1、主讲人主讲人天津大学管理学院天津大学管理学院杜杜 纲纲1965 应用扎德的三个里程碑：模糊集1975 扩张原理1978 可能性理论优化评价模糊决策与分析预测控制：11()012()AAAAAxAxxAAxxAXXR（研究对象的全体、全集）普通集：边界清晰 模糊集：边界模糊 的隶属函数一、模、论域、特征隶属于的特征函数的程度函数。糊集及其隶属函数与隶当函数 属时，XAAAXA111 max()1()()()()()()()34()(5)AxAXnAAnnA BABA BABxxAxXXxxxxAxxABXxxxABXxxxA，当 为有限论域时，：仍为、正则模糊集：、模糊集的表示：、模糊集的运算：
2、中一个模糊集：仍为 中一个模糊集：|()011AAAxXx 模糊集 的 水平截集，二、模糊集的分解定理、与水扩原理集张，平截。1Ax20.521 1 0251 ()25200251()50.50 200|()0.5()0.5251()0.5305AAAxxxxAAxxxxXA扎德给出了例1：一个“年轻人”的隶属函数：求 的的水平截集。，而由，即，解得：，解：0.50 30，。30岁以下者隶属于“年轻”的程度不低于含义：0.5。A2500.51200()Ax21 0 050 ()501()5020050.5BxxxxB扎德给出了一个“年老人”的隶属练函数：求 的的习：水平截集。0 101 ()0
3、 1 2()0 ()AAAAXAAAAAAxAxxAxAxxAx，设 为 论域中的一个模糊集，是 的 截集，。则下面的分解式成立：其中称为数 与的乘积，仍为一个集合。其隶属函数为：而 故、分定理：解定理可表示为()AxA1AA1A0 10 1()()()()0 1()()()()()()AAAAAAAAxxAAxxxxxxxxAA ，要证两个集合相等，应证其隶属函数相等。分解证明：定理的意：模糊集可表示为义普通集的并集。A():()()3|()()()?f AfXYAXf AYf AyYxAf xyf Ay的概念：普通集，有，使那么的特、扩（1）回顾映射原征张数理函A()f AXYA()f A
4、()1212()()()()()()()()0()1()1()()Af AAAf Af AAf xyfxyff xf xyxxyyx合理的：当 为单射，可；当 为非单射，如图，但，显然应有：。因析定：义此应有分()f Ay()f x1x2xAxy()()1:()()sup()supf AAf xynfXYAXAfYf AyxXxx设映射，模糊集，则经 映射后为 中模糊集，。解（2释：对于有限论域，）扩张原理，观，直即为：。()f Ay()f xAxx12612 3()4 5610.20.10.91356()sup 10 0.2sup 0 0.10.9()10.10.9 2 XYabcdaxf
5、xbxcxAf Af Aabcabc例：解设，求，：，1212121121122()12()112:()()()()0()f AAAAf xxyAfXXYAXAXyxxxf xx，这里取最小是因为在直观上，若（3）多元扩张原理则，注：无意义。1A2A1X2XY1 1()()()AAAARaxbxabA三、为 中的模糊集，若对任，有，则称 为一个凸模糊集。如下图，左为凸模糊集，右模不、凸模为凸糊集糊数模糊集。baaxxb 0101()()()()()AAAAAAAAxzAxzxzyxzyxzyAAAA 是凸模糊集的任意 截集是一个区间，。对任，若，即，。不妨设，则对任，这说明，若两点在中，则以两
6、点为端点的整个区间也包含于，只能是一个区间。（注：这里关键要证性质：(是一个1)证：区间而非 ()()()()()AAAAAxyzxzxzAAyAyxzAABAB(多个）。对任，取，则，而是区间，即，即 为凸模糊集。，是凸模糊集也是凸模糊集。（2)自证）。1012RIII中的正则模糊集，若其任意 截集 是一个闭区间、模(1)模糊，则称 是一个模糊数。，表示：（模糊数与凸模糊集数何糊数几的区别）11是开区间1AA正则，即 的最大值为模糊数左（右）连续的最大值可以小于1凸模糊集可以开，故可以左（右）侧不连续 故模糊数必然为凸模糊集，但凸模糊集不一定为比较：模糊数。,(),(),min()max2(
7、aba aaaAm A w Amwabcdabcdacbdabcdadbcabcdacadbcbdacadb任意闭区间，是模糊数，称区间数。区间数也可记,其中 和 分别为下限和上限；还可记=其中 和 分别为中点和半宽。区间数的运算：设，为二区间数。则，（）区间数，)1 1 0cbdabcdabcdd c，运算律：交换律、结合律和次分配律成立。例4:证明证明30)4(16)7()(xxxxxf在区间在区间88，1010上没有根。上没有根。解：把x=8，10代入函数f，可得：f(8,10)=8,10(8,10-7,7)-6,6-=1.5,23.9,01.5,23.9.1.5,23.9.01 010
8、 201 01 1101 01min(0 0 01)max(0 0 01)01111112 1212 1min(112)max(112)22223 2，；，；，例：0 1 ()()()()()10.112 3120.11 12I JIJI JIJx y zIJIJxxzxyXNIJ ，两个模糊数 和 的运算仍是一个模糊数（，），其隶属函数定义为由多元扩展原理即可得。设，性质：（3）模糊数的运5，证，例算：0.83IJ，求 10.11 110.80.10.10.1 10.10.81 1121 32 122230.110.10.80.10.123450.110.80.12345123IJ模糊 加模
9、糊 等于解：义：模糊意。()()()(0)10)()()max 01(0)1 ()exp()(0)3ppL xL xLxLLLL xL xxppL xRxp若函数满足：；在，非增，则称为模糊数的参照函数（基准函例数）。，当（1）模糊数的参如：时，图形如下：、型模糊数函 照数()0 ()(0)2)(ILRLRLRImxLxmaaxxmRxmbbILRImabmIababImamaLR设 和 为模糊数的参照函数，若模糊数 的隶属函数为，则称 为型模糊数，记为，。称为 的最可能值（或均值），分别称为左、右基准值或扩展值。若对称，即，（）型模则可记为，（数或，）糊。mmamb1122121222121
10、2()()()()()0 0 01()1LRLRIImabJnabIJmna abbJnabIJmna abbLRLRIJxxxx 运算：设，则，+，+，两个型模糊数相乘，所得不再是型模糊数。已知模糊数 与 的隶属函数为：注：例6：0 22 23 1 ()1 32 124 340 20 4JxxxxxxxxxxxxIJ求。(1 31 11 1)(4 2 2)0 22 242 ()1 4 6 462 0 6IJIJxxxxxxxx，解：，10324561()()0 ()()()ILRIxlxlmmlxuxxmumuxluIluIlmu 若型模糊数 的隶属函数，则称 为三角模糊数，和 分别称为下、
11、上界。记为，。例6中的两个模糊数均（3）三角模糊数为三角模糊数。()0 ()()1,()0,IIIxlxlmmlxuxxmumuxlum lumIxmxmlmlxl 在三角模糊数 的隶属函数，中，-,即左右扩展半径相同，则称 为对称的三角模糊数，也可记为，其他1111212121 212121111111111()()()111()ln(lnlnln)()lmuIIJllmmuuIJl lm mu uIlmuIumlIlmueeee由扩张原理可得三角模糊数的运算如下：（其中有些是近似式）加法：，乘法：，数乘：，倒数：，对数：，指数：，12811110.80.60.40.212345678()X
12、AAxxAXAxxx1978年，扎德提出了“可能性理论”，被称为模糊数学发展的第三个里程碑。摘录当时扎德文章中的例子：汉斯的早餐设论域，早餐吃鸡蛋的适当个数，表示汉斯早餐吃的鸡蛋个数，则 是取值于 的变量四、可能性分布与模，记其的程度为，1、随机性与可能性与 相容（是糊例7的分布为，另一）概率方面，：()P x的取值也具有随机性，记其分布为：()()()12110.80.60.40.21234526AxXAXxAxxAxxXNAAxXx例8设 是在论域 中取值的变量，是 中的模糊集，关于 的相容程度称为 在模糊约束 下的可能性分布，在数值上。，小的正整数，设，为在、中取值的变量，则 是小的正整
13、数的可能可能性分布：性分布为：12()()()()0.710.90.50.11234()()0.70.9(1 0.7)0.70.5(1 0.7)0.73nAAiiXiXAXAXP Ax dpx P xAAP AP A有限普通随机事件 是样本空间 中的清晰集。模糊事件 是 中的模糊集，定义其概率：某人射击命中率，现独立向目标射击，记 为“只射了不几次就射中目标”，设，、模糊事件的概率例9：解：求。30.1(1 0.7)0.7 0.92XAA1陈贻源，模糊数学，华中工学院出版社，19842贺仲雄，模糊数学及其应用，天津科技出版社，19833汪培庄，模糊集合论及其应用，上海科技出版社，19834张振
14、良，应用模糊数学，重庆大学出版社，19915寺野寿郎等，刘维仲等译，模糊系统理论及其应用，天津大学出版社，19916彭祖赠等，模糊数学及其应用，武汉大学出版社，20027杜纲，管理数学基础（修订参考书：版），天 ReFuzzy Sets and SystemsEuropean Journal ofOperationalsearch可在天大图书馆的各种数据库如超星、维普、中国期刊等网上查其文献阅。他津大学出版社，20078期刊：，模糊系统与数学第二节第二节 模糊线性规划模糊线性规划1 111 1111 11 max max 00 nnnnmmnnmnzc xc xzCxa xa xbAxba x
15、axbxxxx普通线性规划一般式或 1()Tnxx实际中可能的：(1)约束不等式可有一宽容度（资源上限可宽容一个增量）；(2)系数是模糊数（系数是模糊数,如是三角形分布）；(3)区间规划（系数是区间）；(4)模糊机会约束规划（以一定的可能性满模糊性的表现足约束）。1 1111 1 ()1 iiinniiiiiinijjijnijjijBiia xa xbimbdbbda xba xbxd 考虑第 个约束：，。设右端项 有一个容许量，当所有资源量介于 和之间时，决策者的满意度一、约束不等式有宽容度的模糊线性规递减。满意度函数可当划表示为：11 0 niijjiijnijjiijba xbda x
16、bd当当112()iinijjBjBimxa xxBiBBBBAXb若记，则可图示：以为隶属函数的模糊集 即第 个模糊约束。整个模糊资源约束，可记为。iibdibx1000010100010001 0 ()1 njjjnjjnjcjjjnjjjzdzzdzc xzc xzxzc xzddc xzd设目标 在无宽容度和有最大宽容度 时的最优值分别为 和，决策者希望 尽量大。记当当当10()maxnjjcjcxc xxCCXzzCX若记，则可图示：以为隶属函数的模糊集 即相应于模糊约束的模糊目标，记，或形式的记为。0zx100zd*()()()()DBCDDDDBCxxxxxBCxxxD令，由于表
17、示了 隶属于的程度，求使最大的故在其中求使最大的，即。问题等价于图示如下求使 最大：由可见的图，问题。DBC*x0 110101*max1 max()()max|()00(1inBCijjijinjBCx Djjna xbdc xzdxxxxxmxXiz，于是构成一个新的线性规划：，求模糊最优解所得即原问题的，而相应的 即，解，模糊最优值。121212121212300123110 max250 6221012311 931()4 44(33)99TTzxxxxxxxxxxdddXzdddXzd求解模糊线性规划：，其中资源约束容许量，。首先求解不加容许量的确定线性规划，得最优解，再解加了最大容
18、许量，的线性规划，得，例10：解：31544。1212121212*max1(5)11()21 1(6221)3431(2)540023 21167()8828TxxxxxxxxxxXz解新的线性规划：，解得最优解，代入原目标得。121212121212301231 max7129436045200 3103000102030428489zxxxxxxxxxxdddzdddz求解模糊线性规划：，其中资源约束容许量，。如果求解不加容许量的确定线性规划，得最优值，再解加了最大容许量，的线性规划，得，请写出求解此模糊线性练习：规划的确定（）线性规划。1110 max11 010njjjnijjijn
19、mjjmjjjzc xa xbima xbxjnx利用模糊数的截集化为区间规划。缺点是增加了约束的个数，使模型规模变大，求解困难。现介绍等：一类模糊线性规划的模糊最优区间值，模糊系统与数学2002（2）。模二、系数是模糊数的模糊线性型：，宋业新，求解思路：规划01jnn，11100 max()()()()()()11 ()()()()01011)njjjjnijijjiijnmjmjjmmjjjzccxaaxbbimaaxbbxjnxjnn，得相应的区间规划如下：，水法：取方平00000000111101111 max()()()()()()11()()()()()()1)0(2nnjjjjj
20、j nnnijjijjijj nnnmjjmjjmjj nnnmjjmjjmjj njzxcxcxaxaxbimaxaxbaxaxbxLpj，求解：，00*00*001()jnxjnnxzxLp，得最优解，可以证明，的可行域是上面区间规划的最大最优值，。可行域。000000111111100*12*1 max()()()()()()()()()01(013)nnjjjjjj nnnijjijjijj nnnmjjmjjmjj njjLpLpzxcxcxaxaxbaxaxbxjnxjnnxzLP：，得最优解，最和：优值求解*121()LpLxp可以证明，或下面的的可行域是上面区间规划的，最小可行
21、域。000000211111100*(22 max()()()()()()()()()0101(4()nnjjjjjj nnnijjijjijj nnnmjjmjjmjj njjLPzxcxcxaxaxbaxaxbxjnxjnnxzxz：，得最优解，最优值，。1212*0*12*()()*)0*()*12()()()()min()()zxzxzxxzxxzz （可证：当，有），称，相应 为（因相应于最大可行域），称，相最好最优值最好最优解最差最优值最差最优应 或 为（因相应于最小可行域）。，称为。解最优区间值1212121212 max12 3(2 35)(3 4 5)(211)(8 911)
22、(135)(2 3 4)(4 6 7)12 2(111)(0 3 6)000.8 max11zxxxxxxxxxx 求解下面具有三角模糊系数的模糊线性规划，例：解：，取，得：12121212121.8 2.22.8 3.43.8 4.2 1.20.68.8 9.4 3.42.62.8 3.2 6.65.4 1.8 2112.4 3.600zxxxxxxxxxx ，012*0*12*(2 0)(0.8)4.4(1.57560.7512)(2.13090.2356)(0.8)min 0.2822 3.03460.2822(0.8)0.2822 4.4151()(1)2.333333TTTTLPLP
23、LPxzxxzLPLPx分别求解相应的，和，得：，。，。最优区间值：，。当取时，原模糊成为精确，。11 max1 01njjjnijjijjzc xa xbimxjn模型：，11 max()()()()()()1 (1 01)njjjjnijijjiijjzccxaaxbbimxjn，得相应的区间规划如下：，方法，：取水平11*000 max()()()()01(2)njjjnijjijjzxLcxaxbxjnxzxp，得最优解，最优值，求解：。1111*11 max()()()()01)(3)njjjnijjijjLpzxcxaxbxLjnxzxp：，得最优解，最优，求：值。解*()00*(
24、)11*()()()()(4)()zzxxzzxxzz，为最好最优值，相应 为最好最优解；，为最差最优值，相应 为最差最优解；，为最优区间值。三、区间线性规划三、区间线性规划 （interval linear programming，简称IvLP）IvLP的一般模型：njxmibbxaatsxccZMinjiinjjijijnjjjj，101,.,11(1)(1)方法一方法一(不需要决策者参与)思路：与具有模糊系数的线性规划的截集区间规划求解相同,分别解相应于最大、小范围约束的确定规划问题。最大、小范围约束的几何解释最大、小范围约束的几何解释：如 1,2x1+1,4x22,4其边界不等式：其边
25、界不等式：1 x1+1x221 x1+4x222x1+1x222 x1+4x221 x1+1x241 x1+4x242x1+1x242 x1+4x241 x1+1x242 x1+4x22最大范围不最大范围不等式等式最小范围不最小范围不等式等式 njxmibxaxcZMinjinjjijnjjj,10,111方法：方法：确定最好最优值模型确定最好最优值模型最差最优值模型：最差最优值模型：njxmibxaxcZMinjinjjijnjjj,10,111最优值记为：最优值记为：Z最优值记为：最优值记为：ZIvLPIvLP的最优值为：的最优值为：,相应的解为最好和最差最优解。相应的解为最好和最差最优解
26、。,ZZ例例12:12:求解求解IvLPIvLP的最优值区间的最优值区间 0,1,25.04,24,1 2,1 2,1 32122121xxxxxstxxZMin解解:分别建立该分别建立该IvLPIvLP的最好、最差模型：的最好、最差模型：0,25.0242132122121xxxxxstxxZMin 0,14232122121xxxxxstxxZMin分别求解两分别求解两LPLP，得，得IvLPIvLP的最优值区间为：的最优值区间为：0.5,80.5,8。(2)(2)方法二方法二(需要决策者参与)思路：思路：基于区间数的序关系，将基于区间数的序关系，将IvLPIvLP化为一确定型化为一确定型
27、LPLP并求解。并求解。)()()()()(BwAwAmBmBA )(),(AwAmA两个区间数两个区间数、,)(),(BwBmB称称为为AB的满意度。的满意度。,1iinjjijijbbxaa 当决策者给定满意度当决策者给定满意度0，IvLPIvLP中的约束中的约束01,iinjjijijbbxaaiinjjijijbbxaa)1()1()1()1(00100 为什么？为什么？njxmibbxaatsxccZMinjinjjijijnjjjj，101)1()1()1()1(.)(21001001 于是，于是，IvLPIvLP化为化为一个一个确定型确定型LPLPnjjjjxccZMincc1)
28、(21,目标可近似表示为极小。因此，一般首先是希望中值取值和半宽均取极小，而中取极小，可认为是对其间数而关于目标，对一个区例例13:13:给定满意度给定满意度0.50.5，求解，求解IvLPIvLP 0,1,25.04,24,1 2,1 2,1 32122121xxxxxstxxZMin解解:化为确定型化为确定型LPLP 0,625.1275.35.25.132122121xxxxxstxxZMin求解求解3,)2,0(*ZXT 1郭均鹏等，区间线性规划的标准型及其求解，系统工程，200参考文献：3（3）max()()01jfPos f xfBPos gxjpPos，其中表示可能性。【1】刘宝
29、碇等，随机规划与模糊规划，清华大学出版社，1998【2】刘新旺等，一种区间数线性规划的满意解，系统工 三、模糊机 程学参考报，会约19束规9文献：划9(2)第三节第三节 模糊线性回归模糊线性回归101 101 110 ()nnnnnjjjnnYxxYbb xb xYbb xb xNYxxbb已知变量 与，之间具有线性相关关系：欲求出其估计：采集 组观测值，基于最小二乘法（软件），可算出系数问题：方法，：。一、普通线性回归1 11111()()()0()1inniiiAiiiiiLiiiniiiYniiinniiiiiiYAxA xAaLRaLcAcccYyxyLc xYxc x可可能性线性系统
30、是指，其中 为对称型模糊数，记，其中：中心；：扩展；。模糊输出 的隶属函数为：，即、可能性线以证是以为中心，为扩展明性系统（幅度）LR的对称型模糊数。10111 ()()1()2jnjjnjniiiLijjjnjiYjYxxYAAxA xAcLRAyxxjNYhAyh 已知输出变量 与输入变量，构成可能性线性系统：其中，为对称的型模糊数，现欲求 在一定拟合度下的估计值。采集输入与输出数据，。使估计的模糊数包含在拟合度 以上的范围 问来决定模糊系数，、可能性线性回：归：即题方法1jN，。图示：h1111111111111()()()()(jnjijiiYjnijiinjijiinijiinnji
31、jiijiiinnijijijiiiyxyLLc xyxLLhc xyxLhc xLhc xyxL而，为单值函数，且在对称半侧单调，存在。由 可得：故有：1)nijiihc x1111111111 min()()01NnjijiijiiNnijijinnjijiijiiinnjijiijiiiiYc xAALPzc xyxLhc xyxLhc xcj另一方面，使估计的 的总幅度为最小来决定，于是将求 的问题归结为下面的：，1NjNjN，其中，表示将 组观测值代入形成注：个式子。12345(1)41AL xxxxxxxY 日本某预制装配住宅 公司欲估计该公司住宅价格的可能性线性回归模型，设模糊系
32、数为对称三角型（）。输入变量：材质优良等级；：一层床的面积；：二层床的面积；：总房间数；：日式房间数。输出变量：住宅销售价格（万日元）。首先采集数据如下表（例：解：部分）：1111111(1)min(1)(1)0110iiNnijijinnjijiijiiinnjijiijiiiicLPLhzc xyxhc xyxhc xcjNinh 然后将数据代入以和 为变元的此时，为什么？：，设*01*2345.5(0 0)(245.17 75.27)(5.85 0)(4.79 0)(0 0)(0 0)LLLLLLAAAAAA，解得可参考：，。寺野寿郎：模糊系统理论及应用。1*1 1 (,)-(nnnjj
33、jRjYxxYAxA xAcL RAA Bd A（基于：模糊线性回归模型的约束最小二乘估计，模糊系统与数学，2006（5）模糊线 已知具有模糊输出 与清晰(独立)输入，的：其中，为对称的型模糊数，现欲王宁、张性回求 归模型最小二乘估计首先定义两个模糊数的距文修的。问题：方-离法：3、一种基于最小二乘估计的模糊线性回归1212022121112220,)()(,)(),(),(),(),(,)()()()()()01(0)0()BfdA B dAaaBbbA BdA Bababfffd,其中为的 水平截集，1,是，上的增函数，=。2211*21111*11min(,.,)(,)(,).0,1,.
34、)1().,(.miiiniiiRinimniiiiinininjiYxximYyAxA xxcS AAdY YdYstnxjYc基于最小二乘的思想，使估计值与观测值的距离平方最小，且宽度非负，则有（1）根据扩张原采集输入与输出数据，理和上面的距离定义，（,其中，-，,-11ininRiixcx）由于 和是分离的，因此模型（1）可转化为两个优化问题：111212111111(,.,)()min(,.,)().0,1,.,()(,.,)(),mi nmniimniijTTTininiinnnSccccySstjnr XncccX XX Yxxxx（1）（2）（2）（3）其中（2）是普通最小二乘问
35、题，当有唯一解：11111 .,.nmmnmxxyXYxxy 其中111111122()1()(,.,).1(,.,)()(,.,)0,02min(,.,)()kkTnTTTTnnjijjkijjmIjjkjiixxr XnX XXS（）（3），当，也有唯一解：可按下面步骤计算：）求，,若所有则 是（3）的解；若至少有一，转）；2于求解对）而其中010000122(0)(.)2()111(,.,1,.,01,(1,.,0(,.,),1.,.,1,.,0,.,kkIjIuuI kqqkujkjkI kjjnknI knSSSqqnjqqjjqq（）（）（）（）表示的所有真子集），记其中和所有均的
36、的最小值为令jncA则此 即为（3）的解.由 和数值即可例见得 的估计。此文献。1.1.QFD简介简介 QFD是质量功能展开（Quality Function Deployment）的缩写，由日本学者Yoji Akao1966年提出，1972年首先在日本三菱重工神户造船厂得到应用。之后，丰田将该方法应用于汽车产品设计；80年代初，该方法传入美国，并被福特等首先应用。QFD最成功的应用领域是汽车制造业，其次也应用于建筑、航空、服务等领域。QFD的定义：的定义：是一种结构化的产品计划与开发方法，以顾客需求为导向，确定产品的工程（技术）特征，根据对顾客的满意程度和竞争者能力的评价，制定每项工程特征的
37、技术目标。QFD的表现形式的表现形式质量屋质量屋：由顾客需求(A)、竞争者评价(B)、产品工程特征(C)、工程特征与需求的关联关系(D)、工程特征的技术目标(E)、工程特征的内在关联关系(F)5个矩阵组合而成的产品设计框架。1212121212 max7129436045200 3(1)103000 zxxxxxxxxxxEXEXCCLELE，调出，表格如右，依次输入：简介（例：开用求解头不能注线性规划有负号）在本课程的内容介绍中，最终往往要化为线性规划来解决，线性规划在本课程的内容介绍中，最终往往要化为线性规划来解决，线性规划的计算软件可以在我们的计算机系统中很方便地找到。的计算软件可以在我
38、们的计算机系统中很方便地找到。(2)($6max$1$2$10 3)BBBB单击“工具”栏中的“规划求解”，弹出“规划求解参数”对话框，依次输入：在“目标单元格”中写入“”，选；在“可变单元格”中写入“：”；在“约束”框中单击“添加”，弹出“添加约束”对话框，在“单元格引用”中填入“”“”“”，再按“添加”输入下一个，直至输完所有约束，单击“确定”。单击“求解”，弹出“规划求解结果”，可选输出项，单击“确定”，得到结果。第四节第四节 模糊层次分析法模糊层次分析法(FAHP)11111()()1Tnnijn nnnniijjnnWwwWnwwwwAawwwwwaijwAHP 依据某准则对 个元素
39、排序，或求这 个元素的权重，。若已知，可得 个元素的两两比较矩阵：单一准则排序问题：、的原理 其中表示元素 与 的重要性之比。11111max01 ijijjiijikkjnnnnnAaaAaaaaAwwwwwAWnWwwwwwnAnWAn 易见 满足：正的：；互反的：,称 为一致性正互反矩阵；一致的：还满足 说明 是 的一个特征值（可证），是 的相应于 的特征向量。maxmaxiiAAWAWAHPBCBBA 因此，若能知，可通过求 的及其特征向量得到，而 可由专家估计判断得到，和可由方根法计算。但要解决的是多准则排序问题，且多准则和待排序元素间存在递阶层次关系，这可通过制定组合权重计算方法解
40、决。原理：每个准则 都可对 单排序。若知 的权，加权平均即可，于是在 层次上设一多准则排个目序题：标层问。A目标层B准则层C待排序对象1BA4C3C2C1C3B2B5C12312342(1)CCCBBBBAHP要从三个人、中选拔一名干部，准则是：工作能力；：学识水平；：人际关系；：身体状况。则层次图为：将目标、准则、子准则和待排序的元素（指标或方案等、的步）用层建立问题的次结构框图例15：表示（如骤层次结构上图）。1BA：选拔干部3C2C1C3B2B4B目标层准则层排序对象层12341 91 95(2)ABBCBCBCBCAB 从上至下确定每个目标或准则支配的下层元素的两两重要性比较矩阵，比较
41、值采用标度法（及其倒数）。上例中，要确定 个：，如构造比较判断矩阵：max(3)(4)WWC 计算每个矩阵的和（一般用方根法），并做一致性检验。即每层次单排序层次总排序层元素相应于上层某一个准则的权重。由上而下计算组合权重，如：1BCW2BCW3BCW4BCW411jjjb c(1 )1 9 ()(2)(3ijijijijijijAHPaijralmuaaaa中的在判断矩阵的表示，用标度法表示（比 重要的程度）未充分反映人的判断的模糊性。因此产生了以不同角度和方式表示的模糊判断矩阵。主要有：用隶属度 代替，形成互补模糊一致性阵。用三角模糊数，代替，形成三角模糊数互反或互补阵。用区间数模糊性主要
42、表现，代替ijFAHP，形成区间数互反判断阵。无论是用哪一种形式，都需要重新推导排序的方法，从而形成基于不同角度的模糊层次分析法（）。(01)()01 ()1 ()0.5 (1)1 ijijijijn nijjiijn nijikjkijikkjijrFffRrrrRrrrrrrrrFAHP自然有 模糊矩阵，。模糊互补矩阵，模糊（互补）一致矩阵，。、模糊（互补）一致矩阵及其性比-普通互反阵一致性：-模糊互补阵一致性：义：定质较二、基于模糊（互补）一致矩阵的0.5()()()1ikkjijijn nijn nn nijrraAaBba 若是互反互阵，则=是互补阵补阵与互反阵，且不改变的转化：一致
43、性。1222321312321132110.50.80.10.20.510.900.50.50.80.90.20.50.60.10.40.5 0.50.5 1()0.5(2 2)ijijjiRRRrrrrrrRRrrrr模糊互补矩阵 模糊互补一致矩阵中，或=+-。观察特点：任两行元素之差为常性质数。模糊阵例是一致阵如：模糊1()()()0.5ijTnijijRrnWwwara ww阵是一致阵存在一个 阶非负归一化向量，及一正数，使任。12()111 2120.50.90.70.10.50.30.30.70.5ijn nniikkRrnwrnananaaRW模糊判断一致阵相应的 个元素的权重公式
44、：其中参数，且 越小，各权重分量间差越大。、模糊一致（互补）阵权重排序公式求的权例 6：重向量1。112312311123 1121118 (0.50.90.7)323151112 (0.1 0.50.3)323151115 (0.30.70.5)323153735 2151515niikkwrnanaawwwawww参考文献：吕跃进，基于模糊一致 取，则有：取，则，。：由解2002(2)矩阵的模糊层次分析法的排序，模糊系统与数学，。1(1)()0.10.3 0.50.7 0.9 1 0.5()3 0.10.)9)(21(2ijn nijniijjijijijn nAaaArainrrrRrn
45、RW 当模糊互补阵中的元素均取值为，五标度时，可按下面方法化为模糊一致阵：将 中元素按行求和，记，以构成的，即为模糊一致阵。该模糊一致、五标度赋值互补阵的一致阵 的权重（排排序序）向量化及11()12 (1)Tnnijjiwwnawn n中，【1】马晓燕，带概率判断和模糊区间判断的一种 排序算法，模糊系统与数学，2002(3)。【2】徐泽水，模糊互补判断阵排序的一种算法，系统工程学报，2001参考文献：(4)。()1 ()1(1)ijn nijijlijmijuijlijujimijmjiuijljiijn nikkBbbbbbbbbbbbbBBbb bFAHP 矩阵:，为三角模糊数，即（,）
46、,若三角模糊数互补判断三角模糊数互补判断三角模糊数互补判，则称 为矩阵。一致性矩阵断三角模糊数互补判断、三角模糊数互补一致判断矩阵定:若满足：义矩阵三、基于三角模糊数（互补）一致矩阵的,jjikijkijbb b bB三角模糊数互则称 为一致性补判断矩阵。111(),()1()(2)(nijn niijijn njijiijnijijiijn nijijnwwwAawAaBbwawbvvvawwvBbbvvvvvB 设=(,.,)是普通正互反判断阵的权重向量，当 为一致时，应有而互补阵中=，因此，若=(,.,)是一致性互补阵的权重向量，则应满足=。设=(,.,)是三角模糊数互补一致性判断矩分析
47、：论：阵质结性)iijn nijijlimiuilijmijuijuiujmimjliljvbBbvvvvvbbbvvvvvv的权重向量，当 为一致时，应有=,即（,）=（，）。,minlimiuilijmijuijuiujmimjliljlilijuilijujmimijmimijmjuiuijliuijljlijlvvvbbbvvvvvvvb vb vvb vb vvb vb vBfb由（,）=（，）可得而在实际中判断阵 往往是非一致的，于是由与一致性阵的权重的偏差最小来确定，可得下面的多目标规划2、三角模糊数互补一致判断矩阵的排序11 min min s.t.01 01ijuilijuj
48、limijmijmimijmjmiuijuijliuijljuilimiuinnliuiiivb vvfb vb vvfb vb vvvvvvv 11 min()()()s.t.0 0 nnlijlijmlijmijuijuijijlijuilijujlilijlijmijmimijmjmimlijmijuijliuiJddddddb vb vvddb vb vvddb vb引入偏差变量化为下面的目标规划1110 01 01 ,0jljuiuijuijlimiuinnliuiiilijlijmlijmijuijuijnilimiuivvddvvvvvddddddvvvvvvv 解此可得=(,.
49、,)，其中=（,）。()()1(1)2 0.50.5 0.5iiilimiuiivvvvvvv由于 是三角模糊数不便于排序，定义 的期望值 其中参数 值的选择取决于决策者的风险态度，表示风险中性，表示追求风险，表示厌恶风险。依可进行排序。(Bv考虑对三个方案排序的三角模糊数判断矩阵（0.5,0.5,0.5）（0.3,0.4,0.6）（0.5,0.7,0.9）=（0.4,0.6,0.7）（0.5,0.5,0.5）（0.4,0.6,0.7）（0.1由目标规,0.3,0.5）（0.3,例17：0.4,0.6）（0.5,0.5,0.5）0.252,0.361,0.536),(0划模型解.2得解：52,
50、0()()()123()()()213()()()2130.3060.142,0.3200.127,0.1990.132,00.88 0.88 0.88vvvvvvvvvT 当，则，方案.389,0.505),(0.148,0.25排序：IIIIII；当，则，方案排序：IIIIII；当0,0.412)()()()1231 vvv，三角模糊数互补判断矩阵排序方法研究，系统工程学报，2004（1徐泽水），则，方案排序：IIIIII文。参考献：111()()()()1()ijn nijijijijn nijn nTniiiTTnnAaaaaAaAaAAAXxxxxxFAHPXxxXxxXXXAX区间
