1、化工仪表及自动化化工仪表及自动化第八章第八章 对象特性和建模对象特性和建模 内容提要内容提要n 数学模型及描述方法数学模型及描述方法n被控对象数学模型被控对象数学模型n数学模型的主要形式数学模型的主要形式n 机理建模机理建模n一阶对象一阶对象n积分对象积分对象n时滞对象时滞对象1内容提要内容提要n 描述对象特性的参数描述对象特性的参数n放大系数放大系数n时间常数时间常数n滞后时间滞后时间n 实测建模实测建模2第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 自动控制系统自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成。研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的
2、关系。这种对象特性的数学描述就称为对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变量变化的因素，如下图所示。通道通道 调节通道调节通道干扰通道干扰通道？几个概念几个概念3n 一、被控对象数学模型一、被控对象数学模型图8-1 对象的输入、输出量第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型静态数学模型静态数学模型动态数学模型动态数学模型基础基础特例特例4第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法一般是在工艺一般是在工艺流程和设备尺流程和设备尺寸等都确定的寸等都确定的情况，研究对情况，研究对象的输入
3、变量象的输入变量是如何影响输是如何影响输出变量的。出变量的。研究的目研究的目的是为了的是为了使所设计使所设计的控制系的控制系统达到更统达到更好的控制好的控制效果。效果。在产品规格和产在产品规格和产量已确定的情况量已确定的情况下，通过模型计下，通过模型计算，确定设备的算，确定设备的结构、尺寸、工结构、尺寸、工艺流程和某些工艺流程和某些工艺条件。艺条件。（a）（b）（c）用于用于控制控制的数学模型（的数学模型（a、b）与用于）与用于工艺设计与分析工艺设计与分析的数学的数学模型（模型（c）不完全相同。）不完全相同。5第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法分类数学模型建立的途径不同 机理建
4、模 实测建模 混合模型6第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法从机理出发,即从对象内在的物理和化学规律出发,建立描述对象输入输出特性的数学模型。对于已经投产的生产过程,我们可以通过实验测试或依据积累的操作数据,对系统的输入输出数据,通过数学回归方法进行处理。通过机理分析,得出模型的结构或函数形式，而对其中的部分参数通过实测得到。7第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法n 二、数学模型的主要形式二、数学模型的主要形式8非参量模型非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为非参量模型。特点特点形象、清晰，比较容易看出其定性的特征 缺点缺点直接利用它们来进行系统
5、的分析和设计往往比较困难 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模型。参量模型参量模型9 静态数学模型比较简单,一般可用代数方程式表示。动态数学模型的形式主要有微分方程、传递函数、差分方程及状态方程等 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法10对于线性的集中参数对象 在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入量的导数项可表示为 txtyatyatyatyannnn0111 txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn01110111 通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x（t）表示输入量，y（
6、t）表示输出量，则对象特性可用下列微分方程式来描述（8-1）第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法11 txtyatya01举例举例一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性（通常称一阶对象），则可表示为述其特性（通常称一阶对象），则可表示为（8-3）tKxtytyT0011,aKaaT或表示成或表示成式中式中（8-4）tKxtxaty01如果系统处于平衡状态如果系统处于平衡状态(静态静态),变量的导数项均为零变量的导数项均为零（8-5）第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 sXsYsG 所谓一个环节(或对象)的传递函数是
7、在初始条件为零时,这个环节输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变换之比,记为（8-6）dtetfsFst0拉氏变换是对函数的一种变换,定义为（8-7）12第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 sXbssXbsXsbsXsbsYassYasYsasYsammmmnnnn01110111 运用拉氏变换的线性性质与微分性质,对式(8-1)两端分别取拉氏变换,则得由此式可以方便地得到系统传递函数的一般形式 01110111asasasabsbsbsbsXsYsGnnnnmmmm （8-8）13第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 sKXsYsTsY对于一阶对象,由式(8-4)
8、两端取拉氏变换,得 1TsKsG因此一阶对象的传递函数形式为（8-9）14第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 差分方程是一种时间离散形式的数学模型，用来描述在各个采样时刻的输入变量与输出变量数值之间的关系。kxbkxbmkxbmkxbkyakyankyankyammnn0110111111 （8-10）式(8-10)称为 n阶差分方程,当n=1时称为一阶差分方程。15第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 tkykydttdy1如果将各个信号经过采样,采样间隔时间(采样周期)为t tKxtydttdyT对于一阶微分方程（8-11）kKxkytkykyT1 kKxky
9、tTkytT11将上述关系代入式(7-11),可得或16第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法KbtTatTa0011式中 kxbkyakya0011写成一阶差分方程的一般形式,为（8-12）kxbkyakyakya001212对于二阶微分方程（8-13）kxabkyaaky10101 1121001010101010 xabyaaykxabyaayk时，时，递推公式为17第二节第二节 机理建模机理建模n 一、一阶对象一、一阶对象对象物料蓄存量的变化率对象物料蓄存量的变化率单位时间流入对象的物料单位时间流出对象的物单位时间流入对象的物料单位时间流出对象的物料料依据依据18第二节第二
10、节 机理建模机理建模19AdhdtQQ21（8-14）sRhQ 2若变化量很微小变化量很微小，可以近似认为Q2与h 成正比将上式代入（8-14）式，移项1QRhdtdhARssssRKART,1KQhdtdhT令令则则图8-2 水槽对象 11TsKsQsHsG水槽对象的传递函数为第二节第二节 机理建模机理建模200eiReiei若取为输入参数，eo为输出参数，根据基尔霍夫定理 dtdeCi0由于由于ieedtdeRC00ieedtdeT00RCT 消去消去i i或或图8-3 RC电路第二节第二节 机理建模机理建模n 二、积分对象二、积分对象当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，当
11、对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，称为称为积分对象积分对象。21dtQAdh11Q2为常数，变化量为0dtQAh11说明，所示贮槽具有积分特性。其中，A为贮槽横截面积（8-27）图8-4 积分对象第二节第二节 机理建模机理建模 sQAssH11 在初始条件为零时,根据拉氏变换的积分性质,对式(8-27)进行拉氏变换,则有 AssQsHsG11 积分对象的传递函数G(s)为22第二节第二节 机理建模机理建模n 三、时滞对象三、时滞对象 有的对象或过程,在受到输入作用后,输出变量要隔上一段时间才有响应,这种对象称为具有时滞特性的对象,而这段时间就称为时滞0(或纯滞后)。时滞的产生一
12、般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。23第二节第二节 机理建模机理建模24显然显然，纯滞后时间0与皮带输送机的传送速度v和传送距离L有如下关系：vL0（8-30）溶解槽及其反应曲线纯滞后时间举例举例第二节第二节 机理建模机理建模从测量方面来说，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等原因也会造成传递滞后。图8-6 蒸汽直接加热器 当加热蒸汽量增大时，槽内温度升高，然而槽内溶液流到管道测温点处还要经过一段时间0。所以，相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度T要经过时间0后才开始变化。安装成分分析仪器时，取样管线太长，取样点安装离设安装成分分析仪器时，取样管线太长，取样点安装离设备太远，
13、都会引起较大的纯滞后时间，工作中要尽量避免。备太远，都会引起较大的纯滞后时间，工作中要尽量避免。2526第二节第二节 机理建模机理建模图8-7 时滞对象输入、输出特性x为输入量（8-31）000,0,tttxy0txy sXesYs0将在初始条件为零时进行拉氏变换,得（8-32）sesG0因此,时滞对象的传递函数为第二节第二节 机理建模机理建模 0tKxtydttdyT 对象可以用一阶微分方程式来描述,但输入变量与输出变量之间有一段时滞0（8-33）sXKesYsYTss0 seTssG011在初始条件为零时,对上式进行拉氏变换,得这时整个对象的传递函数为（8-34）：基于机理通过推导可以得到
14、描述对象特性的微分方程式或传递函数。27第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数n一、放大系数一、放大系数K 对于前面介绍的水槽对象，当流入流量Q1有一定的阶跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某一数值上。如果我们将流量Q1的变化Q1看作对象的输入，而液位h的变化h看作对象的输出，那么在稳定状态时，对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象的静态特性。28第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数291QhKs1QKhs或K在数值上等于对象重新稳定后的输出变化量与输入变化量之比。K越大，就表示对象的输入量有一定变化时，对输出量的影响越大，即被控变量对这个量
15、的变化越灵敏。图8-8 水槽液位的变化曲线第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数30举例举例以合成氨的转换炉为例，说明各个量的变化对被以合成氨的转换炉为例，说明各个量的变化对被控变量控变量K的影响的影响 生产过程要求一氧化碳的转化率要高，蒸汽消耗量要少，触媒寿命要长。通常用变换炉一段反应温度作为被控变量，来间接地控制转换率和其他指标。图8-9 一氧化碳变换过程示意图图8-10 不同输入作用时的被控变量变化曲线第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 影响变换炉一段反应温度的因素主要有冷激流量、影响变换炉一段反应温度的因素主要有冷激流量、蒸汽流量和半水煤气流量。改变阀门蒸汽
16、流量和半水煤气流量。改变阀门1 1、2 2、3 3的开度就可的开度就可以分别改变冷激量、蒸汽量和半水煤气量的大小。从右以分别改变冷激量、蒸汽量和半水煤气量的大小。从右上图看出，冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量上图看出，冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对放大系数最小。放大系数最小。31第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数n 二、时间常数二、时间常数T32 从大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后，被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象在受到干扰后，惯性很大，被控变量
17、要经过很长时间才能达到新的稳态值。图8-11 不同时间常数对象的反应曲线第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数如何定量地表示对象受如何定量地表示对象受干扰后的这种特性呢？干扰后的这种特性呢？在自动化领域中，往往用时间常数T来表示。时间常数越大，表示对象受到干扰作用后，被控变量变化得越慢，到达新的稳定值所需的时间越长。33第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数34举例举例简单水槽为例1KQhdtdhT由前面的推导可知 TteKQth11假定Q1为阶跃作用，t0或t=0时Q1为一常数，如左图。则函数表达式为（8-36）图8-12 反应曲线第三节第三节 描述对象特性的参数描述
18、对象特性的参数 对于简单水槽对象，对于简单水槽对象，K=RS，即放大系数只与出水阀的阻，即放大系数只与出水阀的阻力有关，当阀的开度一定时，放大系数就是一个常数。力有关，当阀的开度一定时，放大系数就是一个常数。1KQh 1QhK 从上页图反应曲线可以看出，对象受到阶跃作用后，被控变量就发生变化，当t时，被控变量不再变化而达到了新的稳态值h（），这时上式可得：或或（8-37）35第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数36 111632.01KQeKQTh将 t=T 代入式（8-36），得（8-38）hTh632.0将式（8-37）代入式（8-38），得（8-39）当对象受到阶跃输入后，
19、被控变量达到新的稳态值的63.2所需的时间，就是时间常数T，实际工作中，常用这种方法求取时间常数。显然，时间常数越大，被控变量的变化也越慢，达到新的稳定值所需的时间也越大。第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数图8-13 不同时间常数对象的反应曲线T1T2T3T4 说明说明时间常数大的对象（如时间常数大的对象（如T4)对输入的反应较慢，对输入的反应较慢，一般认为惯性较大。一般认为惯性较大。37第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数38在输入作用加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢？TteTKQdtdh1将式（8-36）对 t 求导，得（8-40）ThTKQdtdht10
20、当 t =0（8-41）0tdtdh当 t 时，式（8-40）可得（8-42）第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数图8-14 时间常数T的求法 由左下图所示，式（8-41）代表了曲线在起始点时切线的斜率，这条切线在新的稳定值h（）上截得的一段时间正好等于T。hKQeKATh95.095.01313由式（8-36），当 t=时，h=KQ1。当 t=3T时，代入式（8-36）得（8-43）从加入输入作用后，经过从加入输入作用后，经过3T时间，液位已经变化了全部时间，液位已经变化了全部变化范围的变化范围的95，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。，这时，可以近似地认为动态过程基本结束
21、。所以，时间常数所以，时间常数T是表示在输入作用下，被控变量完成其变是表示在输入作用下，被控变量完成其变化过程所需要的时间的一个重要参数。化过程所需要的时间的一个重要参数。结论39第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数n 三、滞后时间三、滞后时间分类定义 对象在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。滞后性质时滞容量滞后 时滞又叫纯滞后，一般用0表示。0的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。对象在受到阶跃输入作用x后，被控变量y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐渐接近稳定值。40第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数
22、0tKxtydttdyT 001teKAtyTt 当假定 y(t)的初始值 y(0)=0,x(t)是一个发生在t=0的阶跃输入,幅值为 A,对上述方程式求解,可得（8-44）图8-15 具有纯滞后的一阶对象反应曲线 可见，具有时滞的一阶对象与没有时滞的一阶对象可见，具有时滞的一阶对象与没有时滞的一阶对象,它它们的反应曲线在形状上完全相同们的反应曲线在形状上完全相同,只是具有时滞的反应曲线只是具有时滞的反应曲线在时间上错后一段时间在时间上错后一段时间0 0。41第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数2.2.容量滞后容量滞后图8-16 具有容量滞后对象的反应曲线图8-17 图解近似方法
23、42第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 在容量滞后与纯滞后同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间，即0h。自动控制系统中，滞后的存在是不利于控制的。所以，在设计和安装控制系统时，都应当尽量把滞后时间减到最小。结论43图8-18 滞后时间示意图第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 被控变量为压力的对象不大,T也属中等;被控变量为液位的对象很小,而T稍大;被控变量为流量的对象和T都较小,数量级往往在几秒至几十秒;被控变量为温度的对象和T都较大,约几分至几十分钟。44第四节第四节 实测建模实测建模定义通过实验来测取对象的输入输出数据。几个概念 系统辨识 参数估计 测试
24、信号测试信号的不同 阶跃反应曲线 矩形脉冲特性曲线 频率特性45第四节第四节 实测建模实测建模在测试过程中要注意：加测试信号之前，对象的输入量和输出量应尽可能稳定一段时间，不然会影响测试结果的准确度。对于具有时滞的对象，当输入量开始作阶跃变化时，其对象的输出量并未开始变化,这时要在记录纸上标出开始施加输入作用的时刻，即反应曲线的起始点，以便计算滞后时间。为保证测试精度，排除测试过程中其他干扰的影响，测试曲线应是平滑无突变的。46第四节第四节 实测建模实测建模 加试测试信号后，要密切注视各干扰变量和被控变量的变化，尽可能把与测试无关的干扰排除。测试和记录工作应该持续进行到输出量达到新稳定值基本不
25、变时为止。在反应曲线测试工作中，要特别注意工作点的选取。47第四节第四节 实测建模实测建模图8-19 测试的对象特性连接图48例题分析例题分析 1.某温度计是一静态放大系数为1的一阶环节。当温度计由温度为 0的地方突然插入温度为100的沸水中，经1min后,温度指示值达到98.5。试确定该温度计的时间常数T,并写出其相应的微分方程式与传递函数。参照式(8-36)，已知 K=1，输入阶跃幅值为100，t=60s时，其温度值 y=98.5，则有 Te6011005.98由上式可以解得 T=14.3(s)49例题分析例题分析xydtdy3.14由此可写出描述该温度计的微分方程为 式中，y表示输出量(温度值)；x表示输入变化量，式中的时间量纲为s。13.141ssXsYsG 将上述微分方程式在零初始条件下进行拉氏变换，可得传递函数为 50例题分析例题分析 2.将上述温度计的信号进行采样,采样周期t=0.0715s。试写出相应的差分方程。tkykydtdykxtxkyty1，xydtdy3.14将 代入微分方程 kxkykyky0715.013.14得 kxkyky1991200简化后得 上式就是描述该温度特性的差分方程。当采样周期t改变后，相应的差分方程的系数也会作相应的改变。51
