规范建议的混凝土单轴受压本构关系 Nonlinear Analysis of Concrete StructuresChapter 3 Constitutive law mathematical description of constitutive law curve由Loland损伤本构关系模拟的有效应力如下图Loland损伤本构关系损伤本构关系
