1、第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题2-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程2-3 2-3 斜面上的应力。主应力斜面上的应力。主应力2-4 2-4 几何方程。刚体位移几何方程。刚体位移2-5 2-5 物理方程物理方程2-6 2-6 边界条件边界条件2-7 2-7 圣维南原理圣维南原理2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2-9 2-9 按应力求解平面问题。相容方程按应力求解平面问题。相容方程2-10 2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化2-11 2-11 应力函数。逆解法与半逆解法应力函数
2、。逆解法与半逆解法习题课习题课1一、平面应力问题一、平面应力问题2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体，它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简化和力学的抽象处理，就可以归结为弹性力学平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。z=0 zx=0 zy=0图212xy 特点：1)长、宽尺寸远大于厚度2)沿板面受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力平行于板面且不沿厚度
3、变化，在平板的前后表面上无外力作用。问题相反。0z注意：平面应力问题z =0，但，这与平面应变3二、平面应变问题二、平面应变问题 很长的柱体，在柱面上承受平行于板面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿长度变化。z=0 zx=0 zy=0 x 图 22如：水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。0z注意平面应变问题z =0，但问题相反。，这恰与平面应力xyP42-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题，所有物理量均与z无关。下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并由此导出平衡微分方程。从图21所示的薄板取出一
4、个微小的正平行六面体PABC(图23），它在z方向的尺寸取为一个单位长度。yoxydyyyyxdxxxxxydxxxyxyyxdyyyxyxPABCXYD图23),(yxxxxdx 设作用在单元体左侧面上的正应力是 ，右侧面上坐标 得到增量 ，该面上的正应力为 ，将上式展开为泰勒级数：),(ydxxxnnxnxxxxdxxyxndxxyxdxxyxyxydxx)(),(!1)(),(!21),(),(),(2225略去二阶及二阶以上的微量后便得 同样 、都一样处理，得到图示应力状态。dxxyxyxxx),(),(yxyyx 对平面应力状态考虑体力时，仍可证明剪应力互等定理。以通过中心D并平行于
5、z轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程 ：0DM02121)(2121)(dydxdydxdyydxdydxdydxxyxyxyxxyxyxy将上式的两边除以 得到：dxdydyydxxyxyxxyxy2121令0,0dydx，即略去微量不计，得：yxxy6 下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平衡方程：0111)(11)(:0dydxXdxdxdyydydydxxFyxyxyxxxxx0111)(11)(:0dydxYdydydxxdxdxdyyFxyxyxyyyyy7 整理得:00YxyXyxxyyyxx 这两个微分方程中包含着三个未知函数 。因此决定应力分量的问题是超静定的；还必
6、须考虑形变和位移，才能解决问题。对于平面应变问题,虽然前后面上还有 ,但它们完全不影响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。zyxxyyx,82-3 2-3 斜面上的应力。主应力斜面上的应力。主应力一、斜面上的应力一、斜面上的应力 已知弹性体内任一点P处的应力分量 ，求经过该点任意斜截面上的应力。为此在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平面画出一个微小的三角板或三楞柱PAB。当平面AB与P点无限接近时，平面AB上的平均应力就成为上述斜面上的应力。yxxyyx,设AB面在xy平面内的长度为dS，N为该面的外法线方向，其方向余弦为：my
7、NlxN),cos(,),cos(9PABxyxyNyxNNXNYSNyx图24o 斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB的平衡条件 可得：0 xFmdSldSdSXyxxN除以 即得：dSyxxNmlX同样由 得出：0yFxyyNlmY斜面AB上的正应力 ，由投影可得：NxyyxNNNlmmlmYlX222斜面AB上的剪应力 ，由投影可得：NxyxyNNNmllmmXlY)()(2210二、主应力二、主应力 如果经过P点的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。1.主应力的
8、大小2221)2(2xyyxyx2.主应力的方向 与 互相垂直。12112-4 2-4 几何方程、刚体位移几何方程、刚体位移 在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性体受力以后P、A、B三点分别移动到P、A、B。PoxyABPABuvdxxuudyyvvdyyuudxxvv图25一、一、P P点的正应变点的正应变xudxdxudxdxxuux)(在这里由于小变形，由y方向位移v所引起的PA的伸缩是高一阶的微量，略去不计。12同理可求得：yvy二、二、P P点的剪应变点的剪应变yuxvxy线段PA的转角：xvdxvdxxv
9、v)(同理可得线段PB的转角：yu所以13因此得到平面问题的几何方程：yuxvyvxuxyyx 由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，唯一分量却不能完全确定。142-5 2-5 物理方程物理方程 在完全弹性的各向同性体内，形变分量与应力分量之间的关系根据虎克定律建立如下：xyxyzxzxyzyzyxzzxzyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(115 式中，E为弹性模量；G为刚度模量；为泊松比。三者的关系：)1(2EG一、平面应力问题的物理方程一、平面应力问题的物理方程xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(1)(yxzE且有
10、：16二、平面应变问题的物理方程二、平面应变问题的物理方程xyxyxyyyxxEEE)1(2)1(1)1(122三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系变换关系将平面应力中的关系式：xyxyxyyyxxEEE21)(1)(117作代换112EE就可得到平面应变中的关系式：xyxyxyyyxxEEE)1(2111122 由于这种相似性，在解平面应变问题时，可把对应的平面问题的方程和解答中的弹性常数进行上述代换，就可得到相应的平面应变问题的解。182-6 2-6 边界条件边界条件 当物体处于平衡状态时,其内部各点的应力状态应
11、满足平衡微分方程；在边界上应满足边界条件。按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。一、位移边界条件一、位移边界条件 当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为 ，则有（在 上）：uSuSuusvvs其中 和 表示边界上的位移分量，而 和 在边界上是坐标的已知函数。suusvv19二、应力边界条件二、应力边界条件 当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的力的平衡条件。YlmXmlsxysysyxsx)()()()(其中 和 为面力分量，、为边界上的应力分量。XYsx)(sy)(sxy)(sy
12、x)(当边界面垂直于 轴时，应力边界条件简化为：xYXsxysx)(,)(当边界面垂直于 轴时，应力边界条件简化为：yXYsyxsy)(,)(20三、混合边界条件三、混合边界条件1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条件，令一部分边界上则具有已知面力。则两部分边界上分别有应力边界条件和位移边界条件。如图2-6，悬臂梁左端面有位移边界条件：00vvuuss上下面有应力边界条件：0)(0)(sysyxYX右端面有应力边界条件：0)()(sxysxYqXlqxyo2h2h图2-6212.在同一边界上，既有应力边界条件又有位移边界条件。如图2-7连杆支撑边界条件：0)(0sxysYuu如
13、图2-8齿槽边界条件：0)(0sxsXvvoxy图2-7xyo图2-8222-7 2-7 圣维南原理圣维南原理一、一、圣维南原理圣维南原理 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。二、二、举例举例 设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力 ，如图2-9a。如果把一端或两端的拉力变换为静力等效的力，如图2-9b或2-9c，只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以不计的。如果再将两端的拉力变换为均匀分布的拉力，集度等于 ，其中
14、 为构件的横截面面积，如图2-9d，仍然只有靠近两端部分的应力受到显著的影响。PAP/A25PP2/P2/P2/P2/PP2/P2/PAP/AP/PP图2-9(a)(b)(c)(d)(e)在上述四种情况下，离开两端较远的部分的应力分布，并没有显著的差别。注意：注意：应用圣维南原理，绝不能离开“静力等效”的条件。262-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 在弹性力学里求解问题，有三种基本方法：按位移求解、按应力求解和混合求解。按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求出形变分量，从而用物理方程求出应力分量。一、平
15、面应力问题一、平面应力问题xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(1在平面应力问题中，物理方程为：27由上列三式求解应力分量，得：xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(122将几何方程代入，得弹性方程：)()1(2)(1)(122yuxvExuyvEyvxuExyyx再将式（a）代入平衡微分方程，简化以后，即得：0)2121(10)2121(1222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（a）这是用位移表示的平衡微分方程，也就是按位移求解平面应力问题时所需用的基本微分方程。（1）28将（a）式代入应力边界条件，简化以后，得：YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxu
16、lEssss)(21)(1)(21)(122这是用位移表示的应力边界条件，也就是按位移求解平面应力问题时所用的应力边界条件。（2）总结起来，按位移求解平面应力问题时，要使得位移分量满足微分方程（1），并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件（2）。求出位移分量以后，用几何方程求出形变分量，再用物理方程求出应力分量。二、平面应变问题二、平面应变问题1,12EE 只须将平面应力问题的各个方程中 和 作代换：E292-9 2-9 按应力求解平面问题。相容方程按应力求解平面问题。相容方程 按位移求解平面问题时，必须求解联立的两个二阶偏微分方程，这在数学上是相当困难的。而按应力求解弹性力学平面问题，则避
17、免了这个困难，故更多采用的是按应力求解。按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出形变分量，从而用几何方程求出位移分量。相容方程相容方程由平面问题的几何方程：yuxvyvxuxyyx30可得：yxxvyuyxxyvyxuxyxyyx2223232222)(即：yxxyxyyx22222这个关系式称为形变协调方程或相容方程。（一）平面应力相容方程（一）平面应力相容方程)(1()(2222yYxXyxyx（二）平面应变相容方程（二）平面应变相容方程)(11)(2222yYxXyxyx31 按应力求解平面问题时，无论是平面应力问
18、题还是平面应变问题，应力分量除了满足平衡微分方程和相容方程外，在边界上还应当满足应力边界条件。322-10 2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化可见，在常体力的情况下，应当满足拉普拉斯微分方程（调和方程），应当是调和函数。用记号 代表 ，上式简写为：2222yx 常体力下，两种平面问题的相容方程都简化为：0)(2222yxyxyxyx20)(2yx结论结论 在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，应力分量 、的分布是相同的（两种平面问题中的应力分量 ，以及
19、形变和位移，却不一定相同）。xyxyz33推论推论2 2 在用实验方法测量结构或构件的上述应力分量时，可以用便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便于量测的结构或构件材料；还可以用平面应变情况下的长柱形的结构或构件。推论推论3 3 常体力的情况下，对于单连体的应力边界问题，还可以把体力的作用改换为面力的作用，以便于解答问题和实验量测。推论推论1 1 针对任一物体而求出的应力分量 、，也适用于具有同样边界并受有同样外力的其它材料的物体；针对平面应力问题而求出的这些应力分量，也适用于边界相同、外力相同的平面应变情况下的物体。xyxy342-112-11应力函数。逆解法与半逆解法应力函数。逆解法与半
20、逆解法一、应力函数一、应力函数 按应力求解应力边界问题时，在体力为常量的情况下，应力分量 、应当满足平衡微分方程：xyxy00YxyXyxxyyxyx（a）以及相容方程0)(2222yxyx（b）方程（a）的解包含两部分：任意一个特解和下列齐次微分方程的通解。35特解取为：将齐次微分方程（c）中前一个方程改写为：)(xyxyx根据微分方程理论，一定存在某一个函数 ，使得：),(yxA00 xyyxxyyxyx（c）0,xyyxYyXx（d）xAyAxyx（e）（f）36同样将（c）中的第二个方程改写为：)(xyyxy也一定存在某一个函数 ，使得：),(yxByBxBxyy（g）（h）由式（f）
21、及（h）得：yBxA因而一定存在某一个函数 ，使得：),(yxxByA（i）（j）37将式（i）代入（e），式（j）代入（g），并将式（i）代入（f），即得通解：yxxyxyyx22222,（k）将通解（k）与特解（d）叠加，即得微分方程（a）的全解：yxYyxXxyxyyx22222,函数 称为平面问题的应力函数，也称为艾瑞应力函数。（1）为了应力分量（1）同时也能满足相容方程（b），将（1）代入式（b），即得：0)(22222222YyxXxyyx上式可简化为：0)(22222222yxyx38或者展开为：024422444yyxx进一步简化为：04（2）按应力求解应力边界问题时，如果体力
22、是常量，就只须由微分方程（2）求解应力函数 ，然后用公式（1）求出应力分量，但这些应力分量在边界上应当满足应力边界条件。二、逆解法与半逆解法二、逆解法与半逆解法逆解法：逆解法：先设定各种形式的、满足相容方程（2）的应力函 数 ，用公式（1）求出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。逆解法基本步骤：39半逆解法：半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分和全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数 ，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和
23、由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。设定求出应力分量求出面力（合力）解决什么问题代入代入式（l）应力边界条件确定半逆解法基本步骤：设定导出应力表达式得到正确解答满足边界条件满足04是是否否式（l）应力边界条件40 平面问题的基本理论平面问题的基本理论习题课习题课练习练习1 悬臂梁上部受线形分布载荷，如图所示。试根据材料力学中 的表达式，再用平衡微分方程导出 和 的表达式。xyxy解：解：由材料力学知，过 点横截面 上的弯矩为：PyxlhqhyxlqJyMzz
24、x33332)112(6)6(3lqxMz（1）)(36022323xfyxlhqydyxlhqdyxyxxxyxyx代入平衡微分方程，得：（2）oyxlqP41利用上、下面边界条件确定)(xf将式（3）代入平衡微分方程中的第二式，得：xhyhylhqxlqxgxgxyhylhqdyxyhyyxyy)34(22)(,0)()()34(232332233（4）)4(4343)(,0)(223222hylhqxxlhqxfxyhyxy（3）注意：注意：式（1）、（3）、（4）表达的仅是静力可能的应力分量，若为正确解答，则还需满足以应力表示的相容方程。42ABxyo0 x0 xy0y0yx练习练习2
25、 如图所示为平面物体，角 和角 均为直角，其附近边界表面均不受外力，试说明 、两点的应力状态。ABAB解：解：由于 点附近边界不受外力，该点的应力分量应满足如下边界条件：0)()()(AxyAyAx即 点处于零应力状态。而 点处于凹角的顶点，该点所取的微分单元体的各个面均不是边界面，因此，其上的应力分量是未知的，未必为零，由理论分析知，凹角处 点的应力趋于无限大。AABB43 练习练习3 3 试写出表中所示各平面物体的位移边界条件（用直角坐标），其中第二图中 点不动，过 点的水平线段无转动。oo解：解：各位移边界条件见表所列。hxyohxyo0,0,2,00,2,0vuhyxuhyx0,0,0
26、0,0 xvvuyx44hxyolhxyol0,2,0,0,0,0,0,0,0vhylxvuylxvuyx0sincos,0,0,0,0,0vuylxvuyx45 练习练习44 图所示的几种受力体是否为平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应变问题？ROqxyqhzyoRha)hQQOzyxyRORhb)RlpROpyxOpzlpyc)图 a)所示为平面应力问题。图b）所示荷载垂直作用于板面，故为薄板弯曲问题。图c）所示荷载作用于板边，荷载及横截面沿z轴无变化，且Rl，故为平面应变问题。解：解：解：解：练习练习55 如图所示薄板条在y方向受均匀拉力作用，试证明在板中间突出部分的尖端A处无应
27、力存在。q2NOCBAyqx211N本题可视为平面应力问题，AB和AC都是自由边界（且 ），无面力作用，即：。代入边界条件有：210 YXAB边界：1111sin,cosml(1)0sincos 0sincos y1xy1xy1x1AC边界：12122sincoscosml)2(0sincos0sincos1111yxyxyx 由于A同处于AB，AC边界，因此，需同时满足式（1）和式（2），由此解得：，问题得证。0 xyyx 练习练习6 6 图a）所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力。顶部受集中力P作用。试写出水坝的应力边界条件，固定边不必考虑。PxOyy2hhha)PxOyyxyxyyx
28、b)PxOyyxyc)解：解：1、列出应力边界条件（1）左边界：)1(0)(,0)(hxxyhxx（2）右边界：)2(0)(,)(hxxyyhxx（3）上端部：)5(cos)()4(sin2)()3(sin)(000PdxhPxdxPdxyhhxyhhyyhhyy 练习练习7 7 图所示结构由两种不同材料构成。试求其在竖向均布荷载q作用下的位移和应力解答（设h，a，l，均已知）。qEE,22111、采用位移解法。由于此结构处于双向均匀受压状态（应力、应变为常量），因此，可假设其位移是线性函数，现分上、下两区域表达为：解：解：ABCD部分：)1(,11111111fycxdvcybxauCDEF
29、部分：)2(,22222222fycxdvcybxau显然式（1）、式（2）能满足平面应力情况下的拉梅方程式。2、考虑位移约束和变形连续条件：ayayhyhylxlxvvvuuu)()(0)(,0)(,0)(,0)(212221由此解得：)(,0,002111222222111haeaefdhefdcbacbaqxBDahFllyOACE11E22E)4()(,0)3()()(,02222111hyevuhaeayevu)6(0,01,1)(11,1)(1)5(0,00,02111222221211111211122222212111111211122221111xyxyxyyxyyxyxxxyyxxyyxGeEeEEeEeEEee3、考虑应力边界条件和应力连续条件（CD面为光滑接触）：0)()(,)()(0)(,)(21210101ayxyayxyayyayyyxyyyq由此解得：qEeqEe222212111,14、位移及应力分量为：)(1,0)(1)(1,02222222212111hyqEvuhaqEayqEvu0,0,22221111xyyxxyyxqqqq
