1、 数学园地数学园地 奇妙的勾奇妙的勾股数股数 我们知道，勾股定理的内容极其丰富，古往今来，证明方法已达数百种。而 勾股定理中的勾股数也内涵颇深。下面我谈一下自己对勾股数的理解与认识。 我主要从两个方面谈谈我对勾股数的理解。一是勾股数的找法；二是证明任 意一组勾股数中既有 3 的倍数，也有 4 的倍数，还有 5 的倍数。 对于勾股数的找法是我平时在做题过程中发现的。原题是这样的“已知一个 直角三角形的一条直角边是 11，另外两边的长是正整数，求另外两边的长” 。这 道题对于学生来说是有一定的难度的，主要是题目给出的条件较少，一般的学生 不知道从哪里着手，也不知道从哪里突破。下面我来说说这道题的解
2、法。设另外 两边的长分别为 b、c，其中 c 为斜边，由勾股定理可知：112+b2=c2，变形可得： c2- b2=121，即（c+b） （c-b）=121，因为 b、c 为正整数，所以 c+b 与 c-b 也是 正整数， 且 c+b c-b， 而 121 只有 1， 11， 121 这三个因数， 所以 c+b=121， c-b=1， 联立方程组解得 b=60，c=61，所以另外两边的长分别是 60，61。我们可以将此 题给出的直角边换一个数字，比如将 11 换成 8，则可以得到 82+b2=c2，变形得 c2- b2=64，即（c+b） （c-b）=64，因为 b、c 为正整数，所以 c+b
3、 与 c-b 也是正 整数，且 c+b c-b，而 64 有 1，2，4，8，16，32，64，这些因数，所以 c+b=64， c-b=1（1） ，或 c+b=32， c-b=2（2） ，或 c+b=16， c-b=4（3） ，解（1）得 b=31.5， c=32.5（不合题意，舍去） ；解（2）得 b=15，c=17：解（3）得 b=6，c=10：所 以以 8 为直角边的勾股数有两组，即 8，15，17；6，8，10；而这两组勾股数也 是我们非常熟悉的勾股数。通过这道题我们可以总结出找勾股数的方法。任意给 出一个正整数（必须不小于 3，因为最小的勾股数是 3，4，5） ，以这个正整数为 直角
4、边。利用上面的解题思路就可以找到与这个数相关的勾股数，这里主要是利 用平方差公式以及分解因数得到相应的方程组，从而求得相应的 b、c 的值。值 得注意的是，在列方程组的时候要注意 c+b 与 c-b 的奇偶性相同(因为 c+b=c-b+2b，且 2b 是偶数，所以 c+b 与 c-b 奇偶性相同)，所以上面以 8 为直角 边所得到的第一个方程组直接可以省略不写。也许有人会问，为什么以 11 为直 角边所得的勾股数只有一组，而以 8 为直角边所得的勾股数有两组，这里我可以 简单的概括一下，因为 11 是质数，112=121，所以 121 的因数少，而 8 是合数， 82=64，所以 64 的因数
5、多，而因数的多少可以决定方程组的多少。所以在上述问 题中，如果给出的直角边是质数（不小于 3） ，那么得到的勾股数就只有一组， 如果给出的直角边是合数（不小于 8） ，那么得到的勾股数就会有两组或者两组 以上。但是我们从数学思想的另外一个角度看，找勾股数的方法就是一个不定方 程的问题。 下面我来证明任意一组勾股数中既有 3 的倍数，也有 4 的倍数，还有 5 的倍 数。 其实这道题也是我在平时做题时遇到的一道奥林匹克竞赛题， 此题难度较大， 难就难在比较抽象，如果直接证明比较麻烦，很难找到突破口，也不好下手。所 以我这里证明此结论用的是反证法。对于任意一组勾股数 a、b、c，假设 c 是斜 边
6、，由勾股定理知 a2+b2=c2，假设 a、b、c 都不是 3 的倍数，则 a、b、c 除以 3 的余数只能是 1 或 2，若 a 除以 3 的余数是 1，可设 a=3m+1，其中 m 为正整数， 则 a2=（3m+1） 2=9m2+6m+1，此时 a2 除以 3 的余数是 1，若 a 除以 3 的余数是 2， 可设 a=3n+2，其中 n 为正整数，则 a2=（3n+2）2=9n2+12n+4，此时 a2除以 3 的 余数还是 1，所以不管 a 除以 3 的余数是 1 还是 2，则 a2除以 3 的余数都是 1， 同理，b2除以 3 的余数也是 1，c2除以 3 的余数也是 1，所以在等式
7、a2+b2=c2中， 左边除以 3 的余数是 2，而右边除以 3 的余数是 1，此时等式不成立，所以假设 不成立，故 a、b、c 中必有 3 的倍数。同理可证：a、b、c 中必有 4 和 5 的倍数。 有兴趣的数学爱好者可以自己去证明。 对于勾股数中有 4 的倍数，我这里还有另外一种证明方法，主要是通过数的 奇偶性而联想到的。证明过程如下：假设有任意一组勾股数 a、b、c，其中 c 是 斜边，由勾股定理有：a2+b2=c2，由数的奇偶性可知，要使等式成立，a、b、c 中要么是三个偶数，要么是两奇一偶，我们先看三个偶数的情况，假设 a、b、c 都是偶数且都不是 4 的倍数，可设 a=2m，b=2
8、n，c=2p，且 m、n、p 都是正整数， 也是奇数，则(2m)2+（2n）2=（2p）2，即 4m2+4n2=4p2，所以 m2+n2=p2，因为 m、 n、p 都是奇数，所以等式 m2+n2=p2左右两边的奇偶性不相同，此时等式不成立， 即假设不成立，所以当 a、b、c 都是偶数时，其中必有 4 的倍数。我们再来看， a、b、c 中两奇一偶的情况，这里又要分两种情况讨论，第一种，偶数是直角边， 第二种。偶数是斜边。我们先讨论偶数是斜边的情况，若 c 是偶数，a、b 是奇 数，可设 a=2x+1，b=2y+1，c=2z,其中 x、y、z 都是正整数，将其代入 a2+b2=c2 中得 （2x+
9、1） 2+ （2y+1）2= （2z）2 中， 即 4x2+4x+1+4y2+4y+1=4z2， 整理得 4 （x2+y2） +4(x+y) +2=4z2,很明显等式不成立，因为等式左边除以 4 余数是 2，而右边是 4 的倍数。所以对于 a、b 是奇数，c 是偶数，这种情况不成立，所以偶数必定是 直角边，也就是说，a、b 中有一个是偶数，c 是奇数。这里不妨设 a 是偶数，b、 c 是奇数，且可设 a=2t，b=2d+1，c=2e+1，其中，t、d、e 是正整数，由勾股定 理得（2t）2+（2d+1）2=（2e+1）2，整理得 t2= e2+e- d2-d，将右边分解因式可得 t2=（e-d
10、） （e+d+1） ，因为 e+d+1= e-d+2d+1，所以 e-d 与 e+d+1 的奇偶性不同， 其中 e-d 与 e+d+1 必然是一奇一偶，所以 t2的值必然是偶数，即 t 是偶数，又 a=2t，所以此时 a 是 4 的倍数。综上所述：任意一组勾股数 a、b、c 中必然有 4 的倍数。 虽然我是一名数学老师，但是我是一名数学爱好者。我一直都很喜欢做题， 也喜欢研究一些初等数学中一些相对有深度的问题。可以说做题是一种享受，尤 其是喜欢研究偏、怪、难等各种题型。做题不仅可以提高我们的专业能力，还可 以扩大我们的知识面，甚至还可以得到一下意外的收获。当我发现意外的收获的 时候，我的内心会深刻地体会到数学的存在真的是一种美。这种美堪比艺术。 以上内容纯属个人见解，如有不当，还望同行及专家批评指正。 陈启
