1、专 题 3 导 数 中 的 差 值 比 值 问 题 完成了外函数分而治之，那么同个函数内部的那些构造也被拿上了台面，关于 f(x1)f(x2) 极值之差问题，还有 f(x1)+f(x2)极值之和问题，这里我们会简单介绍一下极值偏移和拐点偏移 的原理。关于 x1/x 2 的比值代换，甚至需要切线夹放缩的 x1x2。这些题起源于高考，反复演变， 正在逐渐取代之前传统的利用导数求函数单调性和极值的问题，知识反复更新和迭代的过程中， 我们确实需要更新数学模型和方法. 第一讲 极值之差 y f (x) 的两个极值 点 x 1， x ，则 f ( 1) f (x ) 称为极值之差.通常解决这类问题需要用到
2、函数的 内 x 2 2 构造，一般求导后会构成二次函数，必有 x x m 1 ，其中，m 与 n 中必有一个是常数，这样将参数和 2 x x n 1 2 x 2 通过韦达定理替换成 x ，最后构成一个在已知范围的新函数 y h(x ) ，然后求导即可求出最值.或者利用 比 1 1 x 值换元， t ，这里通常 n 为常数. 2 x 1 秒杀秘籍：构造成飘带函数与对数放缩式 b 1 1 y ax (a 0，b 0) 图像由于长得像两条飘带，故称飘带函数，尤其是 y (x ) ，与对数函数形成紧 x 2 x 密型放缩关系，我们通常将飘带函数另外一个反比例函数 2(x 1) y 对 y ln x 进
3、行曲线逼近放缩，即有 结 x 1 1 1 2(x 1) 2(x 1) 1 1 论： (x ) ln x ，x(0 ，1) ； ln x (x )，x1， ) 2 x x 1 x 1 2 x 2 1 1 1 1 1 (x 1) 证明：构造函数 f (x) ) ，则 2 0 ln x (x f (x) ，而 f (1) 0 ，故当 0 x (x ) ；当 x 1 时 ln x (x ) 2 x 2 x 构 造 函 数 2 2(x 1) 1 4 (x 1) g(x) ln x ， 则 g (x) 2 0 ， 而 f (1) 0 ， 故 当 0 x1 时 ， x 1 x (x 1) x(x 1) 2
4、ln x 2(x1) x+1 ；当 x 1 时， ln x 2(x1) x+1 在一些 f (x) ln x ax2 bx 或者 b 1 2 2 f (x) ln x ax 中，经常出现 f 1 (x ) m(2ln nx nx ) 这 (x ) f 2 1 1 x nx 2 1 样的式子，单调性基本固定，只看端点值来求最值，此为经典考题，飘带函数放缩无处不在. 例 1.（2020攀枝花一模）已知函数 1 f (x) x alnx (a R) x 1 （）求曲线 y f (x) 在点 (e, ) 处的切线方程； e （）若函数 g(x) x2 f (x) 2lnx ax（其中 f (x) 是
5、f (x) 的导函数）有两 个极值点 x 、x ，且 1 2 x x e ， 1 2 求 g(x ) g(x ) 的取值范 围 1 2 解：（）因为 1 1 f (e) e a a e ， e e 1 a f (x) 1 ，即 x x 2 1 e f (x) 1 ，故所求切线的斜 率为 x x 2 1 e 1 1 1 x 2 f (e) 1 ，所以切线方程为 y (x e) y x e2 y 2e 0 e e e e e e e 2 2 2 2 （） g(x) x2 f (x) 2lnx ax x2 2ax 2lnx 1， 2 2(x ax 1) 2 g(x) 2x 2a ，若 g(x) 有
6、两个极 x x 值点 x 、 1 x ，且 2 x x e ，则方程 x2 ax 1 0 的判别式 a2 4 0 ， 1 2 1 x x a 0， x x 1 x e ，得 a 2 ， 1 2 1 2 2 x 1 1 a x ， 且 1 x 1 1 e x 1 1 所以 g(x ) g(x ) x2 2ax 2lnx x2 2ax 2lnx (x x )(x x ) 2a(x x ) 4lnx 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ， (x x )(x x ) 4lnx x 4lnx ( x 1) 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x e 1 1 1 2 4
7、 2(t 1) 1 2 2 设 h(t) t2 4lnt( t 1)，则 h(t) 2t 0 在 t ( ,1) 上恒成立 t e t t t e 2 3 3 1 1 故 h(t) 在 t (0,1) 单调递减，从而 h(t) h(1) 0 ， h(t) h( ) e2 4 e e 2 所以 1 g(x ) g(x ) 的取值范围是 (0,e2 4) 1 2 2 e 总结：将 x 和 a 转化为 x 1 成为解题关键，本题中，构造了一个单调的函数，其实这个函数来自飘带函数与 2 1 1 1 1 对数的放缩式 (x ) ln x 对 x(0， 1 恒成立，同时 (x ) ln x 对 x1， ）
8、恒成立，从而得到当 2 x 2 x 1 1 2 1 x(0， 1 时， (x2 ) ln x x 4ln x 0 恒成立. 2 2 x x 2 2 例 2.（2019广东期末）已知函数 f (x) 2lnx x2 ax(aR) 有两个极 值点 x ， 1 x ，其中 2 x x 1 2 （）求实数 a 的取值范围； 2 （）当 时，求 a 2 e e f (x ) f (x ) 的最小 值 1 2 1 例 3.（2020绵阳模拟）己知函数 f (x) 2lnx x2 ax ，其中 a R 2 （1）讨论函数 f (x) 的单调性； （2）设函数 f (x) 有两个极值点 x ，x （其中 1
9、2 x x ， 若 2 1) 3 f (x ) f (x ) 的最大值为 2ln2 ，求实数 a 的 取 2 1 2 值范围 1 例 4.（2018四川模拟）已知函数 f (x) x2 ax lnx(a R) 2 （1）当 a 1 时，求曲线 f (x) 在 x 1处的切线方程； （2）若函数 f (x) 有两个极值点 x ， 1 1 2 x2 (x1 x2 ) ，求 a 的取值范围，并证明 f (x ) f (x ) a2 2ln 1 2 2 ae 总结：虽然还是飘带函数和对数，但加入了新的参数元素，不到最后转化为只有 x 的函数式，就不能罢休， 1 以下例题虽然构造的不是飘带函数，但也换汤
10、不换药. 例 5.（2019长沙期末）已知 f (x) x2 2ax lnx （）当 a 1时，求 f (x) 的单调区间； （）若 f (x) 为 f (x) 的导函数， f (x) 有两个不相等的极值 点 x ， 2 f (x ) f (x ) 的最小 值 x2 (x1 x2 ) ，求 1 1 2 例 7.（2019新课标）已知函数 f (x) 2x3 ax2 2 （1）讨论 f (x) 的单调性； （2）当 0 a 3 时，记 f (x) 在区间0 ，1的最大值为 M ，最小值为 m ，求 M m 的取值范围 1 例 8.（2019和平区校级月考）已知函数 f (x) x2 aln(1
11、x) ， a 为常数 2 （1）讨论函数 f (x) 的单调性； （2）若函数 f (x) 有两个极值点 x ， 1 x ，且 2 x x ，求 证： 1 2 3 ln4 f (x ) x 2 1 8 总结：不是极值之差类型，当两根之积不为常数，而两根之和为常数的情况，比值代换不好使了，解决问 题的关键还是一切转化为 x 的单变量函数，那么当 x 1 x 2 与 x1x 2 都含有参数怎么办呢？我们看下一 题. 1 例 9.（2020遂宁模拟）已知函数 f (x) alnx ax 1 （1）讨论函数 f (x) 的单调性； 1 （2）若函数 g(x) f (x) x2 1 有两个极 值点 2
12、x ，x x x 且不等 式 2 ( 1 2 ) 1 g(x ) g(x ) (x x ) 恒成 立， 1 2 1 2 求实数 的取值范围 总结：如果题目中 x 1 x 与 2 x1x 都含有相同参数，那么就以这个参数作为单变量的主元来进行函数构造， 2 通常这类型题技巧不多，更多在运算和基本功打造上，极值既然有差，也会有和，下面我们来介绍一下极 值之和问题的处理方法. 第二讲 极值之和 极值之和问题最早出现在 2014 年湖南高考自主命题卷中，解决问题的关键就是将 f ( 1) f (x ) 转化为统一 x 2 参数 a 后，构造新函数 h(a) 求出极值之和取值范围. 例 10.（2014
13、湖南）已知常数 a 0 ，函 数 f (x) ln(1 ax) 2x x 2 （）讨论 f (x) 在区间 (0,) 上的单调性； （）若 f (x) 存在两个极值点 x ， 1 x ，且 2 f (x ) f (x ) 0，求 a 的取值范 围 1 2 2x a 4 ax 4(1 a) 2 解：（） f (x) ln(1 ax) f (x) x 2 1 ax (x 2) (1 ax)(x 2) 2 2 ， ，当1 a 0 时，即 a 1时， f (x) 0 恒成立，则函数 f (x) 在 (0,) 单调递增， (1 ax)(x 2) 0 2 当 0 a 1时 ，由 f (x) 0 得 x 2
14、 a(1 a) 2 a(1 a) ，则函数 f (x) 在 (0 ， ) a a 2 a(1 a) 单调递减，在 ( a ， ) 单调递增 （）由（）知，当 a 1时， f (x) 0 ，此时 f (x) 不存在极值点因此要使 f (x) 存在两个极 值点 x ， 1 x ， 2 则必有 0 a 1，又 f (x) 的极值点值 是 x 1 2 a(1 a) ， a x 2 2 a(1 a) ， 且 a x 1 且 x 2 ， a 2x 2x 4x x 4(x x ) f x f x ln ax ln ax ln a x x a x x ( ) ( ) (1 ) 1 (1 ) 2 1 ( ) 1
15、 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x 2 x 2 x x 2(x x ) 4 1 2 1 2 1 2 2 4(a 1) 2 2 1 ln(2a 1) ln(2a 1) 2 令 2a 1 t ， 由 0 a 1 且 a 得，当 0 2a 1 2a 1 2 1 a 时，1 t 0 ； 2 当 1 2 2 a 1 时， 0 t 1令 h(t) lnt2 2 t (i) 当 1 t 0 时， 2 2 2 2x 2 h(t) 2ln(t) 2 ，h(t) 0 ，故 h(t) 在 (1， 0) 上单调递减， t t t t 2 2 h(t) h(1) 4 0 ，当 0 1 a 时， 2 f
16、 (x ) f (x ) 0 ； 1 2 2 2 2 2t 2 (ii) 当 0 t 1h(t) 2lnt 2 ，h(t) 0 ，故 h(t) 在 (0， 1) 上单调递减，h(t) h(1) 0 ， t t t t 2 2 当 1 2 a 1 时， 1 2 f (x ) f (x ) 0；综上所述， a 的取值范围是 ( 1 2 ，1) 1 例 11.（2020郑州一模）已知函数 f (x) ax2 x ln x （）若 f (x) 在点 (1 ， f (1) ) 处的切线与直线 y 2x 1 平行，求 f (x) 在点 (1， f (1) ) 的切线方程； （）若函数 f (x) 在定义域
17、内有两个极值点 x ， 1 x ，求证： 2 f (x ) f (x ) 2ln 2 3 1 2 a 例 12.（2019湖南期末）已知函数 f (x) lnx 1 2a x 有两个不同的 极值点 x x ， 1 x 2 （1）求 a 的取值范围 （2）求 f (x) 的极大值与极小值之和的取值范围 1 1 （3）若 m(0， )，n( ， ) ，则 f (m) f (n) 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由 2 2 秒杀秘籍：极值之和，极值点和拐点共点取最值 x x 根据琴生（Jensen）不等式，当 f (x) 0 时， (x ) f ( 1 2 ) ，我们称之为上凸函数，通
18、常对数 f f (x ) 1 2 2 x x 函数，二四象限的反比例函数均为上凸函数；当 f (x) 0 时， f (x ) f (x ) f ( 1 2 ) ，我们称之为下 1 2 2 凹函数，通常指数函数，开口向上二次函数均为下凹函数. x x 极值偏移：若 f (x) 有极值 f (x) max f (x 0 ) ，若存在 f (x1) f (x 2 ) ，当 1 2 0 x 2 时，称为极大值左偏，当 x 1 2 x 2 x 0 x x 时，称为极大值右偏；同理，若 f (x) 有极值 f (x) min f (x 0 ) ，若存在 f (x1) f (x 2 ) ， 当 1 2 x0
19、 2 时，称为极小值左偏，当 x 1 2 x 2 x 0 时，称为极小值右偏. 由于篇幅关系，本篇不做极值偏移的详细介绍，我们近期将推出一本导数的专题新书，会系统介绍极值偏 移和拐点偏移的解题方法。 图 1 图 2 x x 极值点左偏： x 1 x 2 2x 0 ， 1 2 x 处切线与 x 轴不平行；（图 1） 2 x x 若 f (x) 上凸（ f (x) 递减 ） ， 则 1 2 f f (x ) 0 0 x x ， 若 f (x) 下 凸 （ f (x) 递增 ） ， 则 1 2 f f x ( ) 0 0 . 2 2 x x 极值点右偏： x 1 x 2 2x 0 ， 1 2 x 处
20、切线与 x 轴不平行；（图 2） 2 x x 若 f (x) 上凸（ f (x) 递减 ） ， 则 1 2 f f (x ) 0 0 2 x x ， 若 f (x) 下 凸 （ f (x) 递增 ） ， 则 1 2 f f (x ) 0 0 2 . 极值偏移的本质：函数 f (x) 0 时，则极大值左偏，极小值右偏；函数 f (x) 0 时，则极大值右偏， 极小 值左偏（正负号由极小值偏移方式决定，极大值则相反方向偏移）； 我们可以这么来理解， f (x) 代表函数斜率的变化，如果斜率越来越大，则会形成下凹函数，若斜率 越来越小，则形成上凸函数，这就是琴生不等式，在解决一些复杂的不等式证明当中
21、，琴生不等式就是一 种秒杀。那么三阶导，则代表着斜率变化的快慢，类似物理学科理解加速度，如果三阶导大于零，则当斜 率变化为正时，变化越来越快；当斜率变化为负时，变化越来越快（物理学当中，位移方向和速度方向为 正时，加速度大于零时加速；位移方向和速度方向相反时，加速度大于零则减速）。极小值左偏，则导函数 从负到正的变化过程中，变化越来越慢，故出现斜率为零的位置 x x 一定在区间中 点 0 x x 1 x 的左 边， 2 2 从而形成极小值左偏；同理，极大值右偏，就是导函数从正到负的变化过程中，变化越来越快，故出现斜 率为零的位置 x x 一定在区间中 点 0 x x 1 x 的右边；反之亦 然
22、。 2 2 类似观点我们可以得到拐点偏移的理论，拐点即为函数凹凸的分界点，我们以先凸后凹作为参照，当 f (x) 0 时，拐点左偏，同理， f (x) 0 时，拐点右偏； 极值之和最值定理：当 x 1 2 x 2 x 0 时，若 f (x1) f (x 2 ) 0 ， 且 f (x 0 ) 0 时，一定有 f (x1) f (x 2 ) 2 f (x 0 ) ， 相反，若 f (x1) f (x 2 ) 0 ，且 f (x 0 ) 0 时，一定有 f (x1) f (x 2 ) 2 f (x 0 ) ； 1 1 例 10 中，极值之和要大于零，显然 a 越大越好；例 11 中，显然 f (x)
23、 0 ， 故 f ( 1 2 ) f f ) ； x ) f (x 2 ( ) ( 4a 2 1 例 12 也是 f (x 1 f x 2 ) 2 f ( ) ，研究一道题若能建出模型，知道背后的逻辑，才是真正懂了，否则我们 ) ( 2 只是计算工具。 例 13.（2018浙江）已知函数 f (x) x lnx （）若 f (x) 在 x x ， 1 x x x 处导数相等，证 明： 2 ( 1 2 ) f (x ) f (x ) 8 8ln2 ； 1 2 （）若 a 3 4ln2 ，证明：对于任意 k 0 ，直线 y kx a 与曲线 y f (x) 有唯一公共点 第三讲 比值函数 最早出现
24、在 2014 天津卷，涉及参变分离和基础找点比大小，有关 x 1 x 2 ，要转化为 x 1 tx 1 来进行构 造成 h(t) 的函数，之前在证明对数平均不等式用到比值换元函数，比值换元一般用在对数函数里面，指数函 数都需要转化为对数来进行构造，类似于指数平均不等式可以用对数来证明一样。我们先看几个例题. 例 14.（2014天津）设 f (x) x aex (aR)， x R ，已知函数 y f (x) 有两 个零点 x ， 1 x ，且 2 x x 1 2 （）求 a 的取值范围； x （）证明： 2 x 1 随着 a 的减小而增大； （）证明 x x 随着 a 的减小而增 大 1 2
25、总结：本题作为比值换元的模型题，充分挖掘了六大函数当中 x y 的性质，并且在 x 1 x 2 构造当中遇 到 x e 1 x 2 ln x x 了老朋友 h(x) ，分子又是飘带函数遇上了对数函数，老朋友相见，总会告诉你，它们的故事 2 (x 1) 还在继续. 例 15.（2019邢台期末）已知函数 f (x) x2 2aex b(a,bR) ，若 f (x) 有两个 极值点 x ， 1 x x x ， 且 2 ( 1 2 ) x2 2x1 ，则 a 的取值范围是 ( ) A 1 (0, ) e ln2 ln2 B (, ) C ( 2 2 ， 1 ) e ln2 D (0, ) 2 m 例
26、 16.（2018武昌区校级模拟）已知函数 f (x) lnx 1(m R) ，其中无理数 e 2.718 e x （1）若函数 f (x) 有两个极值点，求 m 的取值范围 1 1 （2）若函数 ( ) ( 2) 3 2 g x x ex mx mx 的极值点有三个，最小的 记为 3 2 x ，最大的记为 1 x x ，若 1 2 x 2 的最大 值为 1 e ，求 x x 的最小 值 1 2 第四讲 切线夹放缩解决 x2-x1 问题 最早出现切线夹放缩在 2015 年天津高考卷，我们先来看一下这一文一理两题，然后逐步寻找这类题背 后的逻辑. 例 17.（2015天津）已知函数 f (x)
27、4x x4 ， x R （）求 f (x) 的单调区间； （）设曲线 y f (x) 与 x 轴正半轴的交点为 P ，曲线在点 P 处的切线方程为 y g(x) ，求证：对于任意的 实数 x ，都有 f (x) g(x) ； （）若方程 f (x) a(a 为实数）有两个实数 根 x ， 1 x ，且 2 x x ，求 证： 1 2 a 1 x x 2 1 4 3 3 例 1 8（. 2015天津）已知函数 f (x) nx xn ，x R ，其 中 n N ， 且 n 2 （）讨论 f (x) 的单调性； （）设曲线 y f (x) 与 x 轴正半轴的交点为 P ，曲线在点 P 处的切线 方程为 y g(x) ，求证：对于任意的正实数 x ，都有 f (x) g(x) ； （）若关于 x 的方程 f (x) a(a 为实数）有两个正实数 根 x ， 1 x ，求 2 a 证：| x x | 2 2 1 1 n
