1、数学史讲义 主讲 王鸿业中世纪的中国数学中世纪的中国数学 希腊几何的演绎精神，随着希腊文明的衰微而在整个中世纪的欧洲湮没不彰。数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长的东方时期。中世纪（公元5-17世纪）数学的主角，是中国、印度与阿拉伯地区的数学。与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的数学推导。就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的。从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。3.1周髀算经与九章算术 3.1.1 古代背景 第一章中已
2、涉及了中国远古数与形概念的萌芽。殷商甲骨文中已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位值制筹算记数。孙子算经中记载的筹算记数法则说：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵。千十相望，百万相当”。纵式用来表示个位、百位、万位，数字；横式用来表示十位、千位、十万位、数字。纵、横相间，零则以空位表示。这样，数76 031用算筹表示出来是 。这种十进位值记数法是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。关于几何学，史记“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”。“规”是圆规，“矩”是直尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械。战国（公元前475-前221）诸子百家，与希腊雅典学派时代
3、相当。“百家”就是多种不同的学派，其中的“墨家”（代表人物是墨翟,前468-前376）与“名家”（代表人物是惠施、公孙龙），其著作包含有理论数学的萌芽。如墨经（约公元前4世纪著作）中讨论了某些形式逻辑的法则，并在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义：点：“端，体之无厚而最前者也”；直线：“直，参也”；圆：“圜(yuan)，一中同长也”；正方形：“方，柱隅四讙也”（讙,同“权”，意“正”）平行：“平，同高也”；体积：“厚，有所大也”墨经中甚至涉及到“有穷”与“无穷”，说：“或（域）不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”。名家著作庄子（庄子，前369-前286）中记载他们的多条名辩，也可以从数学的意义
4、上去理解，其中最有名的如：矩不方，规不可以为圆；飞鸟之影未尝动也；镞(zu)矢之疾,而有不行不止之时；一尺之棰，日取其半，万世不竭等等，可以说与希腊芝诺学派的悖论遥相呼应。3.1.2周髀算经 在现存的中国古代数学著作中，周髀算经是最早的一部。作者不祥，成书年代应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前11世纪-前8世纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天说”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。从数学上看，周髀算经主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。周髀算经卷上记载西周开国时期周公
5、与大夫商高讨论勾股测量的对话.周公向商高求教：“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高所提供的测量方法是“勾股术”：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家，是公元3世纪三国时期的赵爽（吴）。赵爽注周髀算经，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。考察以一直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，其面积应有 如果将这合并图形所含的两个三角形移
6、补到图中所示的位置，将得到一个以原三角形之弦为边的正方形，其面积应为 ，因此.22ba 2c.222cba3.1.3九章算术 九章算术是中国古典数学最重要的著作。成书年代至迟在公元前1世纪，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。周礼记载,西周贵族子弟必学的六门课程（“六艺”）中有一门是“九数”，刘徽九章算术注“序”中就称九章算术是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍（?-公元前152）、耿寿昌等人删补。九章算术采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田、粟(su)米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。(一）算术方面 （1）分数四则运算法则。九章算术“方田”章给出了完整的
7、分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。“约分术：可半者半之不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也以等数约之”（2）比例算法。九章算术“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法。a:b=c:x设从比例关系求x,九章算术称a为“所有率”，b为“所求率”，c为“所有数”，x为“所求数”。今有术相当于abcx“今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法实如法而一”以“今有术”为基础，“衰分”章处理正、反比例分配问题，“衰分”就是按一定级差分配。“均输”章则运用比例分配解决粮食运输负担的平均分配。（3）盈不足术。“盈不足”术是
8、以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。九章算术中典型的盈亏类问题如：今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？一般地假设人数为 ，物价为 ，每人出钱 盈 ，出钱 不足 。九章算术“盈不足术”相当于给出解法：xy1a1b2a2b“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下令维乘所出率，并，以为实并盈、不足为法实如法而一盈、不足相与同其买物者，置所出率，以少減多余，以约法、实实为物价，法为人数”211221bbbabaxy分两部分：第一部分是求每人出多少才不盈不朒，其公式是：2112212121,aababayaabbx第二部分是求人数、物价的公式：任何算术问题（
9、不一定是盈亏类问题），通过两次假设未知量的值，都可以转换成盈亏类问题来求解。九章算术“盈不足”章就用这种方法解决了许多不属于盈亏类的问题。“盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹算法”，即中国算法。（二）代数方面（1）方程术。“方程术”即线性联立方程组的解法。以“方程”章第1题为例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问：上、中、下禾实一秉各几何？”答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四分斗之一；禾一秉，二斗、四分斗之三 方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右
10、方中、左禾列如右方以右行上禾遍乘中行而以直除又乘其次，亦以直除然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除左方下禾不尽者，上为法，下为实实即下禾之实求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实余如中禾秉数而一，即中禾之实求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实余如上禾秉数而一，即上禾之实实皆如法，各得一斗”题中“禾”为黍米(黍,音“署”)，“秉”指捆，“实”是打下来的粮食。设上、中、下、禾各一秉打出的粮食分别为 （斗），则问题就相当于解一个三元一次联立方程组：.2632,3432,3923zyxzyxzyxzyx,九章算术没有表示未知数的符号，而是用算筹将 的系数和常数项排列成一个方阵（如图,其中已将筹算数码
11、换作阿拉伯数码），这就是“方程”一词的来源。“方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：zyx,用图(i)右行上禾 的系数3“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行各数，就得到图(ii)所示的新方程。)(x 其次以图(ii)中行中禾 的系数5遍乘左行各数，从所得结果直除中行并约分，右得到图(iii)所示的新方程。其中左行未知量系数只剩一项，以4除11，即得下禾 （斗）。)(y432)(z 为求上禾 和中禾 ，重复“遍乘直除”程序。以图(iii)左行下禾 的系数4遍乘中行和右行各数，从所得结果按行分别直除左行并约分，最后得到图(iv)所示的新方程。
12、由此方程计算得)(x)(y)(z上禾 ，中禾 ，下禾 。419)(x414)(y432)(z 九章算术方程术的遍乘直除算法，实质上就是我们今天所使用的解线性联立方程组的消元法，西方文献中称之为“高斯消去法”。（2）正负术。九章算术在代数方面的另一项突出贡献是负数的引进。九章算术正是在“方程”章中提出了“正负术”，即正、负数的加减运算法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么如前所述可以看到，中算负数则是算法思维的产物。(3)开方术。九章算术“少广”章有“开方术
13、”和“开立方术”，给出了开平方和开立方的算法。九章算术开方术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。九章算术开方术实际上包含了二次方程 的数值求解程序，称为“开带从平方法”。cbxx2 稍后的刘徽在“开方术注”中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为求微数法，并指出在开方过程中，“其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也.”九章算术开方术中特别令人惊异之处，是指出了存在有开不尽的情形：“若开之不尽者，为不可开”，并给这种不尽根数起了一个专门的名字“面”。（三）几何方面 九章算术“方田”、“商功”和“勾股”三
14、章处理几何问题。其中“方田”章讨论面积问题，“商功”章讨论体积问题，“勾股”章则是关于勾股定理的应用。各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源。如平面图形有“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“箕(ji)田”（梯形）、“圆田”（圆）、“弧田”（弓形）、“环田”（圆环）等；立体图形则有“仓”（长方体）、“方亭”（平截头方锥）、“阳马”（底面为长方形而有一棱与地面垂直的锥体）以及“刍童”（上、下底面都是长方形的棱台）等等。九章算术中给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的。如刍童（如图）体积公式为)2()2(6cbdadbhV羡除体积公式为：hlcbaV)(61 九章算术方田
15、章“圆田术”圆面积公式 是正确的，但以3为圆周率失于粗疏。“开立圆术”则相当于给出球体积公式 （为直径），这是不正确的，加之取为3，误差过大。2RA3163DVD 与欧几里得原本中将代数问题几何化的做法相反，九章算术将几何问题算术化和代数化。在“勾股章”中可以找到典型的例子。如第20题：“今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？”九章算术的解法是以 为“实”（常数项），以 为“从法”（一次项系数），然后“开方除 之”，相当于解一个二次方程：710002 EDCB34 EFCB71000342xx 这种几何代数化的做法，经过刘徽和更晚
16、的宋、元数学家的发扬，成为中国古典数学的重要特征。九章算术对于它所给出的几何问题的算法，一律没有推导证明。可以说九章算术中的几何部分主要是实用几何。但稍候的魏晋南北朝，却出现了证明九章算术中那些算法的努力，从而引发了中国古典几何中最闪亮的篇章。3.2从刘徽到祖冲之 从公元220年东汉分裂，到581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起。在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释周髀算经、九章算术的形式出现，实质是要寻求两部著作中一些重要结论的数学证明。3.2.1刘徽的数学成就 隋书“律历志”中提到“魏陈留王景元
17、四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰九章算术注。九章算术注包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。（一）割圆术 刘徽在九章算术方田章“圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的面积和周长。术曰：“假令圆径二尺，圆中容六觚（即正六边形）之一面，与圆径之半，其数均等合径率一而外周率三也又按为图，以六觚之一面乘半径，因而云之，得十二觚之
18、冪若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之冪割之弥细，所失弥少割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数点后二位的近似值 ，化成分数为 ，这就是有名的“徽率”。14.350157（二）体积理论 刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和不变。在平面的情形，刘徽成功地证明了九章算术中许多面积公式，但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”的运用遇到了很大的困难。这里实质性的障碍在
19、于：与平面情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补（也就是中国古代数学家所说的“出入相补”）相等。他在推算九章算术中的一些立体体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与 不可分量方法。(1)阳马术。九章算术“商功章”阳马术给出阳马的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一。刘徽从一长方体出发（见图），将它斜分成两个“壍堵”，然后再斜分壍堵得到两个立体图形，其中一个就是阳马，另一个是鳖臑。术曰：术曰：“广袤相乘，以高乘之，三而一”刘徽欲证阳马体积 与鳖臑体积 之比为2:1，由此即可推出阳马体积公式 （分别为长方体的三边之长）。YBabcY31cba,比率 :1 应该对任意长
20、方体都成立，刘徽称之为“不易之率”。正是为了证明这个“不易之率”,在感到出入相补无能为力的情况下，刘徽使用了极限的方法。Y2B （2）球体积。刘徽首先证明了九章算术中的球体积公式是不正确的，并在九章算术“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径。刘徽创造了一个新的立体图形，他称之为“牟合方盖”，并指出：一旦算出牟合方盖的体积，球体积公式也就唾手可得。在一立方体内作两个互相垂直的内切圆柱。这两个圆柱体相交的部分，就是刘徽所说的“牟合方盖”。牟合方盖恰好把立方体的内切球包含在内并且同它相切。如果用同一个水平面去截它们，就得到一个圆（球的截面），和它的外切正方形（牟合方盖的截面）。“牟合方
21、盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸规之为圆囷（qn，圆形谷仓），径二寸，高二寸又复横规之，则其形有似牟合方盖矣八棋皆似阳马，圆然也按合盖者，方率也丸居其中，即圆率也”刘徽指出，在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积之比都等于 ，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于 。44 刘徽在这里实际已用到了西方微积分史著作中所说的“卡瓦列利原理”，可惜没有将它总结为一般形式。牟合方盖的体积怎么求呢？刘徽终于未能解决。最后他说：“敢不阙疑，以俟(si)能言者!”刘徽虽然没有推证出球体积公式，但他所创用的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导
22、。刘徽九章算术注还有其他许多数学成果，特别是他在九章算术“勾股”章之后所加的一整篇文字，作为九章算术注第十卷，后来单独刊行，称为海岛算经。3.2.2 祖冲之与祖暅 祖冲之（公元429-500，如图）活跃于南朝宋、齐两代，出生于历法世家，本人做过南徐州（今镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。祖冲之在公元462年创制了一部历法大明历，这在当时是最先进的历法，却遭到当朝权臣戴法兴等人的竭力反对。祖冲之与戴法兴辩论，并直指戴“浮辞虚贬”，“坚执偏论”。祖冲之还将他反驳戴法兴的议论写成一篇驳议，这篇文章后来被收入宋书，其中提供了有关祖冲之数学贡献的重
23、要线索。祖冲之在文章一开始说他早年“专攻数术”，“发现立圆旧误，张衡述而弗改；汉时斛铭，刘歆诡缪其数”。祖冲之批评这两项数学结果是“算氏之巨疵”，并说他本人“昔以暇日，撰正众谬，理据炳然”。（一）圆周率 祖冲之关于圆周率的贡献记载在隋书中，隋书律历志说：“祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间”。也就是说，祖冲之算出了圆周率数值的上下限：.（盈数）（肭数）1415927.31415926.3 隋书律历志还记载了祖冲之在圆周率计算方面的另一项重要结果：“密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五；约率：圆径七
24、，周二十二”。这就是说祖冲之还确定了圆周率的分数形式的近似值：约率 ；密率 。722113355在现代数论中，如果将圆周率 表示成连分数，其渐近分数是：,33215104348,33102103993,113355,106333,722,13第4项正是密率，它是分子、分母不超过1000的分数中最接近 真值的分数。“密率”也称“祖率”。（一）祖氏原理与球体积 曾使刘徽绞尽脑汁的球体积问题，到祖冲之时代终于获得解决。这一成就被记录在九章算术“开立圆术”李淳风注中。根据李淳风的注，祖暅球体积的推导继承了刘徽的路线，即从计算“牟合方盖”体积来突破。取牟合方盖的八分之一，然后考虑它与它的外切正方体所围成
25、的立体，并如图那样将它再剖分成三个小立体，将这三个小立体单画出来分别如图，。同时考虑一个以外切正方体上底面为底、以该正方体 一边为垂直边的倒方锥（图）。祖暅推证的关键是以下的命题 命题：倒方锥的体积，等于三个小立体，的体积之和，因此也等于从外切正方体中挖去牟合方盖的部分即立体的体积：=+=如果证明了命题，那么倒方锥的体积容易知道是 （是正方体边长，也是内切球半径长）。于是牟合方盖八分之一的体积应为 ，整个牟合方盖体积为 。331rr332r3328r 根据刘徽已经证过的结果，应有下列关系：PQRDABCDBSQTCTQRASQP,xQPAS22xrPQRDABCD222hxr2hBSQTCTQ
26、RASQP2h设 则有 ，由勾股定理，故但在高h 处倒方锥V 的截面积显然也等于 。这就是说，在任一相同的高处立体I（注意在方体中已挖去牟合方盖部分）的截面积都与倒方锥V的截面积相等。这时祖暅提出了一条原理说：“幂势既同，则积不容异”。应用这一原理，命题的证明不言而喻。至于关键命题的证明，祖暅考察在高h 处的水平截面，如图所示容易看出：三个小立方体，的截面积 ASQP,CTQR 与BSQT合并在一起应等于正方体截面积ABCD 与牟合方盖部分的截面积PQRD之差，即 概言之，祖暅推导几何图形体积公式的方法是以下列两条原理为基础：（1）出入相补原理；（2）祖氏原理：幂势既同，则积不容异。祖氏原理在
27、西方文献中称“卡瓦列利原理”，1635年意大利数学家卡瓦列利(B.Cavalieri)独立提出，对微积分的建立有重要影响。刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度。祖冲之父子的方法都记载在缀术中。缀术在隋、唐时期曾与九章算术一起被列为官学教科书，但隋书律历志中已说：“学官莫能究其深奥”了！缀术于公元10世纪在中国本土完全失传。3.2.3算经十书 隋唐时期中国数学发展的两件大事是数学教育制度的建立和数学典籍的整理。7世纪初，隋代开始在国子监中设立“算学”，并“置博士、助教、学生等员”，这是中国封建教育中数学专科教育的肇
28、端。唐代不仅沿袭了“算学制度”，而且还在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科”，考试及第者也可做官，不过只授予最低官阶。“算学”制度及明算开科都需要适用的教科书，唐高宗亲自下令对以前的十部数学著作进行注疏整理。受诏负责这项工作的是李淳风（约604-672），公元656年编成以后，成为国学的标准数学教科书，称“十部算经”或“算经十书”。这十部算经分别是：周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、张邱建算经、夏侯阳算经、五曹算经、五经算术、缀术和缉古算经。其中缀术在唐、宋之交失传以后，宋代刊刻的算经十书中便以南北朝时期北周人甄鸾所著数术记遗来替补。甄鸾也是五曹算经、五经算术的作者。（一）孙子算经与“
29、物不知数”问题 孙子算经作者不详，大约是公元4世纪的作品，全书3卷，卷上有今天仅存的中国筹算法则的记载。孙子算经最著称于世的是卷下的“物不知数问题”：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这相当于求解一次同余组).7(mod2)5(mod3)3(mod2N答曰：二十三术曰：三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得”孙子算经给出的答数是符合条件的最小正数解 ，“物不知数”题术文指示了解题方法，列成算式就是：23N
30、.1052215321270N 孙子算经还说明对任意余数 ，只要将算式中的2，3，2换成 ，并调整105的系数就行了。这是今天关于一次同余组一般解法的剩余定理的特殊形式。孙子问题引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法-“大衍求一术”。现代文献中往往把求解一次同余组的剩余定理称为“中国剩余定理”，或直称“孙子定理”。321,RRR321,RRR（二）张邱建算经和“百鸡问题”张邱建算经三卷，据考大约成书于公元466485年间，作者张邱建是北魏时人张邱建算经卷下最后一题通常称“百鸡问题”：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一凡百钱买鸡百只问鸡翁、母、雏各几何?”此题相当于解不定方程
31、组：.1003135,100zyxzyx张邱建给出所有可能的正整数解:78,18,4111zyx81,11,8222zyx84,4,12333zyx(三)缉古算经与三次方程 缉古算经是十部算经中年代最晚的一部，作者王孝通是唐初人，缉古算经也是一本实用问题集，用“开带从立方法”解决工程问题，“开带从立方法”就是求三次方程正根的数值解法，书中给出了28个形如cqxpxx23的正系数方程及其正有理根，但没有解题方法 缉古算经是世界上最早讨论三次方程组代数解法的著作高次方程的数值解法，在宋、元时期得到了高度发展 3.3 宋元数学 整个宋元时期(公元9601368)，重新统一了的中国封建社会发生了一系列
32、有利于数学发展的变化这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位。3.3.1 从“贾宪三角”到“正负开方”术(一)贾宪三角与增乘开方法 贾宪是北宋人，约公元1050年完成一部叫黄帝九章算术细草的著作，原书丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著详解九章算法(1261)摘录，因能传世。根据杨辉的摘录，贾宪的高次开方法是以一张称为“开方作法本源”的图为基础。开方作法本源图(如图，采自永乐大典)现称“贾宪三角”或“杨辉三角”，它实际上是一张二项系数表，即 展开的各项系数，贾宪将左右斜线上的数字1分别称为“积数”和“隅算”，将这
33、两行斜线数字中藏的数字称为“廉”，开几次方，就用相应行的廉；第三行为“二”是开平方的廉；第四行三、“三”是开三次方的廉；第五行“四、六、四”是开四次方的廉，等等，“积”、“隅”、“廉”都是沿用中国古代开方术语。)6,2,1,0()(naxn 1 1+5=6 第一位(上廉)1 1+45 5+1015 第二位(二廉)1 1+34 4+610 10+1020 第三位(三廉)1 1+23 3+36 6+410 10+5=15 第四位(四廉)l 1+12 2+1=3 3+14 4+15 5+16 第五位(下廉)1 1 1 1 1 1 隅算 就是说将隅算1自下而上增入前位，直到首位为止，就得第一位数字(上
34、廉)；求其他各位数字，自下而上重复刚才的程序，每次低一位为止，这是一种随乘随加的过程，所以叫“增乘法”贾宪发现，这种增乘法不仅可以用来求“开方作法本源”图中的各廉，而且可以被推广用来直接开方，这就是增乘开方法 他在“增乘方求廉法草”中给出的求贾宪三角第七行各数的方法相当于如下程序：下面用杨辉详解九章算法中记载的一道例题来说明这种方法该题相当于求 13363364x的正根。贾宪的算法相当于以下程序：令 ，方程变换为 议得首商为3 令 ，设方程变换为：，其中系数 由下列增乘程序来确定：110 xx 133633610414x213xx423222321420axaxaxaxa43210,aaaaa
35、 即得到减根变换后的方程为 令 ，方程变换为 议得次商(第二次商)为4 令 ，重复以上增乘程序：52633610108105410121024224324424xxxx31210 xx52633610800054001203233343xxxx434xx由于常数项(实)恰好被减尽，整个计算到此为止，我们得到原开方式的精确根=34，若常数项仍不为零，还可以继续重复增乘程序来求小数后的各位数字。贾宪增乘开方法，是一个非常有效的和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方这种随乘随加、能反复迭代计算减根变换方程各项系数的方法，与现代通用的“霍纳算法”(1819)已基本一致而与此方法相联系的“贾宪三角”，
36、在西方文献中则称“帕斯卡三角”(1654)(二)秦九韶“正负开方术”在高次方程数值求解领域的集大成者，是南宋数学家秦九韶秦九韶(约公元12021261)在他的代表著作数书九章中，将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形。他将自己的方法称为“正负开方术正负开方术是求高次代数方程的完整算法 先列出 01110nnnnaxaxaxa形式的方程，其中方程系数除了常数项 外都可正可负，常数项则规定总为负，即“实常为负”解方程的方法也是在取得试商 后通过减根变换 将方程变形为新方程naxhxx01110nnnnaxaxaxa秦九韶“正负开方术”给出了一个机械化的迭代程序来计算新方程的系数 ，这一程序与贾宪增
37、乘程序的主要区别在于：后者在以试商由下而上累乘累加的最后，要将所得结果从常数项中减去；而秦九韶的程序由于规定了“实常为负”，整个运算便统一为加法，彻底实现了机械化的随乘随加10,naaa 秦九韶，字道古，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，不久死于任所他早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成数书九章数书九章全书18卷，81题，分九大类(大衍，天时，田域，测望，赋役，钱谷，营建，军旅，市易)其中最重要的成就，除了“正负开方术”外，还有“大衍总数术”，即一次同余式的一般解法这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。3.3
38、.2 中国剩余定理 秦九韶数书九章卷一“大衍总数术”，明确地、系统地叙述了求解一次同余方程组的一般方法所谓“大衍总数术”，可以用现代符号来解释如下：设有一次同余组 .,2,1),(modniaRNii假如诸模数 两两互素，那么只要求出一组数 ，满足：iaik,2,1),(mod1niaaMkiii就可以得到适合已给一次同余组的最小正数解为 其中 为整数，,)(1pMaMkRNiiinip.21naaaM “大衍总数术”中的关键部分，就是关于数组 1,2,n)的计算方法秦九韶称这些数 为“乘率”，并把自己发现的求乘率的方法称为“大衍求一术”iki(ik 以任一乘率 为例。令 若 秦九韶首先用 除
39、 ，求得余数 ，那么 于是ik,iiaMG,iiaG iaiGiiag),(modiiiagG),(modiiiiiagkGk但因 ，故问题归结为求 使适合)(mod1iiiaGk,ik).(mod1iiiaGk秦九韶把 叫“定数”，叫“奇数”，他的大衍求一术，实际上相当于把奇数 与定数 辗转相除，相继得商数 和余数 ，在辗转相除时随即算出下表右边的c值：iaigigianqqq,21nrrr,21秦九韶指出，当 而 是偶数时，最后得到 的就是所求乘率 ；如果 而 是奇数，则将 与 相除，形式上令 那么余数 仍是1，再作 这时 为偶数，就是所求的 不论哪种情形，最后一步都出现余数1，整个计算到
40、此终止，秦九韶因此把他的方法叫做“求一术”(至于“大衍”的意义，秦九韶在数书九章序中把它和周易“大衍之数”相附会)1nrnncik1nrn1nrnr,111nnrq1nr,111nnnnccqc1n1ncik 可以证明，秦九韶的算法是完全正确且十分严密的当然，秦九韶本人并没有给出这样的证明到18、19世纪，欧拉(1743)和高斯(1801)分别对一次同余组进行了详细研究，重新独立地获得与秦九韶“大衍求一术”相同的定理，并对模数两两互素的情形作出了严格证明1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的方法与高斯算法是一致的，因此关于一次同余组求解的剩余定理常常被称为“中国剩余定理”3.3.3 内插法与垛
41、积术 古代天算家由于编制历法而需要确定日月五星等天体的视运动，当他们观察出天体运动的不均匀性时，内插法便应运产生 东汉时期，刘洪乾象历就使用了一次内插公式来计算月行度数这当 然是比较粗糙的近似。公元600年刘焯在皇极历中使用了二次内插公式 来推算日月五星的经行度数 公元727年，僧一行又在他的大衍历中将刘焯的公式推广到自变量不等间距的情形随着历法的进步，对数学工具也提出了更高的要求到了宋元时代，便出现了高次内插法。首先是郭守敬、王恂等在著名的授时历(1280)中，认定天体运行的距离是时间的三次函数.)(32ctbtatdtf不过郭守敬等并没有明确给出三次内插公式，而是用差分表来解决问题，他们称
42、自己的方法为“招差”，因此一般中算史文献上都称内插法为“招差术”最先获得一般高次内插公式的数学家是朱世杰 朱世杰(公元1300前后)，自号松庭，寓居燕山(今北京附近)，是一位平民数学家和数学教育家，“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：四元玉鉴后序)朱世杰的代表著作有算学启蒙(1299)和四元玉鉴(1303)算学启蒙是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了日本与朝鲜数学的发展。四元玉鉴则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最突出的数学创造有“招差术”(即高次内插法)，“垛积术”(高阶等差级数求和)以及“四元术”(多元高次联立方程组与消元解法)等.四元玉鉴卷中“如象招数”
43、总共5个问题，都与招差法有关，其中最典型的第5问：“以立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，今招十五日，问招兵几何?”设日数为n，则这问题是说：每日按 数招兵，第15日共招兵多少?若用表示 至第n日共招兵人数，朱世杰对这问题的解答相当于给出了如下公式：3)2(n)(nf,)3)(2)(1(!41)2)(1(!31)1(!21)(432nnnnnnnnnnnf其中 分别称为“上差”、“二差”、“三差”和“下差”。这是一个四次招差公式，在形式上已与现在通用的格利高里(JGregory)牛顿公式相一致。6,24,37,27432 朱世杰是怎样得出这一公式的呢?在“如象招数”第5问术文中有明确的说
44、明，他是利用了高阶等差数列求和的公式，这就涉及到宋元时期的另一项数学成就“垛积术”高阶等差数列的研究在中国始于北宋的沈括(10311095)。沈括梦溪笔谈卷十八“隙积术”，就是关于长方台形垛积的求和公式 隙积术：“隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类虽似覆斗，四面皆杀（斜），缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少余思而得之，用刍童法为上位，下位别列下广，以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位”一个上底宽是 a 个物体、长是b个物体；下底宽是c个物体、长是d个物体；高n层的长方台形垛积，要求物体个数的总和S 沈括发现这个“和数”比上底宽a、长b；下底宽c，长d，高 的长方棱
45、台的“体积”多出 n)(6acn，即).(6)2()2(6)1)(1(acncbdadbncdbaabS 朱世杰在四元玉鉴中给出了一系列所谓“三角垛”公式：茭草垛)1(!213211nnnrn三角垛)2)(1(!31)1(21631)1(!211nnnnnrrn撒星形垛 )3)(2)(1(!41)2(1(!311041)2)(1(!311nnnnnnnrrrn这样，朱世杰相继以前一个级数的和作为新级数的一般项，就得到了 阶等差级数求和的一般公式：p)()2)(1()!1(1)1()2)(1(!11pnnnnpprrrrpn 朱世杰在垛积术方面的功绩，不仅仅是获得了这样的一般公式，而且还在于：(
46、1)他指出了三角垛公式与贾宪三角之间的关系：这些公式左侧求和各项依次是贾宪三角中第p条斜线上的前n项数字，而右侧的“积”则刚好等于p+1条斜线上第n项数字.(2)他又指出了三角垛公式与招差术之间的联系：他的招差公式中各项差分的系数恰好是相应各三角垛的“积”.因此，虽然朱世杰在四元玉鉴中只写出了四次招差公式，但他完全可以根据垛积术写出任意高次的招差公式来3.3.4 “天元术”与“四元术”宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数符号化的尝试，这就是“天元术”和“四元术”的发明天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列方程、解方程的方法，它们是代数学的重要进步 (一)天元术 宋元时期高次方程数值
47、求解技术的发展，必然引起对列方程方法的需求“天元术”就是在这样的情况下产生的在传世的宋元数学著作中，首先系统阐述天元术的是李冶的测圆海镜(1248)和益古演段(1259)两部著作 首先“立天元一为某某”，这相当于“设 为某某”，“天元一”就表示未知数，在筹算盘上列天元式，先确定未知数一次项系数的位置，在其旁置一“元”字，其余各项按未知数幂次相对于一次项上下递增或递减排列有时李冶则在常数项旁置一“太”字来代替在一次项旁置“元”如方程有负系数，就在这系数的个位筹码上加一斜划例如今天的方程式 x,06905280252xx用天元式表示就是右上图，幂次由下而上递减。就表示方程 021601511xx而
48、天元式（右下图）用天元术列方程的方法，与现代代数中的列方程法相类似.（二)四元术 在李冶之后，天元术被朱世杰从一个未知数推广到二元、三元及四元高次联立方程组，这就是“四元术”朱世杰四元玉鉴中详细记载了这种列多元高次方程组的方法 首先令常数项(太)居中，然后“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”“四元术”以“天”、“地”、“人”、“物”来表示四个不同的未知数这就是说，在筹算盘上列四元式，通常是将相应的各项系数记在图中相应的位置上，不相邻二未知数的乘积所构成的各项 （如 )，则记入图中相应的间隙位置xwyz,如果用今天的 来代替“天”、“地”、“人”、“物”，那么朱世杰列高次多元方程
49、组的方法就如下图所示wzyx,以四元玉鉴卷首“假令四草”第4题为例，该题要 求一勾股形中由勾、股、弦数组成的某表达式数(“开数”)朱世杰的做法是：“立天元一为勾，地元一为股，人元一为弦，物元一为开数”，根据题意列出四个方程：用今天的符号表示，就是设 x 为勾，y为股，z为弦，w 为“开数”，得到的方程“今式”、“云式”、“三元之式”和“物元之式”则相当于（对照表，先找出“太”的位置）.022004420222222wyxzyxzyxzxyxxzyx列出方程后，朱世杰便用消元法解方程，求出开数为14朱世杰在四元玉鉴中使用了“剔消”、“易位”、“互隐通分”、“内外行乘积”等多种消元手段，表现了熟练的消元技巧 明清时期，中国数学开始衰退。
