1、一、惟一性2 收敛数列的性质 本节首先考察收敛数列这个新概念有哪七、一些例子六、极限的四则运算五、迫敛性(夹逼原理)四、保不等式性三、保号性二、有界性些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.一、惟一性定理定理 2.2 若若na收敛收敛,则它只有一个极限则它只有一个极限.证证 设设.的的一一个个极极限限是是naa下面证明对于任何下面证明对于任何定数定数.,的极限的极限不能是不能是nabab 若若 a，b 都是都是 an 的极限，则对于任何正数的极限，则对于任何正数 0,有有时，时，当当 22,NnN 有有时，时，当当 11,NnN )1(;|aan.ba 是是任任意意的的，所所以以因因为为 当当
2、n N 时时(1),(2)同时成立同时成立,max21NNN 令令从而有从而有)2(.|ban.2|baaabann二、有界性即存在即存在0,|,1,2,.nMaM n使使得得证证lim,nnaa 设设对于正数对于正数1,N nN 时时,有有|1,naa11.naaa即即若令若令12max|,|,|,|1|,|1|,nMaaaaa则对一切则对一切正整数正整数 n,都有都有|.naM 定理定理 2.3 若数列若数列，为为有有界界数数列列则则收收敛敛,nnaa件件.注注 数列数列)1(n 是有界的是有界的,但却不收敛但却不收敛.这就说这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条明有界只是数列收
3、敛的必要条件，而不是充分条三、保号性定理定理 2.4lim,nnaa 设设对于任意两个实数对于任意两个实数 b,c,证证min,0,ab caNnN 取取当当时时注注),0(0 aa或或若若我们可取我们可取(),22aabc或或0(0).22nnaaaa则则或或这也是为什么称该定理为保号性定理的原因这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.nbac故故,nbaaac ,则存在则存在 N,当当 n N 时时,.cabn bac例例1 证明证明.0!1limnnn证证 对任意正数对任意正数 ,(1)lim0,!nnn 因因为为所以由所以由 11,!nn 1.!nn 即即这就证明了这就证明了.0!1l
4、imnnn0,NnN当当时时定理定理 2.4,四、保不等式性定理定理 2.5,nnab设设均为收敛数列均为收敛数列,如果存在正如果存在正00,nnNnNab数数当当时时 有有limlim.nnnnab 则则证证lim,lim.nnnnaabb设设,2abba 若若取取,22babaaan,22bababbn,nnab 故故导导致致矛矛盾盾.所以所以.ab 0,NNnN由由保保号号性性定定理理 存存在在当当时时是严格不等式是严格不等式.注注 若将定理若将定理 2.5 中的条件中的条件 改为改为,nnab nnba 这就是说这就是说,即使条件是严格不等式即使条件是严格不等式,结论却不一定结论却不一
5、定也只能得到也只能得到limlim.nnnnab 例如例如,虽然虽然12,nn 但但12limlim0.nnnn五、迫敛性(夹逼原理)定理定理 2.6 设数列设数列,nnba都以都以 a 为极限为极限,nc数列数列.limaccnnn 且且收敛，收敛，证证 对任意正数对任意正数 nnnnaba,limlim,因为因为 所以分所以分,121时时使得当使得当别存在别存在NnNN;naa 2.nnNba 当时,当时,max2,1,0NNNN 取取.abcaaNnnnn时，时，当当这就证得这就证得满足满足:存在存在,00nnnbcaNnN 有有时时当当则则例例2 求数列求数列nn的极限的极限.,22)
6、1()1(2 nhnnhnnnn,1121lim1lim nnn所以由迫敛性，求得所以由迫敛性，求得.1lim nnn.limacnn.12111 nhnnn故故又因又因解解10,nnhn设则设则有有六、四则运算法则定理定理2.7为为收收敛敛数数列列，与与若若nnba,nnba 则则(1)limlimlim;nnnnnnnabab(2),limlimlimnnnnnnnbaba 当当nb为常数为常数 c 时时,;limlimnnnnbcbc (3),0lim,0 nnnbb若若也收敛，且也收敛，且则则 nnba.limlimlimnnnnnnnbaba 也都是收敛数列也都是收敛数列,且有且有,
7、nnnnbaba ,nN 当当时时|,|,nnaabb有有所以所以,2|bbaababannnn 由由的任意性的任意性,得到得到 .limlimlimnnnnnnnbababa 证明证明(2),收敛收敛因因nb,有界有界故故nb.|Mbn 设设对于任意对于任意0,nN 当时 有当时 有|,|1|1nnaabbMa，证明证明(1)lim,lim,nnnnaabb设设0,N 存存在在,2|bbaaabnnn 由由的任意性的任意性,证得证得.limlimlimnnnnnnnbababa 证明证明(3),1nnnnbaba 因为因为由由(2),只要证明只要证明.lim11limnnnnbb ,0 b由
8、于由于据保号性据保号性,11时时当当NnN|abababbaabbannnnnn 于是于是|.2nbb 又因为又因为22lim,nnbbNnN当当时时时，时，当当取取NnNNN ,max212112nnnnbbbbbbb bb ，即即11lim.nnbb limlim.limnnnnnnnaabb 所所以以,22 bbbn 七、一些例子例例3 用四则运算法则计算用四则运算法则计算11101110lim,mmmmkknkka nana nab nbnb nb ,0.m kmka b其其中中(1)当当 m=k 时时,有有 1lim00,nn 依依据据分别得出分别得出:解解mmmmmmmmnnbnb
9、nbbnananaa111111lim01110111 .mmba11101110limmmmmkknkka nana nab nbnb nb (2)当当 m N 时时,有有3,22naaa即即3.22nnnnaaa又因为又因为3limlim1,22nnnnaa所以由极限的迫所以由极限的迫lim1.nnna 敛性敛性,证得证得例例6 lim(1).1nnnaaa 求求极极限限解解(1)|1,a lim0,nna 因因为为所以由极限四则所以由极限四则运算法则运算法则,得得limlim0.11limnnnnnnnaaaa(2)1,a 11limlim.221nnnnaa(3)|1,a lim(1)
10、0,nna 因因故得故得1limlim111nnnnnaaa 11.1lim(1)nna 例例7 12,maaa设设为为 m 个正数个正数,证明证明1212limmax,.nnnnmmnaaaaaa12,nnnnnmaaaam a证证12max,.maaaa 设设由由limlim,nnnmaaa以及极限的迫敛性以及极限的迫敛性,可得可得1212limmax,.nnnnmmnaaaaaaa定义定义1 1+,N,nkan设设为为数数列列为为的的无无限限子子集集 且且12,knnn则则数数列列12,knnnaaa,.knnaa称称为为的的子子列列 简简记记为为注注,knnnaaa由由定定义义的的子子
11、列列的的各各项项均均选选自自knnaa且且保保持持这这些些项项在在中中的的先先后后次次序序.中中的的第第,.nkkkannk项项是是中中的的第第项项 故故总总有有定理定理 2.8,nnaaa若若数数列列收收敛敛到到则则的的任任意意子子列列.knaa也也收收敛敛到到证证lim.0,.nnnaaNnN aa设设则则当当 .,knnkaank设设是是的的任任意意一一个个子子列列 由由于于因因此此,.kknkNnkNaa 时时亦亦有有这这就就证证明明了了lim.knkaa 注注2.8由由定定理理可可知知,若若一一个个数数列列的的两两个个子子列列收收敛敛于于不不同同的的值值,则则此此数数列列必必发发散散
12、.例例8 limnnaa求求证证的的充充要要条条件件是是.limlim212aaannnn证证 (必要性必要性)lim0,nnaaN nN 设设，则则时时.|aan所以所以因为因为,12,2NnNn，|1-2aan.|2 aan212()limlim,0,kkkkaaaN 充充分分性性 设设则则kN当当时时，12k-|aa|，2k|aa|.2,NKnN令令当当时时,则则有有|,naa lim.nnaa 所所以以例例91(1)(1).nnnaan若若=证证明明数数列列发发散散解解显显然然21limlim(1)1.2kkkak因此因此,.na数数列列发发散散211limlim(1)1;21kkkak 1.1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.2.仿效例题仿效例题5 5的证法的证法,证明：证明：na若若为为正正有有界界数数列列，则则12limsup.nnnnnnnaaaa复习思考题
