1、增分微课增分微课 4速度关联问题的研究速度关联问题的研究 题型综述题型综述 高中物理中涉及到很多绳、杆、面连接的两个物体的 运动学、 动力学和能量问题，这些问题的关键之一是两个物 体的速度之间的关系即速度关联的问题， 另一个关键则 是两物体之间的受力的关系问题。 其中速度关联问题对很多 同学而言， 存在准确理解和记忆的问题。本文就对速度关联 问题进行一个深入的分析。 应考策略应考策略 在深入理解本文的内容的前提下，准确记住各种情况 下速度的具体关联形式， 以及必须正交分解的基本原则，那 么， 速度关联的问题就不过是这类问题的一个常识节点，你 的注意力就会转移到更加复杂的动力学、能量问题上去。
2、应用举例 一、绳连接体的速度关联 应用举例 一、绳连接体的速度关联 1、基本结论、基本结论：将绳连接的两个物体的速度沿 绳 和 垂 直 绳 正 交 分 解 ，则有两物体沿绳方向分 速 度 大 小 相等。 2、结论推导、结论推导：跨定滑轮绳连接体（拉船模型） 【例 1】如图所示，人在岸上捉住绳上的 A 点以速度 v0水平向左匀速拉动轻绳，绳跨过定滑轮 O 拉着在水面上 向左移动的小船 B，若已知某一瞬间 OB 绳与水平方向的夹 角为，试求此时小船 B 的速度 v 为多大？ 【解析】当 A 运动 到 A1时，B 运动到 B1， 小船 B 的实际运动是水 平向左的，但是我们可以将其想象成小船先沿圆弧
3、 BB2（以 O 为圆心、OB 为半径， OB 长度不变）运动至 B2（此过程中 A 点不 动） ，然后沿绳 B2O 向 上运动至 B1（此过程中 A 运动到 A1） ，则由于 绳不可伸长，故有 AA1=B2B1，即若将 B 的运动分解到沿圆 弧（垂直绳）和沿半径（沿绳）方向，则必有沿绳方向两物 体速度相等的结论：vn=v0 即： vcos=v0，解得 v v0/cos 若不是正交分解， 而是如图（2）所示斜 交分解，则 B3B1=A3A1， 而 B3B1AA1， 故此时就 有 vxv0。因此，要用这 个结论， 就必须将 B 的 速度沿绳、垂直绳正交 分解。 3、注意事项、注意事项： （1）当
4、物体速度不沿绳时，不要认为绳连接的两物体 速度大小相等； （2）无论何种情况下，要用沿绳分速度相等的结论， 都必须沿绳和垂直绳正交 分解， 如下图所示情形也只能将 M 的速度沿绳DA和垂直绳DA分 解时，才能认为 M、m 沿绳方 向分速度相等，而不能将 M 的 速度沿 DA、 DB 方向斜交分解。 4、应用示例、应用示例 【练 1】如图所示，将质量为 2m 的重物悬挂在轻绳的 一端， 轻绳的另一端系一质量为 m 的小环， 小环套在竖直固定的 光滑直杆上， 光滑定滑轮与直杆 的距离为 d. 现将小环从与定滑 轮等高的 A 处由静止释放，B 处在 A 处正下方距离为 d 处， 则下列说法正确的是
5、A小环刚释放时轻绳中的张力一定大于 2mg B小环在 B 处的速度与重物上升的速度大小之比等 于2 C小环下降速度最大时，轻绳中的张力一定等于 2mg D小环从 A 处开始能够下降的最大高度为4 3 d 【解析】B 选项：将小环的速度 v1 沿绳、垂直绳正交分解， 有： 12 cosvv ，故 B 正确；D 选项：由机械能守恒， 有： 22 2()mghmghdd ，解得 4 3 hd ； （1）A 选项： 设小环经过一段极短的时间 t 下落一小段距离 y， 小环 的速度增加为 v1，此时 重物上升的速度为 v2， 则有： 2 1 tan 2 ygtd 21sin sinvvgt 而sinta
6、n， 则 有： 2 2 3 2 1 2 2 gt g t vgt dd 则重物上升的加速度 为： 2 2 2 2 vg t a td 当取t0时， 易知a=0. 则绳中张力等于 2mg. （2）C 选项： B A O B A OA1 B1 B2 vn v v0 M 将 v1垂直于绳方向分速度 v的变化量v分解为v1、 vn1，v1沿绳方向分速度 vn的变化量vn分解为v2、vn2， 由于小环的加速度为 0，必有： vvn 则有：v1v2，vn1vn2 其中，vn1产生的加速度大小为： 2223 n111 n1 (cos )cos /cos vvvvvvv a ttlldd 方向由小环指向滑轮，
7、即为向心加速度。 vn2产生的加速度大小为： 23 n2n11 n2n1 cos vvv aa ttd 其中负号表示该加速度沿绳向左下方。 故此时重物上升的加速度为： 23 1 n2 cos | v aa d ， 可知绳中张力大于 2mg. 【练 2】图为在平静海面上，两艘拖船 A、 B 拖着驳船 C 运动的示意图A、B 的速度分别 沿着缆绳 CA、CB 方向，A、B、C 不在一条直 线上 由于缆绳不可伸长， 因此 C 的速度在 CA、 CB 方向的投影分别与 A、B 的速度相等，由此 可知 C 的（） A速度大小可以介于 A、B 的速度大小之间 B速度大小一定不小于 A、B 的速度大小 C速
8、度方向可能在 CA 和 CB 的夹角范围外 D速度方向一定在 CA 和 CB 的夹角范围内 【解析】C 的速度沿 AC 绳方向分量必须等于 vA，C 的速度沿 BC 绳方向分量必须等于 vB，即 vC的末端必须在 虚线 AA上，又必须在 BB上，则 vC的末端在 AA和 BB上 的交点处。 如下图所示，存在三种典型情况，故正确答案是 BC. 5、跨动滑轮绳连接物体的速度关联、跨动滑轮绳连接物体的速度关联 【例 2】如图所示，细绳一端固定在天花板上的 O 点， 另一端穿过一张 CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球， 橡 胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿现将 CD 光盘按在桌面上，并沿桌
9、面边 缘以速度 v 匀速移动，移动过 程中， CD 光盘中央小孔始终紧 挨桌面边线，当悬线与竖直方 向的夹角为时， 小球上升的速 度大小为（） AvsinBvcosCvtanDvcot 【解析】选 B 为参考系 （把 B 看作定滑轮） ，则 O 点 具有水平向左的速度 v，小球 具有竖直向上的速度 vy，则由 绳连接体的速度关联，有： y vv n 即： y vvsin ，选 A。 二、杆连接体的速度关联二、杆连接体的速度关联 1、基本结论：将杆连接的两个物体的速度沿 杆 和垂直 杆正交 分解 ，则有两物体沿杆方向分速度 大小 相等。 2、结论推导 【例 3】如图所示，一个长直轻杆两端分别固定
10、一个 小球 A 和 B，两球的质量均为 m，两球半径忽略不计，杆 AB 的长度为 l。现将杆 AB 竖直 靠放在竖直墙上，轻轻扰动小球 B，使小球 B 在水平地面上由静 止向右运动，求当 A 球沿墙下滑 到杆与水平面夹角为时， 若已知 此时 B 球的速度为 v，则 A 球的 速度为多少？ 【解析】 如图所示， A 球继续向下滑动一小段距离 AA2， 这个过程中A的运动可以看做是先沿圆弧AA1（以B为圆心， l 为半径）运动到 A1，然后沿杆运动到 A2，此时 B 运动到 B1； 而 B 的运动也可以看做先 从 B 运动到 B1，然后沿圆弧 B1B2（以 A2为圆心， l 为半径） 运动到 B2
11、；且有：A1A2=BB1。 由上述分析可知，可以 将 A、 B 的速度沿半径 （沿杆） 、 沿圆弧（垂直杆）分解，且沿 杆方向分速度相等： nnBA vv 即：cossinvvA 有： tan/vvA 。 3、应用示例 【练 3】如图，滑块 a、b 的质量均为 m，a 套在固定 直杆上，与光滑水平地面相距 h，b 放在地面上，a、b 通过 铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，a、b 可视为质点，重力 加速度大小为 g则 Aa 落地前，轻杆对 b 一直做正功 Ba 落地时速度大小为2gh Ca 下落过程中，其加速度大小始 终不大于 g Da 落地前，当 a 的机械能最小时，b 对地面的压力 大小为 m
12、g 【解析】B 选项：a 落地时，a 的速度竖直向下，杆水 平，则由 a、b 沿杆方向分速度相等可知，b 的速度一定为 零；则由系统的机械能守恒，有 2 1 0 2 mghmv 解得2 a vgh，B 正确。 ACD 选项：b 一定经历了先加速后减速的过程，中间 一定有一个位置 2，此时 b 的加速度为 0，b 的速度最大， vA vB vC vA vB vC vC vA vB A A A A A A B B B B B B 由牛顿第二定律可知，位置 2 杆中弹力必定为 0，此前 杆中弹力是推力，此后杆中弹力是拉力，杆中弹力先对 b 做正功，后做负功，故 A 错；则 b 处于位置 2 时，b
13、对地压 力为 mg，b 的机械能最大，则此时 a 的机械能最小，故 D 正确；而位置 2 之后，杆中弹力是拉力，故此后 A 的加速 度大于 g，C 错。 本题选 BD. 三、面连接体的速度关联三、面连接体的速度关联 1、基本结论、基本结论：将面连接的两个物体的速度垂直、平行 接触面分解，则有两物体垂直接触面方向分速度相等 。 2、结论推导、结论推导 【例 4】 如图所示， 轻杆的下端用铰链固接在水平面上， 上端固定一个质量为 m 的小球， 轻 杆处于竖直位置，同时与一个质量 为 M 的长方体相接触由于微小 扰动使杆向右侧倒下， 当杆与水平 面的夹角为 60时，长方体的速度为 v，则小球的速度为
14、多 少？ 【解析】 可以将小球从 A 沿着 圆弧 AA2的运动想象成先平行于与 长方体的接触面向下运动到 A1，然 后再垂直接触面向右运动到 A2，则 很容易由几何知识，有：A1A2=x。 由上述分析可知， 若将小球的 速度分解到平行、 垂直接触面方向， 则有垂直接触面方向两物体分速度 相等： vvx 即： vv 60sin 球 ，解得： v v v 3 32 60sin 球 3、应用示例、应用示例 【练 4】如图甲所示，有一个沿 水平方向做匀速直线运动的半径为R 的半圆柱体， 半圆柱面上搁着一个只 能沿竖直方向运动的竖直杆， 在竖直 杆未达到半圆柱体的最高点之前() A半圆柱体向右匀速运动时
15、， 竖直杆向上做匀减速直线运动 B半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线 运动 C半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体 接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时，竖直杆向上 的运动速度为vtan D半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体 接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时，竖直杆向上 的运动速度为vsin 【解析】竖直杆与圆柱面是面接 触，因此可将两物体的速度均沿垂直、 平行接触面分解，如图所示，则有垂直 接触面方向分速度 v1相等，即 sincosvvA 解得：tanvvA 随着半圆柱体向右运动，逐渐减小，vA逐渐减小，但 不是均匀减小，故 BC 选项正确。 4、两线交
16、点的速度问题、两线交点的速度问题 【例 5】如图 3 所示，顶角60、光滑 V 字形轨道 AOB 固定在竖直平面内， 且 AO 竖直 一水平杆与轨道交于 M、N 两点，已知杆自由下落且 始终保持水平， 经时间 t 速度由 6 m/s增大到14 m/s(杆未触地)， 则在 0.5t 时，触点 N 沿倾斜轨 道运动的速度大小为(g 取 10 m/s2) A10 m/sB17 m/sC20 m/sD28 m/s 【解析】触点 N 可看做是与 MN 面接触，若将触点 N 的速度（沿 BO）分解到垂直杆 vy、平行杆 vx，则有垂直杆方向 上：vy=v 即： 2 cos 0t N vv v 代入数据，解
17、得： m/s20 N v 。 【练 5】一平面内有两根夹角为的细杆 L1和 L2， 它们 各自以垂直自己的速度 v1和 v2在该平面内运动，试求交点 相对于该平面的速度大小. 【解析】交点与杆的关系，相当于面接触，因此，交 点速度 v 垂直于 L1的分量必须等于 v1、v 垂直于 L2的分量 必须等于 v2， 即 v 的末端必 须在虚线 AA上，又必须在 BB上，则 v 的末端在 AA 和 BB上的交点处，如右图 所示。 由几何关系，有： 1/sin OAv 2/sin OBv 22 2cosvOAOBOA OB 联立解得： 22 121 2 2cos sin vvv v v v2 v1 v B O A A B
