1、活跃在高考中的一个恒等式极化恒等式 01 何谓极化恒等式 三角形模型： 在 中，D 为 BC 的中点： 平行四边形模型 在平行四边形 ABCD 中： 02 极化恒等式应用 例 1， （ 2017 全国 II，理 12）已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 内一点， 则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 解法 1（坐标法）： 以 BC 所在直线为 轴，BC 的中垂线 轴建立平面直角坐标系， ， 设 ，则 ， ， 当且仅当 ，即 ， 取得最小值 . 解法 2（极化恒等式）： 设 BC 的重点为 O，OC 的中点为 M，连接 OP，PM， ， 当且仅当 M 与 P 重合始去等号. 例
2、 2 在 中，已知 是 的中点，E，F 分别是 BC，AC 上的 动点，且 EF = 1，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 解法 1（坐标法） 以 AC 所在直线为 轴，BC 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 设 则 ， ， ， 由柯西不等式可得： ，即 ，当且仅当 时取 等号， ，故选 B 解法 2（极化恒等式） 设 EF 的中点为 M，连接 CM，则 ，即点 M 在如图所示的圆弧上，则 ,故选 B 本题也可用三角换元法解决 例 3， （ 2013 浙江）设 ， 是边 AB 上的一定点，满足 ，且对于边 AB 上 任一点 P，恒有 ，则（ ） A. B. C. D. 解法 1
3、（坐标法） 以 AB 为 轴，AB 的中垂线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 ， 则 ， 恒成立，即： 恒成立， 即： ， 点 C 在 轴上， ,故选 D 解法 2（基地法） 解法 3（极化恒等式） 例 4、 （ 2016 江苏）如图，在 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点， ，则 值为 解法 1（坐标法） 以 BC 为 ，D 为坐标原点， 建立如图所示的直角坐标系 解法 2（基底法） 解法 3（极化恒等式） 例 5、 （ 2018 宝鸡一模）直线 与圆 相交于两点 M， N， 若 ， P 为圆 O 上任意一点，则 的取值范围为 解法 1（坐标法） 以 O 为坐标原点，MN 的平行线为 轴，建立如图所示的直角坐标系， 解法 2（基底法） 解法 3（极化恒等式） 例 6 ， 如 图 ， 已 知 B ， D 是 直 角 C 两 边 上 的 动 点 ， , ， 则 的最大值为 解法 1（坐标法） 以 C 为坐标原点，BC 为 轴， 建立如图所示的直角坐标系， 解法 2（基底法）
