1、第十章 多维标度法 第一节第一节 引引 言言 第二节第二节 古典多维标度法古典多维标度法(Classical MDS)第三节第三节 权重多维标度权重多维标度(WMDS)第四节第四节 实例分析与计算实现实例分析与计算实现 第一节第一节 引引 言言n在实际中我们会经常遇到这些的问题在实际中我们会经常遇到这些的问题,给你一组城市给你一组城市,你总能你总能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城市从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城市的距离的距离,你能否确定这些城市之间的相对位置呢你能否确定这些城市之间的相对位置呢?假定你知道假定你知道只是哪两个城市最近只是哪两个城市最近,哪两
2、个城市次近等等哪两个城市次近等等,你是否还能确定你是否还能确定它们之间的相对位置呢它们之间的相对位置呢?假定通过调查了解了假定通过调查了解了10种饮料产品种饮料产品在消费者心中的相似程度在消费者心中的相似程度,你能否确定这些产品在消费者心你能否确定这些产品在消费者心理空间中的相对位置呢理空间中的相对位置呢?在实际中我们常常会遇到类似这样在实际中我们常常会遇到类似这样的问题。的问题。n多维标度法（多维标度法（Multidimensional Scaling）就是解决这类问题）就是解决这类问题的一种方法的一种方法,它是一种在低维空间展示它是一种在低维空间展示“距离距离”数据结构的数据结构的多元数据
3、分析技术多元数据分析技术,简称简称MDS。n多维标度法起源于心理测度学多维标度法起源于心理测度学,用于理解人们判断的相似性。用于理解人们判断的相似性。Torgerson拓展了拓展了Richardson及及Klingberg等人在三、四十年等人在三、四十年代的研究代的研究,具有突破性地提出了多维标度法具有突破性地提出了多维标度法,后经后经 Shepard和和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法等人进一步加以发展完善。多维标度法现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。理学、政治科
4、学及生物学等领域的数据分析方法。n多维标度法解决的问题是多维标度法解决的问题是:当当n个对象（个对象（object）中各对对象）中各对对象之间的相似性（或距离）给定时之间的相似性（或距离）给定时,确定这些对象在低维空间确定这些对象在低维空间中的表示（感知图中的表示（感知图Perceptual Mapping）,并使其尽可能与原并使其尽可能与原先的相似性（或距离）先的相似性（或距离）“大体匹配大体匹配”,使得由降维所引起的使得由降维所引起的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个对任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个对象象,因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是说
5、因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是说,两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示,而两而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。多维个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。多维空间通常为二维或三维的欧氏空间空间通常为二维或三维的欧氏空间,但也可以是非欧氏三维但也可以是非欧氏三维以上空间。以上空间。n多维标度法内容丰富、方法较多。按相似性（距离）数据测多维标度法内容丰富、方法较多。按相似性（距离）数据测量尺度的不同量尺度的不同MDS可分为可分为:度量度量MDS和非度量和非度量MDS。当利用。当利用原始相似性（距离）的
6、实际数值为间隔尺度和比率尺度时称原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺度和比率尺度时称为度量为度量MDS(metric MDS),当利用原始相似性（距离）的等当利用原始相似性（距离）的等级顺序（即有序尺度）而非实际数值时称为非度量级顺序（即有序尺度）而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetric MDS)。按相似性（距离）矩阵的个数和。按相似性（距离）矩阵的个数和MDS模型的性质模型的性质MDS可分为可分为:古典多维标度古典多维标度CMDS（一个矩（一个矩阵阵,无权重模型）、重复多维标度无权重模型）、重复多维标度Replicated MDS（几个矩（几个矩阵阵,无权重模型）、权重多维标度无权
7、重模型）、权重多维标度WMDS（几个矩阵（几个矩阵,权重模权重模型）。本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。型）。本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。第二节第二节 古典多维标度法古典多维标度法 (Classical MDS)一一 相似与距离的概念相似与距离的概念 二二 古典多维标度分析的思想及方法古典多维标度分析的思想及方法 三三 度量度量MDS的古典解的古典解 四四 非度量非度量MDS的古典解的古典解(nonmetric MDS)n首先我们提出这样一个问题首先我们提出这样一个问题,表表10.1是美国十城市之间的飞行是美国十城市之间的飞行距离距离,我们如何在平面坐标上据此
8、标出这我们如何在平面坐标上据此标出这10城市之间的相对城市之间的相对位置位置,使之尽可能接近表中的距离数据呢使之尽可能接近表中的距离数据呢?表表10.1 美国美国10城市间的飞行距离城市间的飞行距离 一、相似与距离的概念一、相似与距离的概念n在解决上述问题之前在解决上述问题之前,我们首先明确与多维标度法相关的数我们首先明确与多维标度法相关的数据概念。据概念。1相似数据与不相似数据相似数据与不相似数据 相似数据相似数据:如果用较大的数据表示非常相似如果用较大的数据表示非常相似,用较小的数据用较小的数据表示非常不相似表示非常不相似,则数据为相似数据。如用则数据为相似数据。如用10表示两种饮表示两种
9、饮料非常相似料非常相似,用用1表示两种饮料非常不相似。表示两种饮料非常不相似。不相似数据不相似数据:如果用较大的数值表示非常不相似如果用较大的数值表示非常不相似,较小的数较小的数值表示非常相似值表示非常相似,则数据为不相似数据则数据为不相似数据,也称距离数据。如也称距离数据。如用用10表示两种饮料非常不相似表示两种饮料非常不相似,用用1表示两种饮料非常相似。表示两种饮料非常相似。2距离阵距离阵 定义定义10.1 一个一个n n阶的矩阵阶的矩阵D=(dij)n n,如果满足条件如果满足条件:n在进行多维标度分析时在进行多维标度分析时,如果数据是多个分析变量的原始数如果数据是多个分析变量的原始数据
10、据,则要根据聚类分析中介绍的方法则要根据聚类分析中介绍的方法,计算分析对象间的相似计算分析对象间的相似测度测度;如果数据不是广义距离阵如果数据不是广义距离阵,要通过一定的方法将其转换要通过一定的方法将其转换成广义距离阵才能进行多维标度分析。成广义距离阵才能进行多维标度分析。二、古典多维标度分析的思想及方二、古典多维标度分析的思想及方 法法n n n n n n n这里需要特别注意这里需要特别注意,并非所有的距离阵都存在一个并非所有的距离阵都存在一个r维的欧氏维的欧氏空间和空间和n个点个点,使得使得n个点之间的距离等于个点之间的距离等于D。因而。因而,并不是所并不是所有的距离阵都是欧氏距离阵有的
11、距离阵都是欧氏距离阵,还存在非欧氏距离阵。还存在非欧氏距离阵。n当距离阵为欧氏时当距离阵为欧氏时,可求得一个可求得一个D的构图的构图X,当距离阵不是欧氏当距离阵不是欧氏时时,只能求得只能求得D的拟合构图。在实际应用中的拟合构图。在实际应用中,即使即使D为欧氏为欧氏,一般一般也只求也只求r=2或或3的低维拟合构图。的低维拟合构图。n值得注意的是值得注意的是,由于多维标度法求解的由于多维标度法求解的n个点仅仅要求它们的个点仅仅要求它们的相对欧氏距离与相对欧氏距离与D相近相近,也就是说也就是说,只与相对位置相近而与绝只与相对位置相近而与绝对位置无关对位置无关,根据欧氏距离在正交变换和平移变换下的不变
12、根据欧氏距离在正交变换和平移变换下的不变性性,显然所求得解并不唯一。显然所求得解并不唯一。三、度量三、度量MDS的古典解的古典解n （4）根据（）根据（10.7）式计算）式计算 ,得到得到r维拟合构图（简称古典维拟合构图（简称古典解）。解）。这里需要注意这里需要注意,如果如果i i中有负值中有负值,表明表明D是非欧氏型的。是非欧氏型的。（一）已知距离矩阵的（一）已知距离矩阵的CMDS计算计算n以前述美国以前述美国10城市间的飞行距离数据来说明古典度量多维标城市间的飞行距离数据来说明古典度量多维标度法的计算过程。度法的计算过程。n表表10.1美国美国10城市间的飞行距离为比率测度。数值越大表明城
13、市间的飞行距离为比率测度。数值越大表明距离越远距离越远,数值越小表明距离越短数值越小表明距离越短,符合广义距离阵的定义符合广义距离阵的定义,又又只涉及一个距离阵只涉及一个距离阵,因此为度量因此为度量CMDS。n根据上述度量古典根据上述度量古典CMDS的计算方法的计算方法,首先可求得内积矩阵首先可求得内积矩阵,结果见表结果见表10.2。表表10.2 美国美国10城市内积矩阵城市内积矩阵B n n10个城市的坐标分别为个城市的坐标分别为:（-718.759,142.9942）,（-382.056,-340.84）,（481.602,-25.285）,（-161.466,572.77）,（1203.
14、738,390.100）,（-1133.53,581.907）,（1072.24,-519.024）,（1420.603,112.589）,（1341.723,-579.739）,（-979.622,-335.473）。）。n计算结果表明计算结果表明,较大的特征值有两个较大的特征值有两个,说明在二维平面上表示说明在二维平面上表示10城市间的相对位置是合适的。由于有特征值小于零城市间的相对位置是合适的。由于有特征值小于零,表明表明距离阵不是欧氏型距离阵不是欧氏型,其结果为拟合构图。在此其结果为拟合构图。在此,城市是城市是“对对象象”,飞行里程是飞行里程是“相似性相似性”。图。图10.1给出了给出
15、了MDS反映美国反映美国10座城市相对位置的感知图。图中的座城市相对位置的感知图。图中的10个点个点,每个点代表一每个点代表一个城市个城市,相近的点代表飞行距离短的城市相近的点代表飞行距离短的城市,相距较远的点代表相距较远的点代表飞行距离远的城市。飞行距离远的城市。图图10.1 10城市坐标感知图城市坐标感知图 n n n相关系数的值越大相关系数的值越大,表示课程越相似表示课程越相似,相关系数值越小相关系数值越小,表明课表明课程越不相似程越不相似,显而易见显而易见,相关系数矩阵为相似系数矩阵相关系数矩阵为相似系数矩阵,记为记为C。表表10.3 6门课程相关系数阵门课程相关系数阵 n根据变换（根
16、据变换（10.8）式可得到距离阵）式可得到距离阵D,见表见表10.4。在此基础上。在此基础上,根据（根据（10.5）式得到内积矩阵）式得到内积矩阵B,具体结果见表具体结果见表10.5。表表10.4 距离阵距离阵D n 表表10.5 内积矩阵内积矩阵 n从结果知距离阵从结果知距离阵D不是欧氏型不是欧氏型,我们取我们取r=2,由（由（10.7）式求得）式求得D的古典解的古典解,结果如下结果如下:n图图10.2大体反映了这六门课程的基本结构大体反映了这六门课程的基本结构,从图中可以直观的从图中可以直观的看出看出,算术、代数、几何较为相近算术、代数、几何较为相近,英语和盖尔语较为相近英语和盖尔语较为相
17、近,而而历史课程与其他课程的差异性较大。历史课程与其他课程的差异性较大。图图10.2 六门课程的古典解感知图六门课程的古典解感知图 四、非度量四、非度量MDS的古典解的古典解(nonmetric MDS)n在实际问题中在实际问题中,我们涉及更多的是不易量化的相似性测度我们涉及更多的是不易量化的相似性测度,如如两种颜色的相似性两种颜色的相似性,虽然我们可以用虽然我们可以用1表示颜色非常相似表示颜色非常相似,10表表示颜色非常不相似示颜色非常不相似,但是这里的数字只表示颜色之间的相似但是这里的数字只表示颜色之间的相似或不相似程度或不相似程度,并不表示实际的数值大小并不表示实际的数值大小,因而是定序
18、尺度因而是定序尺度,这这时是由两两颜色间的不相似数据时是由两两颜色间的不相似数据 ij形成形成“距离距离”矩阵。对于矩阵。对于非度量的不相似性矩阵非度量的不相似性矩阵,我们如何进行多维标度分析呢我们如何进行多维标度分析呢?假定假定有一个有一个n个对象的不相似矩阵个对象的不相似矩阵(ij)n n,要寻找要寻找n个对象的一个个对象的一个r维拟合构造点维拟合构造点X。下面介绍。下面介绍Kruskal的非度量的非度量MDS分析方法。分析方法。n为了寻找一个较好的拟合构造点为了寻找一个较好的拟合构造点,我们可以从某一个拟合构我们可以从某一个拟合构造点开始造点开始,即先将即先将n个对象随意放置在个对象随意
19、放置在r维空间维空间,形成一个感知形成一个感知图图,用用Xi=(Xi 1,Xi 2,Xir)表示表示i对象在对象在r维空间的坐标维空间的坐标,对象对象i与与j在在r维空间的距离为维空间的距离为:n n n n也就是说也就是说,S应力是将（应力是将（10.9）式中的）式中的dij和和 用它们的平方代用它们的平方代表后所得到的量度。表后所得到的量度。S应力的值介于应力的值介于0和和1之间。典型的情况之间。典型的情况是是:此值小于此值小于0.1意味着感知图是意味着感知图是n个对象的一个好的几何表示。个对象的一个好的几何表示。n在非度量在非度量MDS分析过程中分析过程中,另一个需要解决的问题是感知图另
20、一个需要解决的问题是感知图空间维数空间维数r的确定。我们可以制作应力的确定。我们可以制作应力-r图确定感知图的维数图确定感知图的维数r。从前述可知。从前述可知,对每一个对每一个r,可以找到使应力达到最小的点可以找到使应力达到最小的点结构。随着结构。随着r的增加的增加,最小应力将在运算误差的范围内逐渐下最小应力将在运算误差的范围内逐渐下降降,且当且当r=n-1时达到零。从时达到零。从r 1开始开始,可将应力可将应力S（r）对）对r作图。这些点随作图。这些点随r的增加而呈下降排列。若找到一个的增加而呈下降排列。若找到一个r,上述上述下降趋势到这一点开始接近水平状态下降趋势到这一点开始接近水平状态,
21、即形成一个即形成一个“肘肘”形曲形曲线线,这个这个r便是便是“最佳最佳”维数。维数。n非度量非度量MDS虽然是基于非度量尺度数据的分析方法虽然是基于非度量尺度数据的分析方法,但是但是,当当定量尺度的距离阵中的数据不可靠定量尺度的距离阵中的数据不可靠,而距离大小的顺序可靠时而距离大小的顺序可靠时,采用非度量采用非度量MDS比度量比度量MDS得到的结果更接近与实际。得到的结果更接近与实际。第三节第三节 权重多维标度权重多维标度(WMDS)n以上我们的讨论都是以单个以上我们的讨论都是以单个“距离距离”阵数据出发进行的阵数据出发进行的,但但在实践中在实践中,往往需要确定多个距离阵数据的感知图往往需要确
22、定多个距离阵数据的感知图,比如由比如由10个人分别对个人分别对5种饮料进行两两相似评测种饮料进行两两相似评测,结果就会得到结果就会得到10个相个相似性矩阵似性矩阵,那么那么,我们如何根据这我们如何根据这10个人的评测结构得出个人的评测结构得出5种饮种饮料的相似性感知图呢料的相似性感知图呢?显然显然,按照古典多维的方法按照古典多维的方法,我们只能是我们只能是每一个相似性矩阵确定一个感知图每一个相似性矩阵确定一个感知图,10个人分别确定个人分别确定10个感个感知图。但是知图。但是,往往我们想要得到的是这往往我们想要得到的是这10个人共同的一个感个人共同的一个感知图而非知图而非10个。这一节将介绍由
23、个。这一节将介绍由Carroll和和Chang提出的解决提出的解决这类问题的多维标度方法这类问题的多维标度方法权重多维标度法（权重多维标度法（WMDS）。）。基础权重多维标度法也称权重个体差异欧氏距离模型。基础权重多维标度法也称权重个体差异欧氏距离模型。n n n n 第四节第四节 实例分析与计算实现实例分析与计算实现 一一 多维标度法在多维标度法在SPSS中的实现中的实现 二二 利用利用SPSS对本章美国十城市的例子对本章美国十城市的例子 进行多维标度进行多维标度 一、多维标度法在一、多维标度法在SPSS中的实现中的实现 实例实例1 n以以SPSS自带文件自带文件World95.sav为例为
24、例,对亚洲国家和地区的对亚洲国家和地区的17个个国家的人口寿命情况进行分析。国家的人口寿命情况进行分析。（一）操作步骤（一）操作步骤:1.在在DataSelect case对话框的对话框的If过滤条件中输入过滤条件过滤条件中输入过滤条件 “region=3”。得到。得到17个国家和地区。个国家和地区。2.主菜单中选择主菜单中选择AnalyzeScaleMultidimensional Scaling(ALSCAL)。就进入多维标度法的主对话框（图。就进入多维标度法的主对话框（图10.3）。在）。在左上方是变量列表选择以下变量左上方是变量列表选择以下变量:urban（城市人口比（城市人口比例）例
25、）,lifeexpf（女性平均寿命）（女性平均寿命）,lifeexpm（男性平均寿（男性平均寿命）命）,gdp_cap（人均（人均GDP）,death_rt（千人死亡率）（千人死亡率）,birth_rt（千人出生率）（千人出生率）,literacy（受教育人口比例）。由于原始数（受教育人口比例）。由于原始数据不是距离阵据不是距离阵,因此需要在下方因此需要在下方Distances单选项中选择单选项中选择Create distances from data,这时这时Measure子对话框被激活子对话框被激活,默认计算默认计算Euclidean distance,即欧氏距离。即欧氏距离。图图10.3
26、 多维标度法的主对话框多维标度法的主对话框 3.点击进入点击进入Measure子对话框子对话框,对距离阵进行设定对距离阵进行设定,（图（图10.4）。）。由于我们的变量都是连续数值型的由于我们的变量都是连续数值型的,所以应在所以应在Measure单选项单选项中选择中选择Interval。并在其下方的。并在其下方的Transform Values栏中选择栏中选择变量标准化变换的方式变量标准化变换的方式,这里我们选择这里我们选择Z scores和和By variable,表示对变量进行正态标准化。然后在表示对变量进行正态标准化。然后在Create Distance Matrix单选项中选择单选项中
27、选择Between cases,表示计算样品之间的距离阵。表示计算样品之间的距离阵。设置完毕后设置完毕后,点击点击Continue回到主对话框。回到主对话框。图图10.4 Measure子对话框子对话框 4.在主对话框中点击进入在主对话框中点击进入Model子对话框子对话框,如图如图10.5。这里可。这里可以设定变量取值的类型。在以设定变量取值的类型。在Level of Measurement中选择中选择Interval,即连续取值的数值型变量。其他设置无需改变即连续取值的数值型变量。其他设置无需改变,点击点击Continue返回主对话框。返回主对话框。图图10.5 Model子对话框子对话框
28、 5.点击进入点击进入Options子对话框（图子对话框（图10.6）,该对话框中提供了该对话框中提供了一些结果显示的选择。一些结果显示的选择。Display栏中默认不输出任何图表。栏中默认不输出任何图表。选择选择Group plots项可得到多维标度图项可得到多维标度图,这里图表的维度由这里图表的维度由Model中的中的Dimensions中填入最小维度中填入最小维度Minimum和最大维度和最大维度Maximum决定决定;择选择选Data matrix项可得到距离阵和拟合构造项可得到距离阵和拟合构造点的坐标点的坐标;而而Model and options summary是显示出多维标度是显
29、示出多维标度法中的参数设置法中的参数设置,计算方法等。这里我们选择计算方法等。这里我们选择Group plots和和Data matrix项后项后,点击点击Continue返回主对话框返回主对话框,再点击再点击OK运行。运行。图图10.6 Options子对话框子对话框（二）结果分析（二）结果分析:1.样品验证表样品验证表,发现有一个样品存在缺失值。查原始数据后发现有一个样品存在缺失值。查原始数据后发现发现Taiwan缺少千人死亡率缺少千人死亡率,该样品被去除。国家地区的编该样品被去除。国家地区的编号如下（表号如下（表10.6）。）。表表10.6 国家和地区的编号国家和地区的编号 2.SPSS
30、会依次输出原始距离阵（表会依次输出原始距离阵（表10.7）,古典解的迭代过古典解的迭代过程和有关压力指标值（表程和有关压力指标值（表10.8）,拟合构造点在二维空间中的拟合构造点在二维空间中的坐标（表坐标（表10.9）,以及最优标度的距离阵（表以及最优标度的距离阵（表10.10）。在表）。在表3中中,Young氏压力指标值为氏压力指标值为0.02289,K压力指标为压力指标为0.03880,都小都小于于0.05。RSQ=0.99485。这些都说明模型拟合效果很好。这些都说明模型拟合效果很好。表表10.7 原始距离阵（部分）原始距离阵（部分）表表10.8 压力指标检验压力指标检验 表表10.9
31、拟合点的在拟合点的在2维标度中的坐标（部分）维标度中的坐标（部分）3.接下来是欧氏距离下的接下来是欧氏距离下的16个国家和地区的拟合构造点的二个国家和地区的拟合构造点的二维图（图维图（图10.7）,从图上可以看出比较发达的地区基本都在第从图上可以看出比较发达的地区基本都在第三个象限三个象限,如香港如香港,日本日本,新加坡。而中国和泰国新加坡。而中国和泰国,菲律宾等国较菲律宾等国较为接近。而线性拟合散点图（图为接近。而线性拟合散点图（图10.8）从图形上告诉我们采）从图形上告诉我们采用欧氏距离来拟合原始数据的距离阵是非常合适的。用欧氏距离来拟合原始数据的距离阵是非常合适的。表表10.10 最优标
32、度的距离阵（部分）最优标度的距离阵（部分）图图10.7 拟合构造点的二维坐标图拟合构造点的二维坐标图 图图10.8 欧氏距离下的线性拟合散点图欧氏距离下的线性拟合散点图 二、利用二、利用SPSS对本章美国十城市的对本章美国十城市的例子进行多维标度例子进行多维标度（一）操作步骤（一）操作步骤:1.打开文件之后打开文件之后,在主对话框的在主对话框的distances单选项中选择单选项中选择Data are distances,此时此时shape对话框被激活（图对话框被激活（图10.9）,默认距离形默认距离形式为式为Square symmetric。若原始数据的距离是对称的若原始数据的距离是对称的,
33、则只需要输入三角阵即可则只需要输入三角阵即可,运算中运算中SPSS会自动填充会自动填充,如本例如本例;Square asymmetric表示不对称的距离表示不对称的距离阵阵;而而Rectangular表示距离阵不是方阵表示距离阵不是方阵,这时需要指定矩阵使用这时需要指定矩阵使用的行数的行数Number of rows,该数值必需大于等于该数值必需大于等于4。本例中选择。本例中选择Square symmetric,点击点击Continue返回主对话框。返回主对话框。图图10.9 shape子对话框子对话框 2.在在Options子对话框中选中子对话框中选中Group plots,点击点击Cont
34、inue返回返回,再点击再点击OK运行。运行。（二）结果分析（二）结果分析:1.首先观察压力指标（表首先观察压力指标（表10.11）,Young氏指标值为氏指标值为0.00291,K氏指标值为氏指标值为0.00272,RSQ=0.99996,说明欧氏距离模说明欧氏距离模型拟合效果很好。型拟合效果很好。表表10.11 压力指标检验压力指标检验 2.拟合点的坐标（表拟合点的坐标（表10.12）,二维坐标图（图二维坐标图（图10.10）以及线）以及线性拟合散点图（图性拟合散点图（图10.11）。从图）。从图10.11可以看出采用欧氏距可以看出采用欧氏距离的拟合标度非常符合原始距离阵。各个城市之间的距离可离的拟合标度非常符合原始距离阵。各个城市之间的距离可以非常好地用图以非常好地用图10.10中的散点来表示。中的散点来表示。图图10.10 欧氏距离模型下的二维散点图欧氏距离模型下的二维散点图 表表10.12 拟合点坐标拟合点坐标 图图10.11 拟合散点图拟合散点图本章结束本章结束
