1、 1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程 1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程设：具有完整理想约束的非自由质点系有设：具有完整理想约束的非自由质点系有k k个自由度，个自由度，系统的广义坐标为：系统的广义坐标为：kqqq,21对上式两边求变分，有：对上式两边求变分，有：tqqrrNii,1ni,21kNkkiiqqrr1注意：注意：kNkkiniiqQrF11代入动力学普遍方程：代入动力学普遍方程：011niiiiiniiIiirrmFrFF 有：有：NkknikiiikniiiiiqqrrmQrrmF111 1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程对于完整约束系统，广义坐标
2、相互独立，有对于完整约束系统，广义坐标相互独立，有NkknikiiikniiiiiqqrrmQrrmF111 01nikiiikqrrmQ Nk,21第二项与广义力对应，称为广义惯性力第二项与广义力对应，称为广义惯性力做两个变换（证明略）：做两个变换（证明略）：kikiqrqrkikiqrqrdtdkknikiiiqTqTdtdqrrm 1有：有：1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程01nikiiikqrrmQ Nk,21kknikiiiqTqTdtdqrrm 1得第二类拉格朗日方程：得第二类拉格朗日方程：NkQqTqTdtdkkk,1 1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程例：
3、建立质量为例：建立质量为m m的质点在重力作用下的动力学方程的质点在重力作用下的动力学方程xyzmgNkQqTqTdtdkkk,1 解：解：1 1、系统的自由度为、系统的自由度为k=32 2、系统的广义坐标：、系统的广义坐标：x,y,z3 3、系统的动能：、系统的动能：22221zyxmT 4 4、系统的广义力：、系统的广义力：zQyQxQWzyx 0 0 zyx 0 xQ0 0 zxy 0 yQ0 0 yxz mgQz 0 W 0 W zmgW 1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程xyzmgzmzT 22221zyxmT zmzTdtd 0 zTmgQz mgzm gz NkQqTq
4、Tdtdkkk,1 1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程OBAmg 例：长为例：长为l，质量为，质量为m的匀质杆绕水平轴的匀质杆绕水平轴B转动，求其动转动，求其动力学方程力学方程解：解：1 1、系统的自由度为、系统的自由度为k=12 2、系统的广义坐标：、系统的广义坐标：3 3、系统的动能：、系统的动能：4 4、系统的广义力：、系统的广义力：2222613121 mlmlT QlmgW 2sin jjjQqTqTdtd 2sinlmgQ sin2312mglml 1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程的几种形式第二类拉格朗日方程的几种形式1 1、当主动力均为有势
5、力时、当主动力均为有势力时kNkqqqVQ,1kkkqVqTqTdtd0kkqVTqTdtd0kkqLqLdtd设：设：L=T-V(拉格朗日函数拉格朗日函数 动势动势)NkQqTqTdtdkkk,1 1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程OBAmg 例：长为例：长为l，质量为，质量为m的匀质杆绕水平轴的匀质杆绕水平轴B转动，求其动转动，求其动力学方程力学方程解：解：1 1、系统的自由度为、系统的自由度为k=12 2、系统的广义坐标：、系统的广义坐标：3 3、系统的动能：、系统的动能：4 4、系统的势能：、系统的势能：2222613121 mlmlT sin2312mglml cos12
6、lmgV5 5、拉格朗日函数：、拉格朗日函数：cos126122 lmgmlVTL0kkqLqLdtd 1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程2 2、当主动力包括非有势力时、当主动力包括非有势力时kkNkQqqqVQ,1kkkQqLqLdtd设：设：L=T-V(拉格朗日函数拉格朗日函数)应用拉格朗日方程建立系统动力学的基本步骤：应用拉格朗日方程建立系统动力学的基本步骤：1、确定系统的自由度和广义坐标、确定系统的自由度和广义坐标2、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势能、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势能3、给出系统的拉格朗日函数、给出系统的拉格朗日函数4、确定系统的广义力、确定系
7、统的广义力NkQqTqTdtdkkk,1 1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程例：图示机构在铅垂面内运动，匀质杆例：图示机构在铅垂面内运动，匀质杆ABAB用光滑铰链与用光滑铰链与滑块连接。求系统的运动微分方程。滑块连接。求系统的运动微分方程。AB=2l tFgm1gm2 0lxC解：解：1 1、系统的自由度、系统的自由度 k=2=2，,x系统的广义坐标系统的广义坐标2 2、系统的动能和势能、系统的动能和势能22221212121 CCAJvmvmT Av CAvxvA CAACvvv coslxvCx sinlvCy222222132cos21 lml xmxmmT 1-4 第二类拉格
8、朗日方程第二类拉格朗日方程 tFgm1gm2 0lxCAv CAv 2221cos1kxglmV 222222132cos21 lml xmxmmT VTL 3 3、求非有势力的广义力、求非有势力的广义力 kiixFWQxQ1 tFQx 0 Q4 4、建立系统运动微分方程、建立系统运动微分方程kkkQqLqLdtd 1-4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程4 4、建立系统运动微分方程、建立系统运动微分方程kkkQqLqLdtd 22222222121cos132cos21kxglmlml xmxmmVTL tFkxlmlmxmm sincos22221 0sincos2312222 glm
9、x lmlm 1-5 拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分一、一、能量积分能量积分设：系统主动力为有势力设：系统主动力为有势力如果保守系统，且所受约束均为定常约束，拉格如果保守系统，且所受约束均为定常约束，拉格朗日方程中不显含时间朗日方程中不显含时间t t即即constVT 这就是保守系统的机械能守恒定律，也称为拉这就是保守系统的机械能守恒定律，也称为拉格朗日方程的广义能量积分格朗日方程的广义能量积分NkqLqLdtdkk,1 0对对两端乘以两端乘以 ，并对，并对k求和，得求和，得 kq 02 LTdtd 1-5 拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分二、二、循环积分循环积分设：系统主动
10、力为有势力设：系统主动力为有势力循环坐标：拉格朗日方程中不显含的广义坐标循环坐标：拉格朗日方程中不显含的广义坐标qk(k=1,N)拉格朗日函数：拉格朗日函数：tqqqqqqLNkkN,1111则则constpqTqLkkk该式称为该式称为循环积分循环积分pk 称为对应于称为对应于广义坐标广义坐标qk(k=1,N)的广义动量的广义动量pk 可以是动量、也可以是动量矩可以是动量、也可以是动量矩 1-5 拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分 tFgm1gm2 xCAv CAv例：给出拉格朗日方程的初积分例：给出拉格朗日方程的初积分解：系统的主动力为有势力解：系统的主动力为有势力系统的动能和势能分
11、别为：系统的动能和势能分别为：222222132cos21 LmLxmxmmT cos12 gLmV拉格朗日函数拉格朗日函数 ,xLVTL 不显含广义坐标不显含广义坐标 x 和时间和时间 t tFgm1gm2 xCAv CAv 1-5 拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分 222222132cos21 LmLxmxmmT xpLmxmmqT cos221循环积分循环积分系统的水平动量守恒系统的水平动量守恒CVT 能量积分能量积分机械能守恒机械能守恒1-6 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程1-6 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程设描述系统的位形坐标：设描述系统的位形坐标：nqqq,2
12、1系统的约束方程为：系统的约束方程为：对上式取变分：对上式取变分：sktrrrfnk,2,1 0,21 skrrfniiik,21 01引入拉格朗日乘子引入拉格朗日乘子,s,kk21skrrfniiikk,21 01对对k求和求和 skniiikkrrf1101-6 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程系统的约束方程为：系统的约束方程为：sktrrrfnk,2,1 0,21 交换求和顺序交换求和顺序 skniiikkrrf110 skniniiskikkiikkrrfrrf11110比较动力学普遍方程比较动力学普遍方程01iniiiirrmF 两式相减，有：两式相减，有：011iniskikk
13、iiirrfrmF 1-6 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程011iniskikkiiirrfrmF 对于完整约束系统，选取合适的乘子，使对于完整约束系统，选取合适的乘子，使01skikkiiirfrmF Ni,21带拉格朗日乘子的质点系动力学方程，带拉格朗日乘子的质点系动力学方程，即第一类拉格朗日方程即第一类拉格朗日方程 sktrrrfnk,2,1 0,21 1-6 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程xyzmg解：解：1、系统的约束方程、系统的约束方程01 xf02 zf2、约束方程对各质点坐标的梯度项为：、约束方程对各质点坐标的梯度项为：iixxrf11021jyxrf031kzxr
14、f012ixzrf022jyzrfkkzzrf3201skikkiiirfrmF 例：质量为例：质量为m的质点被约束在光滑的水平轴的质点被约束在光滑的水平轴y上运动，用第一上运动，用第一类拉格朗日方程建立系统的运动微分方程类拉格朗日方程建立系统的运动微分方程1-6 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程xyzmg2、约束方程对各质点坐标的梯度项为：、约束方程对各质点坐标的梯度项为：irfrfrfskskkk1112211111iixxrf11021jyxrf031kzxrf012ixzrf022jyzrfkkzzrf3201skikkiiirfrmF 012skkkrfkrfskkk2121-6
15、 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程xyzmg2、约束方程对各质点坐标的梯度项为：、约束方程对各质点坐标的梯度项为：01skikkiiirfrmF kmgkmgjiFi003、主动力：、主动力：irfskkk111012skkkrfkrfskkk2134、惯性力：、惯性力：kzmjymixmrmii 对对 求求 二阶导数，有：二阶导数，有：01 xf02 zf00zx ,1-6 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程xyzmgmg210,01skikkiiirfrmF 0001iimi000jjymj 002kkmkmg01 xf02 zfctycyy,0第一章第一章 分析力学基础分析力学基础
16、：描述质点系在空间中位置的独立参数：描述质点系在空间中位置的独立参数：广义坐标的数目：广义坐标的数目即即 在双侧、完整约束的条件下，确定质点系位在双侧、完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目置的独立参数的数目：为广义坐标为广义坐标 的的变分，称为广义虚位移变分，称为广义虚位移 Nkqk,2,1 kq第一章第一章 分析力学基础分析力学基础求广义力的方法：求广义力的方法：法一：解析法法一：解析法 nikiikqrFQ1kNkkqQW 1法二：几何法法二：几何法11qWQ 法三：保守系统法三：保守系统NjqVQjj,2,1,01 niiIirFF 第一章第一章 分析力学基础分析力学基础 kjQqTqTdtdjjj,1 1 1、当主动力均为有势力时、当主动力均为有势力时0 jjqLqLdtd2 2、当主动力均为非有势力时、当主动力均为非有势力时jjjQqLqLdtd 当系统为保守系统时，有：当系统为保守系统时，有：1 1、若系统存在循环坐标、若系统存在循环坐标q，则：，则：2 2、若系统的拉格朗日函数不显含时间、若系统的拉格朗日函数不显含时间t t，则：，则：.constpqTqL .constVT第一章第一章 分析力学基础分析力学基础第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程01skikkiiirfrmF Ni,21 sktrrrfnk,2,1 0,21
