1、主页主页数列应用题数列应用题临沂一中高三数学组 李福国高三一轮复习主页主页运用模型，实践方程作用运用模型，实践方程作用探究问题，领悟方程内涵探究问题，领悟方程内涵解剖问题，建立方程模型解剖问题，建立方程模型 体验问题，感受方程魅力体验问题，感受方程魅力主页主页主页主页mnpq 若若mnpqaaaa 则则若数列若数列an是等差数列是等差数列232,kkkkkS SS SS 成成等等差差数数列列 nnnnakk aab ，成成等等差差数数列列若数列若数列an bn是等差数列，是等差数列，mnpq 若若mnpqa aa a 则则若数列若数列an是等比数列是等比数列232,kkkkkS SS SS 成
2、成等等比比数数列列 nnnk aab ，成成等等比比数数列列若数列若数列an bn是等比数列，是等比数列，等差数列的单调性等差数列的单调性等差数列的单调性等差数列的单调性na时时，为为递递增增数数列列；na 为为递递减减数数列列.a10,d0an是递减数列，是递减数列，Sn有最大值，有最大值，a10an是递增数列，是递增数列，Sn有最小值有最小值主页主页主页主页主页主页例例2.2.主页主页解：根据题意，经过解：根据题意，经过n年后绿化面积为年后绿化面积为%19616(1)nnnaaa%8016na44.525na即即1444().555nnaa 主页主页2lg54lg5n2lg213lg21
3、2 0.30113 0.3011 4.103.5n主页主页例例3.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过总量不能超过80吨，该矿区计划从吨，该矿区计划从2010年开始出口，年开始出口，当年出口当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以以2010年为第一年，设第年为第一年，设第n年出口量为年出口量为an吨，吨，试求试求an的表达式；的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该年后终止该矿区的出口，问矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？（保留一年最
4、多出口多少吨？（保留一位小数）参考数据：位小数）参考数据：0.9100.35.主页主页解解:(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，由题意知每年的出口量构成等比数列，1010(10.9)10.9aS 10810.9a 即即.(2)10年出口总量年出口总量1010(10.9).aS1080，10a(1-0.910)80，12.3a.故故2010年最多出口年最多出口12.3吨吨.且首项且首项a1=a,公比公比q=1-10%=0.9,an=a0.9n-1.主页主页4.用分期付款的方式购买家用电器一件用分期付款的方式购买家用电器一件,价格为价格为1150元元,购买当天先付购买当天先付150元元,以后每
5、月这一天都交以后每月这一天都交付付50元元,并加付所欠款的利息并加付所欠款的利息,月利率为月利率为1,若以若以付付150元后的第一个月开始作为分期付款的第一元后的第一个月开始作为分期付款的第一月月,问分期付款的第十个月该交付多少钱问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部贷全部贷款付清后款付清后,买这件家电实际花了多少钱买这件家电实际花了多少钱?解解:因为购买当天付因为购买当天付150150元元,所以欠款为所以欠款为10001000元元,依题意共分依题意共分2020次付清次付清,设每次交款数分别为设每次交款数分别为a1 1,a2 2,an,则有则有a1=50+10001=60,a2=50+(100
6、0-50)1=59.5,a3=50+(1000-250)1=59,主页主页 an=50+1000-(n-1)501 an构成以构成以60为首项为首项,-0.5为公差的等差数列为公差的等差数列.=1105(元元).a10=60-90.5=55.5（元（元)第十个月该付第十个月该付55.5（元）（元）实际付款实际付款1105+150=1255(元元).20次分期付款的总和：次分期付款的总和：=60+(n-1)(-0.5)2020 1920 60(0.5)2S 主页主页5.5.某企业投资某企业投资10001000万元于一个高科技项目，每年可获万元于一个高科技项目，每年可获利利25%25%。由于企业间
7、竞争激烈，每年年底需要从利润中。由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金取出资金200200万元进行科研、技术改造与广告投入，方万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少处后，该项目能保持原有的利润增长率，问经过多少处后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（的资金可以达到或超过翻两番（4 4倍）的目标？取倍）的目标？取（1g2=0.31g2=0.3）.xax，aaaNnaa，aaaa：nnnnnnn45,20045,*200%251,111321令即则由已知金数依次为设该企业逐年的项目资解析,*80045800,800,2004414511Nnaaxxx，aa
8、nnnn得由即主页主页122.11.0,3.02lg,2lg42lg3116lg45lg,1645400045250800,4000*45250800,45250800,250800,1050200%2511000.45800800111111nnnnaNnaaaa，aannnnnnnn故即即由题意为公比的等比数列为首项是以故主页主页主页主页214 2 2,daa Nn 又又，主页主页25,5nnn 当当且且仅仅当当即即时时大大主页主页13.某外商到一开发区投资某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工万美元建起一座蔬菜加工厂厂,第一年各种经费第一年各种经费12万美元万美元,以后每年增加以
9、后每年增加4万美元万美元,每年每年销售蔬菜收入销售蔬菜收入50万美元万美元.设设f(n)表示前表示前n年的纯收入年的纯收入(f(n)=前前n年的总收入前年的总收入前n前的总支出投资额前的总支出投资额)（1）从第几年开始获取纯利润？）从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后）若干年后,外商为开发新项目外商为开发新项目,有两种处理方案：有两种处理方案：年平均利润最大时以年平均利润最大时以48万美元出售该厂；万美元出售该厂；纯利润总和纯利润总和最大时最大时,以以16万美元出售该厂万美元出售该厂,问哪种方案最合算？问哪种方案最合算？解解:由题意知，每年的经费是以由题意知，每年的经费是以12为首项，为首项
10、，4为为公差的等差数列，公差的等差数列，(1)()50124722n nf nnn 则则224072nn 主页主页（1 1）纯利润就是要求）纯利润就是要求,072402,0)(2nnnf 解得解得 Nnn由.182知从第三年开始获利知从第三年开始获利 （2 2）年平均利润）年平均利润.16)36(240)(nnnnf当且仅当当且仅当 n=6=6 时取等号时取等号.故此方案先获利故此方案先获利 6 616+48=14416+48=144（万美元），此时（万美元），此时 n=6=6，.128)10(2)(2nnf 当当 n=10n=10 时，时，128)(maxnf.故第种方案共获利故第种方案共获
11、利 128+16=144128+16=144（万美元），（万美元），故比较两种方案，获利都是故比较两种方案，获利都是 144144 万美元。万美元。但第种方案只需但第种方案只需 6 6 年，而第种方案需年，而第种方案需 1010 年，故选择第方案年，故选择第方案.主页主页【1】近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为 10 万件，万件，每件小挂件的销售价格平均为每件小挂件的销售价格平均为 100 元，生产成本为元，生产成本为 80 元。从今年起工厂投入元。从今年起工厂投入 100 万万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投
12、入元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本，预计产量每年递增万元科技成本，预计产量每年递增1 万件。设第万件。设第n年每件小挂件的生产成本年每件小挂件的生产成本180)(nng元，若玉制产品的销售价格元，若玉制产品的销售价格不变，第不变，第n年的年利润为年的年利润为)(nf万元。（今年为第万元。（今年为第 1 年）年）（1）求）求)(nf的表达式；的表达式；80:(1)()(10)100(10)1001f nnnnn 解解80(10)1000.1nn 主页主页9(2)()10008011f nnn，由由912 961nn，当且仅当，当且仅当8n时等号成立，得出时等号成立，
13、得出()520f n，因此第，因此第 8 年利润最高为年利润最高为 520 万元万元.【1】近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为 10 万件，万件，每件小挂件的销售价格平均为每件小挂件的销售价格平均为 100 元，生产成本为元，生产成本为 80 元。从今年起工厂投入元。从今年起工厂投入 100 万万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本，预计产量每年递增万元科技成本，预计产量每年递增1 万件。设第万件。设第n年每件小挂件的生产成本年每件小挂件的生产成本18
14、0)(nng元，若玉制产品的销售价格元，若玉制产品的销售价格不变，第不变，第n年的年利润为年的年利润为)(nf万元。（今年为第万元。（今年为第 1 年）年）（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？主页主页主页主页主页主页全力以赴，力争更全力以赴，力争更好！好！2009.3.29主页主页老师忠告老师忠告解题表述的总原则是：说理充分，逻辑严谨，层解题表述的总原则是：说理充分，逻辑严谨，层次清楚，表述规范本解答从头到尾只有方程，次清楚，表述规范本解答从头到尾只有方程，没有必要的文字说明，而且像写作文，关键点不没有必要的文字说明，而且像写
15、作文，关键点不突出，一定会失去应得之分，还要注意解题步骤突出，一定会失去应得之分，还要注意解题步骤最忌像最忌像“散文散文”一样连着写下来，让方程、答案一样连着写下来，让方程、答案淹没在文字之中，应像淹没在文字之中，应像“诗诗”一样分行写出，出一样分行写出，出现一个结果就另起一行单独书写，这样即使阅卷现一个结果就另起一行单独书写，这样即使阅卷速度快，也不会因为找不到你的得分点而少给分；速度快，也不会因为找不到你的得分点而少给分；正确结论的获得要通过严格推理，或在猜想出结正确结论的获得要通过严格推理，或在猜想出结论后再利用数学归纳法加以严格证明本解答中论后再利用数学归纳法加以严格证明本解答中用不完
16、全归纳法猜想数列的通项，犯了以偏概全用不完全归纳法猜想数列的通项，犯了以偏概全的错误，缺乏思维的严谨性，扣分是必然的的错误，缺乏思维的严谨性，扣分是必然的.返回返回 主页主页(1)特殊值特殊值解析 一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为 （）例 6A.-24 B.84 C.72 D.36D结论中不含n，故本题结论的正确性与n取值无关，可对n取特殊值.取n=1，此时所以前3n项和为36，故选D.12213148,12,224aaSSaad 主页主页B由图可知，是抛物线的对称轴.又本题中 ,可表示如图.731,9SSa等差数列的前n项和 可表示为过原点的抛物线.ndan
17、dSn)2(212nSO3 5 7n5273nnS所以n=5时 最小，故选B。例例16已知 是等差数列，=-9,=，那么使其前n项和 最小的n是 ()A.4B.5C.6D.7na1a3S7SnS解析三、图解法三、图解法主页主页【错解】若答案是无限的、一般性结论时，可赋予若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.二、赋值检验二、赋值检验例例2已知数列an，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，(n=1)则an的通项an=(n=2)1由an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)与an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2得an=nan-1，32412312,3,4,nnaaaanaaaa从而321212 3 4nnaaanaaa 故!nna得主页主页【检验】【检验】1!(2).2nnna 所以正确答案是：21naa=1知解当=2时法有误，实际上(1)式仅对于n3成立.3433,2aaanaaa 从而1!(2).2nan n得
