1、1创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破第9节函数与数学模型考试要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律;2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义;3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.2创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破1.指数、对数、幂函数模型性质比较知 识 梳 理函数性质yax(a1)ylog
2、ax(a1)yxn(n0)在(0,)上的增减性单调_单调_单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与_平行随x的增大逐渐表现为与_平行随n值变化而各有不同递增递增y轴x轴3创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a、b为常数,a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0)与指数函数相关的模型f(x)baxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)与对数函数相关的模型f(x)blogaxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)与幂函数相关的模型f(x)axnb(a,b,n为常数,a0
3、)4创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破常用结论与微点提醒1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小.2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.5创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)6创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破答案(1)(2)(3)(4)每件赔1元,(1)错.(2)中,当x2时,2xx24.
4、不正确.7创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破2.(老教材必修1P107A1改编)在某个物理实验中,测得变量x和变量y的几组数据,如下表:则对x,y最适合的拟合函数是()A.y2x B.yx21C.y2x2 D.ylog2xx0.500.992.013.98y0.990.010.982.008创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破解析根据x0.50,y0.99,代入计算,可以排除A;根据x2.01,y0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数ylog2x,可知满足题意.答案D9创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破3.(新教材必修第一册P149例4改编)当生物死亡后,其体内原
5、有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8 B.9 C.10 D.11所以,若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少需要经过10个“半衰期”.答案C10创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破4.(2020临沂一中月考)已知f(x)x2,g(x)2x,h(x)log2x,当x(4,)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是()A.f(x)g(x)h(x)B.
6、g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)h(x)g(x)解析在同一坐标系内,根据函数图象变化趋势,当x(4,)时,增长速度大小排列为g(x)f(x)h(x).答案B11创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破解得x8,y11.答案81112创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破6.(多填题)(2019北京卷)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的
7、80%.当x10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付_元;在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为_.13创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破解析顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,原价应为6080140(元),超过了120元可以优惠,所以当x10时,顾客需要支付14010130(元).由题意知,当x确定后,顾客可以得到的优惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少,优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为(120 x)元,所以(120 x)80%1200.7,所以x15.即x的最大值为15.答案1301514创
8、新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破考点一利用函数的图象刻画实际问题【例1】(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.15创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳解析由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误.答案A16创新设计创新设计基础知识诊
9、断考点聚焦突破规律方法1.当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系,考查了数学直观想象核心素养.17创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破【训练1】高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函数vf(h)的大致图象是()18创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破解析由题意知,水深h越大,水的体积v就越大.当h0时,v0,故可排除A,C;当h0,H时,不妨将水“流出”
10、设想为“流入”.每当h增加一个单位增量h时,根据鱼缸形状可知,函数v的变化,开始其增量越来越大,经过中截面后增量越来越小,故vf(h)的图象是先凹后凸的,故选B.答案B19创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破考点二已知函数模型求解实际问题20创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破解(1)当x0时,C8,k40,令3x5t,t5,35,21创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破此时x5,因此f(x)的最小值为70.隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.22创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破规律方法1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函
11、数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.23创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破【训练2】(2019全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿
12、运动定律和万有引力定律,r满足方程:24创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破25创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破答案D26创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破角度1构建二次函数、分段函数模型考点三构建函数模型的实际问题多维探究27创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破当x8时,(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价为6元,则x万件商品销售收入为6x万元.依题意得当0 x8时,28创新设计创新设计基础知识诊断考
13、点聚焦突破此时,当x6时,P(x)取最大值,最大值为10万元.29创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破此时,当x10时,P(x)取得最大值,最大值为15万元.因为1015,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.30创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破角度2构建指数(对数)型函数模型31创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 x1),32创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破故到今年为止,该森林已砍伐了5年.33创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破规律方法1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关
14、系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车计价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点:(1)分段要简洁合理,不重不漏;(2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.2.指数函数、对数函数模型解题,关键是对模型的判断,先设定模型,将有关数据代入验证,确定参数,求解时要准确进行指、对数运算,灵活进行指数与对数的互化.34创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破【训练3】(1)(角度1)某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y14.1x0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y22x,其中x为销售量(单位:辆)
15、,若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是()A.10.5万元 B.11万元C.43万元 D.43.025万元(2)(角度2)已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积均为定值1010,为了简单起见,科学家用PAlg nA来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数.现有以下几种说法:35创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破PA1;若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10;假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5PA5.5(注:lg 20.3).则正确的说法为_(写出所有正确说法的序号).(3)(角度2)某公司为激
16、励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)()A.2020年 B.2021年C.2022年 D.2023年36创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破解析(1)设在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆,所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x10.5)20.110.5232.因为x0,16且xN,所以当x10或11时,总利润取得最大值43万元.(2)当nA1时,PA0,故错误.若PA1,则nA10;若PA2,则nA100,故错误.设B菌的个数为nB5104,37创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破又nN*,所以n4,所以从2023年开始,该公司投入的研发资金开始超过200万元.答案(1)C(2)(3)D又lg 20.3,因此5PA200.两边取对数,得nlg1.12lg 2lg 1.3,38本节内容结束
