1、误差理论课件误差理论课件自信是向成功迈出的第一步2 实验报告要用统一的实验报告册书写，实验报告要用统一的实验报告册书写，字体要工整，文句要简明。原始数据要附在字体要工整，文句要简明。原始数据要附在报告中一并交给教师审阅，没有原始数据的报告中一并交给教师审阅，没有原始数据的实验报告是无效的。实验报告是无效的。1.1.学生进入实验室需带上预习报告和记录实验学生进入实验室需带上预习报告和记录实验数据的表格，经教师检查同意后，方可进行实验。数据的表格，经教师检查同意后，方可进行实验。2.2.遵守课堂纪律，保持安静的实验环境。遵守课堂纪律，保持安静的实验环境。3.3.使用电源时，务必经过教师检查线路后方
2、能使用电源时，务必经过教师检查线路后方能接通电源。接通电源。4.4.爱护仪器。进入实验室不能擅自搬弄仪器爱护仪器。进入实验室不能擅自搬弄仪器,实验中严格按教材或仪器说明书操作，如有损坏实验中严格按教材或仪器说明书操作，如有损坏照章赔偿。公用工具用完后应立即放回原处。照章赔偿。公用工具用完后应立即放回原处。5.5.做完实验，经教师审查测量数据并签字后，做完实验，经教师审查测量数据并签字后，学生应将仪器整理还原，将桌面和凳子收拾整齐学生应将仪器整理还原，将桌面和凳子收拾整齐后离开实验室。后离开实验室。6.6.按要求及时上交实验报告。按要求及时上交实验报告。教学安排教学安排 本学期教学计划本学期教学
3、计划2626学时，其中讲课学时，其中讲课6 6学时学时（2 2次），实验次），实验2020（8 8次）学时。次）学时。1.1.1 1.1.1 测量测量1.1.测量的基本概念测量的基本概念测量是利用测量是利用仪器设备仪器设备通过一定通过一定测量方法测量方法，将待测物理，将待测物理量与一个选做为量与一个选做为标准标准的同类物理量进行的同类物理量进行比较比较，确定待测物，确定待测物理量大小的理量大小的过程过程。测量三个要素测量三个要素 （1）测量方法；（）测量方法；（2）仪器设备；（）仪器设备；（3）测量结果）测量结果 比较法比较法 米尺米尺 90.70cm1.1 测量与误差测量与误差 测量的目的：
4、获得测量值测量的目的：获得测量值(数据数据)。例如：用最小刻度为例如：用最小刻度为mm的米尺测量的米尺测量物体的长度。物体的长度。90.70cm2.测量值测量值120.50cm一个物理量的测量值必须由数值和单位组成，两者缺一个物理量的测量值必须由数值和单位组成，两者缺一不可。一不可。测量值数值测量值数值+单位单位测量数值只有赋予了单位才有具体的物理意义测量数值只有赋予了单位才有具体的物理意义例如：例如：（1）120.50，不知道表示什么物理量；，不知道表示什么物理量；（2）120.50cm，表示长度；，表示长度；（3）120.50Kg，表示质量。，表示质量。按测量结果获得方法按测量结果获得方法
5、：测量可分为：测量可分为直接测量直接测量和和间接测量间接测量在物理量的测量中，绝大多数是间接测量，在物理量的测量中，绝大多数是间接测量，但是，直接测量是一切测量的基础。但是，直接测量是一切测量的基础。3 3.测量的分类测量的分类（1）直接测量）直接测量用标准量与待测量直接进用标准量与待测量直接进行比较。行比较。例如：用直尺测量长度；例如：用直尺测量长度；以表计时间；以表计时间；天平称质量；天平称质量；安培表测电流；等等。安培表测电流；等等。（2）间接测量间接测量经过直接测量与待测量有经过直接测量与待测量有函数关系函数关系的物理量，再经过的物理量，再经过运算得到待测物理量的测量运算得到待测物理量
6、的测量方法。方法。例如：用钢卷尺测量桌子例如：用钢卷尺测量桌子的面积的面积S=ab=S(a,b)按测量条件按测量条件：测量可分为：测量可分为等精度测量等精度测量和和不等精度测量不等精度测量3 3.测量的分类测量的分类（1）等精度测量）等精度测量相同测量条件下，对同一相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量。被测量进行重复性测量。相同测量条件：相同测量条件：同一测量水平的观测者同一测量水平的观测者同一精度的仪器同一精度的仪器同样的实验方法同样的实验方法同样的实验环境同样的实验环境等精度测量等精度测量测量的所有数据，测量的所有数据，可信赖可信赖程度相同程度相同，数据处理过程中，数据处理过程中的的
7、地位相同地位相同，一视同仁。，一视同仁。（2）非等精度测量）非等精度测量不相同测量条件下，对同不相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量。一被测量进行重复性测量。非等精度测量非等精度测量测量的所有数据，测量的所有数据，可信赖可信赖程度不同程度不同，数据处理过程中，数据处理过程中的的地位不同地位不同，按测量精度的，按测量精度的高低，区别对待。高低，区别对待。1.1.真值与误差真值与误差（1 1）真值：物理量在客观上存）真值：物理量在客观上存在着的确定数值。在着的确定数值。真值是一个抽象的概念，一般真值是一个抽象的概念，一般无法得到。真值及其变化规律的未无法得到。真值及其变化规律的未知性，正是科
8、学实验的意义所在知性，正是科学实验的意义所在。实际应用中真值约定的方式：实际应用中真值约定的方式：理论真值；公认真值；计量约理论真值；公认真值；计量约定真值；标准相对真值；等等。定真值；标准相对真值；等等。（2 2）误差）误差误差测量值误差测量值-真值真值1.1.2 误差误差 测量不能得到真值，测量不能得到真值，但可以减小测量误差，但可以减小测量误差，估算误差范围。估算误差范围。2.2.误差的基本性质误差的基本性质普遍性：普遍性：存在一切测量之存在一切测量之中，贯穿于测量始终。中，贯穿于测量始终。不可知性：不可知性：一般真值是未知一般真值是未知的，误差就无法知道。的，误差就无法知道。2.2.误
9、差的表示形式误差的表示形式（1）（绝对）误差）（绝对）误差用绝对大小给出的误差，用绝对大小给出的误差，表示为表示为xx0 相对误差反映了测量精相对误差反映了测量精度的高低，无单位，用百分度的高低，无单位，用百分数表示。数表示。绝对误差反映了测量值偏绝对误差反映了测量值偏离真值的大小和方向，可正离真值的大小和方向，可正可负，有单位。可负，有单位。（2）相对误差）相对误差绝对误差与被测量真值的绝对误差与被测量真值的比值，表示为比值，表示为E /x0100例如：例如：测量两个物体的长度分别为测量两个物体的长度分别为L1=100.0mm，L2=80.0mm；绝对误差分别为绝对误差分别为1=0.8mm，
10、2=0.8mm。相对误差分别为：相对误差分别为：E1=0.8%，E2=1.0%。测量值测量值真真 值值1.1.3 误差的分类误差的分类粗大误差粗大误差系统误差系统误差随机误差随机误差按产生的原因和性质分类：按产生的原因和性质分类：误差的分类误差的分类（2）随机误差）随机误差在相同条件下，对同一测在相同条件下，对同一测量量的多次测量过程中，量量的多次测量过程中，每每次测量次测量的误差可能是的误差可能是正或负正或负，也可能是比较也可能是比较大或小大或小，这是，这是难以预测的，而且难以预测的，而且毫无规律毫无规律而言。而言。但是，如果但是，如果测量次数很多测量次数很多时，误差的出现又符合一定时，误差
11、的出现又符合一定的统计规律。的统计规律。（1）系统误差）系统误差在相同条件下，对同一测在相同条件下，对同一测量量的多次测量过程中，保量量的多次测量过程中，保持持恒定恒定（大小、正负不变）（大小、正负不变）或按或按特定规律变化特定规律变化的误差。的误差。来源来源:1 1）仪器误差；）仪器误差；2 2）理论）理论误差；误差；3 3）观测误差；）观测误差；4 4）环）环境条件。境条件。随机误差无法从实验中完随机误差无法从实验中完全消除，但多次测量可以减全消除，但多次测量可以减小。小。随机性，补偿性随机性，补偿性按误差掌握程度：按误差掌握程度：已定系已定系统误差统误差和和未定系统误差未定系统误差。按误
12、差变化规律：按误差变化规律：不变系不变系统误差统误差和和变化系统误差变化系统误差。系统误差尽量消除或减小系统误差尽量消除或减小误差的分类误差的分类（3）粗大误差）粗大误差在测量中某种非正常原因在测量中某种非正常原因所引起的所引起的错误错误，也称，也称疏失误疏失误差差。如读数错误，记录错误，如读数错误，记录错误，操作错误，估算错误等等。操作错误，估算错误等等。说说 明明系统误差与随机误差关系系统误差与随机误差关系系统误差由测量过程中某系统误差由测量过程中某一突出因素变化引起。一突出因素变化引起。随机误差由测量过程中多随机误差由测量过程中多种因素微小变化综合引起。种因素微小变化综合引起。存在粗大误
13、差时，测量值存在粗大误差时，测量值明显偏离明显偏离被测量的被测量的真值真值。数据处理时，先检验测量数据处理时，先检验测量数据是否存在粗大误差，数据是否存在粗大误差，剔剔除含有粗大误差的数据除含有粗大误差的数据。（判断和剔出方法参阅教材（判断和剔出方法参阅教材P19)随机误差与系统误差不存随机误差与系统误差不存在绝对的界限。在绝对的界限。在一定条件下，随机误差在一定条件下，随机误差和系统误差可以和系统误差可以相互转化相互转化。1.1.4 1.1.4 测量的精密度、准确度和精确度测量的精密度、准确度和精确度（1）精密度。表示重复测量所得数据的相互接近重复测量所得数据的相互接近程度程度（离散程度）。
14、（2）准确度。表示测量数据的平均值与真值的接测量数据的平均值与真值的接近程度近程度。（3）精确度。是对测量数据的精密度和准确度测量数据的精密度和准确度的综合评定。以打靶为例来比较说明精密度、准确度、精确度三者之间的关系。图中靶心为射击目标，相当于真值真值，每次测量测量相当于一次射击。（a）准确度高、（b）精密度高、（c）精密度、准确 精密度低 准确度低 度均高 1.2 误差的处理误差的处理1.2.1 处理系统误差的一般知识处理系统误差的一般知识发现系统误差，尽可能消除或减小。（参阅发现系统误差，尽可能消除或减小。（参阅物理实验中心新编大学物理实验教材教物理实验中心新编大学物理实验教材教1.2.
15、1)1.2.2 随机误差的统计处理随机误差的统计处理1.2.3 粗大误差的剔除粗大误差的剔除判别粗大误差，从测量数据中剔除。判别粗大误差，从测量数据中剔除。（参阅（参阅物理实验中心新编大学物理实验教材教物理实验中心新编大学物理实验教材教1.2.3)1 1、随机误差的正态分布规律、随机误差的正态分布规律在一定的测量条件下设某一物理量的真实值为在一定的测量条件下设某一物理量的真实值为x0，对其多次重复测量值对其多次重复测量值x1，x2，xn，则各次测量的则各次测量的随机误差可表示为随机误差可表示为1.2.2 随机误差的统计处理随机误差的统计处理f()概率密度函概率密度函数数误差误差随机误差可以应用
16、概率统计理论进行估算随机误差可以应用概率统计理论进行估算22221)(ef0(1,2,)iixxin概率密度分布函数为概率密度分布函数为随机误差的正态分布规律随机误差的正态分布规律式中式中为标准误差。令概率密度分布函数的为标准误差。令概率密度分布函数的二阶导数为零，便可解出标准偏差，正好是概率二阶导数为零，便可解出标准偏差，正好是概率密度分布曲线拐点的横坐标值。密度分布曲线拐点的横坐标值。201()niixxn随机误差的正态分布规律随机误差的正态分布规律遵从正态分布规律的随遵从正态分布规律的随机误差特征：机误差特征：单峰性：单峰性：绝对值小绝对值小/大大的的误差可能性大误差可能性大/小小对称性
17、：对称性：大小相等的误大小相等的误差正、负机会均等差正、负机会均等有界性：有界性：绝对值非常大绝对值非常大的可能性几乎为零的可能性几乎为零抵偿性：抵偿性：正负误差相互正负误差相互抵消抵消f()概率密度函概率密度函数数误差误差随机误差可以应用概率统计理论进行估算随机误差可以应用概率统计理论进行估算随机误差的正态分布规律随机误差的正态分布规律 概率密度分布函数概率密度分布函数f（）的意义是：）的意义是：在误差值在误差值附近，单位间隔内误差出附近，单位间隔内误差出现的概率，测量值的随机误差出现在区间现的概率，测量值的随机误差出现在区间（，+d）概率为）概率为f（）d，即图中阴，即图中阴影内所包含的面
18、积元。按照概率理论，误影内所包含的面积元。按照概率理论，误差出现在区间（差出现在区间（-，+）范围内是必然）范围内是必然的，即概率为的，即概率为100%。随机误差可以应用概率统计理论进行估算随机误差可以应用概率统计理论进行估算()1Pfd曲线下的总面积表示各种可能误差值出现的总概率为曲线下的总面积表示各种可能误差值出现的总概率为随机误差的正态分布规律随机误差的正态分布规律式中式中为标准误差。令概率密度分布函数的为标准误差。令概率密度分布函数的二阶导数为零，便可解出标准偏差，正好是概率二阶导数为零，便可解出标准偏差，正好是概率密度分布曲线拐点的横坐标值。密度分布曲线拐点的横坐标值。201()ni
19、ixxn2标准误差的物理意义标准误差的物理意义22211(,)()68.3%2Pfded 222222221()95.4%2Pfded%7.99)(333dfP标准误差的物理意义标准误差的物理意义测量值超过3范围的情况几乎不会出现，所以我们把3称为极限误差。在实际测量中置信概率有不同的取值，根据国家计量技术规范，在写出测量结果的表达式时，要注明它的置信概率。在P=0.95时，不必注明P值；当P取0.68或0.99时要求注明P值。在物理实验教学中，我们约定取置信概率P=0.95。多次测量，多次测量，x1、x2、xn，测量列的，测量列的算术平均值为：算术平均值为：当测量次数当测量次数n 趋于无穷时
20、，趋于无穷时，算术平均值趋于真值算术平均值趋于真值。0010110100,111xxxnxnxnxnxniiniiniinii niixnx11其中其中 xi 为第为第 i 次测得值。次测得值。误差的对称性和抵偿性误差的对称性和抵偿性1.2.2 随机误差的处理随机误差的处理 3 3、算术平均值和标准偏差算术平均值和标准偏差 算术平均值和标准偏差算术平均值和标准偏差当测量次数当测量次数n 为有限次时，为有限次时，测量列的算术平均值作为测量列的算术平均值作为真值的最佳估计值；其标真值的最佳估计值；其标准差常采用贝塞尔法来估准差常采用贝塞尔法来估计计。多组等精度重复测量时，多组等精度重复测量时，各测
21、量列算术平均值也具有各测量列算术平均值也具有离散性，用算术平均值的标离散性，用算术平均值的标准差来描述。准差来描述。算术平均值的标准差算术平均值的标准差一个测量列中各测量一个测量列中各测量值的标准偏差值的标准偏差多组等精度重复测量时，多组等精度重复测量时，算术平均值的标算术平均值的标 准差准差iivxx偏差：偏差：221111nniiixvxxSnn21()(1)nixixxxSSn nn4t分布分布当测量次数很少（当测量次数很少（n10n10）时，误差的分布就不）时，误差的分布就不服从正态分布，从而过服从正态分布，从而过渡到渡到t t分布分布（即（即学生分学生分布布）。）。t t分布曲线与正
22、态分布曲线类似，两者的主要区别分布曲线与正态分布曲线类似，两者的主要区别是分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄、下是分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄、下部较宽，如图所示，在有限次测量的情况下，就部较宽，如图所示，在有限次测量的情况下，就要将随机误差的估算值取大一些。要将随机误差的估算值取大一些。即在贝塞尔公即在贝塞尔公式的基础上再乘以一个式的基础上再乘以一个t tp p因子，因子，t tp p与测量次数有关与测量次数有关，也与置信概率有关。，也与置信概率有关。tp因子与测量次数、置信概率的对应关系 n2345678(P=0.68)1.841.321.201.141.111.091.081.
23、00(P=0.95)12.714.303.182.782.572.452.361.96(P=0.99)65.669.925.844.604.033.713.502.58xpSt仪器的极限误差（仪器误差仪器的极限误差（仪器误差）：）：仪器误差属于未定系统误差，影响因素多，规律复杂，一般仪器误差属于未定系统误差，影响因素多，规律复杂，一般只能给出最大允许误差的估计值。即只能给出最大允许误差的估计值。即仪器的极限误差仪器的极限误差仪仪。极限误差的获得：极限误差的获得：(1)(1)说明书、说明书、计量部门检定等；计量部门检定等；(2)(2)由仪器的准确度级别来计算；由仪器的准确度级别来计算；(3)(3
24、)未给出仪器误差时估计未给出仪器误差时估计:连续可读仪器连续可读仪器:最小分度最小分度1/21/2 非连续可读仪器非连续可读仪器:最小分度最小分度 数字式仪表：数字式仪表：取末位取末位1 1仪器名称仪器名称量量 程程分度值分度值仪器误差仪器误差钢直尺钢直尺0300mm1mm0.1mm钢卷尺钢卷尺01000mm1mm0.5mm游标卡尺游标卡尺0300mm0.02,0.05mm分度值分度值螺旋测微计螺旋测微计 0100mm0.01mm0.004mm物理天平物理天平1000g100mg50mg水银温度计水银温度计-303001,0.2,0.1分度值分度值读数显微镜读数显微镜0.01mm0.004mm
25、数字式电表数字式电表最末一位的最末一位的一个单位一个单位A.A.由仪器的准确度表示由仪器的准确度表示.仪器误差仪器误差 的确定：的确定：仪数字秒表数字秒表:最小分度最小分度=0.01s=0.01sC.C.未给出仪器误差时未给出仪器误差时非连续可读仪器非连续可读仪器 测量不确定度是测量不确定度是对测量结果对测量结果不确定不确定范围的标范围的标度度，也可以理解为，也可以理解为测量误差测量误差可能可能出现的范围出现的范围，表征测量结果的分散性、准确性和可靠程度，表征测量结果的分散性、准确性和可靠程度，也表示待测量的真值也表示待测量的真值可能可能在某个量值范围的评在某个量值范围的评定。定。不确定度是与
26、测量结果相联系的一种参数。不确定度是与测量结果相联系的一种参数。基本定义：基本定义：对测量结果可信赖程度对评定。对测量结果可信赖程度对评定。不确定度是评价测量质量的一个重要的指标。不确定度是评价测量质量的一个重要的指标。不确定度大，可信赖程度低；不确定度小，可不确定度大，可信赖程度低；不确定度小，可信赖程度高。信赖程度高。1.4 测量结果的不确定度估计测量结果的不确定度估计不确定度的表示形式不确定度的表示形式绝对不确定度：绝对不确定度：相对不确定度：相对不确定度：E测量结果的表示形式测量结果的表示形式被测量被测量 x，最佳估计值，最佳估计值不确定度不确定度 ，完整的测量结，完整的测量结果表示为
27、果表示为x100%xxEx（单位）不确定度的分类不确定度的分类按评定方法的不同，可分按评定方法的不同，可分成两类：成两类：A类不确定度和类不确定度和B类不确定类不确定度。度。A类不确定度：类不确定度：用统计方法评定的不确定用统计方法评定的不确定度，度，AB类不确定度：类不确定度：用非统计方法评定的不确用非统计方法评定的不确定度，定度，B测量结果：测量结果：005.0515.9 xmm(P=0.683)真值以真值以68.3%68.3%的概率落在的概率落在mm520.9mm,510.9区间内区间内测量值测量值x和不确定度和不确定度单位单位置信度置信度x（2）B类不确定度类不确定度只考虑仪器误差，标
28、准不确只考虑仪器误差，标准不确定度的定度的B类分量为类分量为最佳估计值最佳估计值多次测量，多次测量，x1、x2、xn，测量列的算术平均值可，测量列的算术平均值可表示为：表示为：1.4.1 不确定度的分类不确定度的分类多次测量（1）A类不确定度类不确定度直接测量的标准不确定度的A类分量用算术平均值的标准差公式估算。niixnx11用算术平均值作为直接测用算术平均值作为直接测量量的最佳估计值。量量的最佳估计值。1.4.2合成不确定度合成不确定度xpxpAniixStnSt)n(nxxS112仪B222B2At仪xpS直接测量的不确定度估计直接测量的不确定度估计1.4.2合成不确定度合成不确定度单次
29、测量单次测量有时因条件所限不可能进有时因条件所限不可能进行多次测量行多次测量(如地震波强度、如地震波强度、雷电时电晕电流强度等雷电时电晕电流强度等)；或；或者由于仪器精度太低，多次者由于仪器精度太低，多次测量读数相同，测量随机误测量读数相同，测量随机误差较小；或者对测量结果的差较小；或者对测量结果的精度要求不高等情况，往往精度要求不高等情况，往往只进行一次测量。只进行一次测量。单次测量时，单次测量时，A类不确定类不确定度，无法考虑度，无法考虑；最佳估计值最佳估计值即测量值本身即测量值本身。单次测量单次测量合成不确定度只考虑合成不确定度只考虑B类分量为类分量为测量结果的表示测量结果的表示用合成标
30、准不确定度表示用合成标准不确定度表示测量结果。测量结果。B 仪CxxxP95.5%E100%单位，直接测量的不确定度估计直接测量的不确定度估计一、间接测量的最佳一、间接测量的最佳值值,.),(zyxfN 二、二、间接测量的不确间接测量的不确定度传播公式定度传播公式间接测量量间接测量量N的不确定度的不确定度与各直接测量量的不确定度与各直接测量量的不确定度有关，它们之间的关系由有关，它们之间的关系由标标准差传播公式准差传播公式表示为表示为间接测量是利用已知函数关系间接测量是利用已知函数关系式的转换测量。式的转换测量。间接测量量：间接测量量：N直接测量量：直接测量量：x,y,z,函数关系形式为：函数
31、关系形式为：2 间接测量结果的合成不确定度间接测量结果的合成不确定度zyxzzyyxxzyxfN),(222222zyxNzfyfxf222222lnlnlnzyxzNyNxNNN1.4.3 1.4.3 有关不确定度的数据处理过程与实例有关不确定度的数据处理过程与实例1单次直接测量的数据处理 23nxxxx1，xx测仪%100 xE仪2多次直接测量的数据处理对多次直接测量的数据，进行处理的一般步骤是：（1）计算被测量的算术平均值（2）求出各测量值的残差11niixxniivxx221111nniiixvxxSnn（3）用贝塞尔公式求出测量列的标准偏差。（4）审查测量数据，如发现有异常数据，应予
32、以舍弃。舍弃异常数据后，再重复步（1）、（2）、（3）、（4），直至完全剔除异常数据。（5）求A类不确定度ApxtSn22AB xx%100 xE（6）求出总不确定度（7）表示出最后测量结果，直接测量问题直接测量问题用用025mm的一级千分尺测钢球的直径的一级千分尺测钢球的直径D，6次数据为：次数据为：D1=3.121mm，D2=3.128mm，D3=3.125mmD4=3.123mm，D5=3.126mm，D6=3.124mm写出完整的实验结果。写出完整的实验结果。解：解：求算术平均值求算术平均值举例举例mmDDDDDDD1245.361654321求不确定度求不确定度A类分量类分量mm00
33、26.0157.212nnxxStniixpA求不确定度求不确定度B类分量类分量mm004.0mm004.0仪仪；B计算合成不确定度计算合成不确定度mm003.0002.00026.02222BA完整的测量结果表示完整的测量结果表示%06.0%100124.3003.0mm003.0124.3ED注意：注意：测量结果的有效数字，不确定度的有效数字，相测量结果的有效数字，不确定度的有效数字，相对不确定度的有效数字，单位。对不确定度的有效数字，单位。试求体积试求体积V并表示多取一位实验结果。并表示多取一位实验结果。解：解：求求V：间接测量举例：间接测量举例：间接测量问题间接测量问题用千分尺测量圆柱
34、体的体积用千分尺测量圆柱体的体积V，已求得直径为：，已求得直径为：cmhcmd001.0316.5002.0421.3；32286.484316.5421.31416.34cmhdV注：常数的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，注：常数的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，至少位数相同，目的是让常数取值的误差忽略不计。体积的至少位数相同，目的是让常数取值的误差忽略不计。体积的有效数字应符合有效数字运算法则，或多取一位。有效数字应符合有效数字运算法则，或多取一位。求求V的不确定度：的不确定度：cmcmcmhcmdhd001.0002.0001.0316.5002.0421.3；根据不确定度传
35、播公式：根据不确定度传播公式：32222222222222206.0001.0)4421.31416.3(002.0)4316.5421.31416.32(442cmddhhVdVhdhdV实验结果表示：实验结果表示：%12.0%10086.4806.0)06.086.48(EcmV不确定度的有效数字首位是不确定度的有效数字首位是1或或2可以取二位，可以取二位，但不能超过二位。但不能超过二位。1、有效数字的概念、有效数字的概念由于误差存在的普遍性，实由于误差存在的普遍性，实验中某物理量的测量值及运算结验中某物理量的测量值及运算结果都是近似的。果都是近似的。合理的近似，既能充分反映合理的近似，既
36、能充分反映测量精度，又简单明了。测量精度，又简单明了。这种近似的数据是有效的，这种近似的数据是有效的，被称为被称为有效数字。有效数字。有效数字与测量条件有效数字与测量条件(如仪如仪器、环境、人员器、环境、人员)密切相关，密切相关，有有效数字的位数由测量条件和待测效数字的位数由测量条件和待测量的大小共同决定量的大小共同决定。例如，用最小分度值例如，用最小分度值为为1mm的尺，测量一物的尺，测量一物体长度得到体长度得到1.65cm。“5”是在是在6和和7两个整毫米刻两个整毫米刻度内估读的，是不可靠度内估读的，是不可靠的，的，可疑数字可疑数字；1.6是由是由尺子刻度直接读出的，尺子刻度直接读出的，是
37、是可靠数字可靠数字。1.65cm（1）有效数字的位数）有效数字的位数有效数字有效数字“可靠数字可靠数字”“一位可疑数字一位可疑数字”总共有几位称为几位有效数字。总共有几位称为几位有效数字。有效数字由表征测量结果的有效数字由表征测量结果的可靠数可靠数字字与与可疑数字可疑数字组成的。组成的。可疑数字在有效数字中一般只有一位。可疑数字在有效数字中一般只有一位。1、有效数字的概念、有效数字的概念15.86，四位有效数字，四位有效数字5.32，三位有效数字，三位有效数字5.320，四位有效数字，四位有效数字0.0532，三位有效数字，三位有效数字1.65cm当实验结果的有效数字位数较多时，当实验结果的有
38、效数字位数较多时，进行取舍一般采用进行取舍一般采用1/21/2修约规则修约规则。（1）需舍去部分的总数值大于需舍去部分的总数值大于0.5时，所留末位需加时，所留末位需加1，即进。，即进。（2）需舍去部分的总数值小于需舍去部分的总数值小于0.5时，末位不变，即舍。时，末位不变，即舍。（3）需舍去部分的总数值等于需舍去部分的总数值等于0.5时，所留部分末位应凑成偶数。时，所留部分末位应凑成偶数。即末位为偶数即末位为偶数(0、2、4、6、8)，数字舍去；末位为奇数数字舍去；末位为奇数(1、3、5、7、9)，数字入进变为偶数。，数字入进变为偶数。2、有效数字的修约规则、有效数字的修约规则修约成修约成4
39、位有效数字位有效数字3.14159 3.1426.378501 6.3792.71729 2.7174.51050 4.5105.6235 5.6243.21650 3.216四舍、六入、五凑偶3、直接测量的有效数字、直接测量的有效数字2.00cm（1）有指针或刻度的仪器：最小刻度以下再估读一位。有指针或刻度的仪器：最小刻度以下再估读一位。（2）数字显示仪表：显示值均为有效数字，不再估读。数字显示仪表：显示值均为有效数字，不再估读。4、不确定度的有效数字、不确定度的有效数字不确定度一般只取一位有效数字，特殊情况可以取二不确定度一般只取一位有效数字，特殊情况可以取二位，但最多不超过二位。位，但最
40、多不超过二位。5、中间结果和常数的、中间结果和常数的有效数字有效数字一般比直接测量结果的一般比直接测量结果的有效数字多取有效数字多取12位。位。圆的面积：圆的面积：S=r2直接测量直接测量r结果：结果：4.5678m,4.5672m,4.5679m,4.5676m五位有效数字五位有效数字中间结果平均值中间结果平均值：4.567625m七位有效数字七位有效数字常数常数：3.141593七位有效数字七位有效数字6、单位换算的有效数字问题、单位换算的有效数字问题单位换算时有效数字的位数不变。单位换算时有效数字的位数不变。1.3m1.3103mm 1300mm1300mm1.300m 1.3m用科学记
41、数法表示。用科学记数法表示。7、实验结果的有效数字、实验结果的有效数字实验结果的有效数字由不确定度确实验结果的有效数字由不确定度确定。有效数字的末位与不确定度的定。有效数字的末位与不确定度的末位对齐。末位对齐。3.6456,0.07;(3.650.07);E2%LcmcmLcm加、减法加、减法2130033272097 2 13 0 03327 2 09 6 7 3 约简约简2 13 0 0333 2 09 6 7 可见，约简不影响计算结果。在加减法可见，约简不影响计算结果。在加减法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量
42、中一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对齐。位数最高者对齐。乘、除法乘、除法 在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，特殊情况比最少者多（少）一位。特殊情况比最少者多（少）一位。5 23 2116 7 多一位的情况多一位的情况1 011 210 83 1 21 1 010 083 968 4 2 0 363 56全部欠准时，商所在位即为全部欠准时，商所在位即为为欠准数位。为欠准数位。比位数最少者比位数最少者少一位的情况。少一位的情况。5 2 32 1 61
43、 6 0 51 6 6 9 2 4 2有效数字位数与底数的相同有效数字位数与底数的相同24.62889.72 171.1045.103 乘方、立方、开方乘方、立方、开方初等函数运算初等函数运算四位有效数字，经正弦运算后得几位？四位有效数字，经正弦运算后得几位？52 130 问题是在问题是在 位上有波动，比如为位上有波动，比如为 ，对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准数所在位。数所在位。根据微分在近似计算中的应用，可知：根据微分在近似计算中的应用，可知：1 1ydydxxxx coscos52 131601800 00020知知sin52 130 7903
44、0 第四位为欠准数位。第四位为欠准数位。一般情况下一般情况下的有效数字取一位的有效数字取一位，精密测量情况下，可取二位。，精密测量情况下，可取二位。测量结果最佳值的有效数字的末位与测量结果最佳值的有效数字的末位与首位取齐。首位取齐。一、列表法一、列表法 表表1.不同温度下的金属电阻值不同温度下的金属电阻值1.6 注意注意:1:1根据数据的分布范围，合理选择根据数据的分布范围，合理选择单位长度及坐标轴始末端的数值单位长度及坐标轴始末端的数值，并以有效数字的形式标出。，并以有效数字的形式标出。22将实验点的位置用符号将实验点的位置用符号X X或或 等标在图上，用铅笔连成光滑等标在图上，用铅笔连成光
45、滑曲线或一条直线，并标出曲线曲线或一条直线，并标出曲线的名称。的名称。33线性关系数据求直线的斜率时线性关系数据求直线的斜率时,应在应在直线上选相距较远的两新点直线上选相距较远的两新点A.BA.B标明标明位置及坐标位置及坐标A(XA(X1 1 Y Y1 1),B(X),B(X2 2 Y Y2 2)由此由此求得斜率。求得斜率。kyyxx 2121简单明了。简单明了。有一定任意性（人为因素），故有一定任意性（人为因素），故不能求不确定度。不能求不确定度。非线性关系数据可进行曲线改直后再处理非线性关系数据可进行曲线改直后再处理)(RC)(t0.200.300.400.500.600.700.800.
46、90500.10700.10900.10100.11300.11500.11700.11900.11100.12300.12500.12700.12)(R0.200.300.400.500.600.700.800.90500.10700.10900.10100.11300.11500.11700.11900.11100.12300.12500.12700.12C)(t)600.12,5.83()500.10,0.13(BA)(RC)(t0.200.300.400.500.600.700.800.90500.10700.10900.10100.11300.11500.11700.11900.11
47、100.12300.12500.12700.12/cm100.0:C/cm0.5:Rt)1(0tRR 当当X X等间隔变化，且等间隔变化，且X X的误差可以不计的误差可以不计的条件下，的条件下，将其分成两组将其分成两组，进行逐差可求得：，进行逐差可求得：对于对于 X X：X X1 1 X Xn n X X2 2n n Y Y：Y Y1 1 Y Yn n Y Y2 2n n YYYnnn 2 YYYn111 iyny1 三、逐差法三、逐差法 )(71)()()(7118782312xxxxxxxxx 砝码质量(Kg)1.0002.0003.0004.0005.0006.0007.0008.000
48、弹簧伸长位置(cm)x1x2x3x4x5x6x7x8)()()()(44148372615xxxxxxxxx 是从统计的角度处理数据，并能得到测是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。量结果不确定度的一种方法。满足线性关系满足线性关系1nyyy XXXn1 若若最简单的情况最简单的情况:的测量误差不考虑为等精度测量iiixyx,四、最小二乘法四、最小二乘法由于每次测量均有误差，使由于每次测量均有误差，使111()0()0nnnyab xvyab xv在所有误差平方和在所有误差平方和 为最小的条件下，得到的方程为最小的条件下，得到的方程 y y=a+bx=a+bx 的方法叫最
49、小二乘法。的方法叫最小二乘法。2m iniv假定最佳方程为：假定最佳方程为：y=a0+b0 x，其中其中a0和和b0是最佳系数。残差方程组为：是最佳系数。残差方程组为：0022222000000222iiiiiiiiiiiivyyyab xLnababa byyxyxx根据上式计算出最佳系数根据上式计算出最佳系数a0和和b0，得，得到最佳方程为：到最佳方程为：y=a0+b0 x00002000002200iiiiiiiiiiiiiiLLabnabxyaxbxx yyxxynx yabbnnxnx 根据最小二乘原理，；最小二乘法应用举例最小二乘法应用举例为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度
50、下的电为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：R=a+b t。表一表一 电阻随温度变化的关系电阻随温度变化的关系t/19.025.030.136.040.045.150.0R/76.30 77.80 79.7580.8082.35 83.90 85.10解：解：1.列表算出：列表算出：iiiiitRtRt,22.写出写出a、b的最佳值满足方程的最佳值满足方程2tRttRta babnnnnn；nt/R/t2/2R t/119.176.303651457225.077.806251945330.179.5090624
