1、函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值1函数的函数的极值极值及其求法及其求法最大值最小值问题最大值最小值问题第五节第五节 函数的函数的极值极值与与 最大值最小值最大值最小值第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用(extreme value)函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值2定义定义,0的某邻域内的某邻域内若在若在x),()(0 xfxf 或或的一个的一个为函数为函数则称则称)()(0 xfxf)()(0 xfxf 极大值极大值(或极小值或极小值),函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极值点极值点.恒有恒有极小值极小值(
2、minimal value)极大值极大值(maximal value)一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0(自变量自变量)称为称为函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值31x2x3x4x5x6x 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是局部性局部性的的.在一个区间内在一个区间内,函数可能存在许多个极值函数可能存在许多个极值,最大值与最小值最大值与最小值,有的极小值可能大有的极小值可能大于某个极大值于某个极大值.只是只是一点附近一点附近的的 xyOab)(xfy 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最
3、大值最小值4定理定理1 1(必要条件必要条件)注注如如,3xy ,00 xy.0不是极值点不是极值点但但 x(1)处处取取得得在在点点如如果果函函数数0)(xxf,0处可导处可导且在且在x的的叫做函数叫做函数为零的点为零的点使导数使导数)()(xfxf 驻点驻点.可导函数可导函数的极值点的极值点驻点却不一定是极值点驻点却不一定是极值点.但函数的但函数的2.极值的必要条件极值的必要条件必是必是驻点驻点,费马引理费马引理如果函数如果函数处处在在0)(xxf可导可导,0)(xxf在在且且处取得极值处取得极值,那么那么.0)(0 xf则必有则必有极值极值,3xy xyO.0)(0 xf函数的极值与最大
4、值最小值函数的极值与最大值最小值5xyO32xy 极值点也可能是导数不存在的点极值点也可能是导数不存在的点.如如,32xy 32xy 但但 怎样从怎样从驻点驻点中中与与导数不存在导数不存在的点判断一点的点判断一点单减的分界点单减的分界点,(2)不可导不可导.0 x是极小值点是极小值点.是不是极值点是不是极值点若若 x0 是连续函数是连续函数 f(x)单增、单增、则则 x0必为极值点必为极值点.几何上几何上,0 x在在函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值6定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)且在且在点连续点连续在在设设,)(0 xxf,),()1(00时时若当若当xxx 0)(
5、xf);0(,),(00时时当当 xxx0)(xf),0(则则)(0 xf为为极大值极大值,)()2(0附近不变号附近不变号在在若若xxf )(0 xf则则不是极值不是极值.(极小值极小值);极值的一阶充分条件极值的一阶充分条件3.极值的充分条件极值的充分条件xyO0 x xyO0 x .),(0o0内内可可导导的的某某去去心心邻邻域域 xUx函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值70 x0 x 一般求极值的步骤一般求极值的步骤求导数求导数;求驻点与不可导点求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性;求极值求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值
6、点不是极值点 xyOxyO函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值8例例解解.)1()1()(323的极值及单调区间的极值及单调区间求求 xxxf322)1()1(3)(xxxf313)1()1(32 xx312)1(3)711()1(xxx(1)(2)驻点驻点:,1 x导数不存在的点导数不存在的点:.117 x.1 x(3)列表列表.求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性,确定极值点和极值确定极值点和极值.函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值9x)(xf)(xf),1(1)117,1(117)1,117(1)1,(0非极值非极值极小值极小值0)1(
7、f极极小小值值2.2)117(f极大值极大值 0 不存在不存在极大值极大值驻点驻点:,1 x导数不存在的点导数不存在的点:,117 x.1 x.)1()1()(323的极值及单调区间的极值及单调区间求求 xxxf )(xf312)1(3)711()1(xxx单调增加区间单调增加区间:).,1 ,117,1 ,1,(单调减少区间单调减少区间:.1,117 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值10定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件),0)(0 xf如果如果极大值极大值(极小值极小值).为为则则)(0 xf0)(0 xf),0(极值的二阶充分条件极值的二阶充分条件 对于对于驻点驻点
8、,有时还可以利用函数在该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点.函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值11例例解解.20243)(23的极值的极值求求 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf得得驻驻点点)2)(4(3 xx,66)(xxf )4(f18)4(f故极大值故极大值,60 )2(f18)2(f故极小值故极小值.48 .2,421 xx因为因为,0,0 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值12注注,0)(0时时 xf仍用第一充分条件仍用第一充分条件定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)不能不能应用
9、应用.事实上事实上,0)(0 xf当当,0)(0时时 xf处处在点在点0)(xxf可能有极大值可能有极大值,也可能有极小值也可能有极小值,也可能没有极值也可能没有极值.如如,)(41xxf ,)(42xxf 33)(xxf 处处在在0 x分别属于上述三种情况分别属于上述三种情况.函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值13例例解解.)2(1)(32的极值的极值求求 xxf)2()2(32)(31 xxxf,2时时当当 x时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf1)2(f.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf.)(不存在不存在xf 32)2(1)(xxf所以所以,
10、.)(的的极极大大值值为为xf第一充分条件第一充分条件xyO12函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值14充分条件来判定有无极值充分条件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值可用第二充分条件判断有无极值.运用第一、第二充分条件需要注意运用第一、第二充分条件需要注意:若函数有导数不存在的点时若函数有导数不存在的点时,则可用第一则可用第一(1)(2)则则函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值15baabab二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题1.1.最值的求法最值的求法xyOxyOxyO函数的极值与最大
11、值最小值函数的极值与最大值最小值16(1)其中最大其中最大(小小)者者 求连续函数求连续函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最大上的最大(小小)值的方法值的方法:将闭区间将闭区间a,b内所有驻点和导数不存在的内所有驻点和导数不存在的区间端点区间端点的的就是就是 f(x)最值必在端最值必在端(2)点处达到点处达到.点点(即为即为极值嫌疑点极值嫌疑点)处的函数值和处的函数值和函数值函数值 f(a),f(b)比较比较,在闭区间在闭区间a,b上的最大上的最大(小小)值值.当当 f(x)在闭区间在闭区间a,b上上单调单调时时,函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值17例例解解上的上的在在求
12、函数求函数2,2)1()(31232 xxxf.最大值与最小值最大值与最小值因因3223134322)1(3)1(2 xxxx驻点驻点:,21 x导数不存在的点导数不存在的点:,0 x.1 xxxxxf2)1(3132)(32231 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值18仅需计算仅需计算:,1)0(f.34)2(33 f,1)1(f比较得比较得:因因上的上的在在求函数求函数2,2)1()(31232 xxxf.最大值与最小值最大值与最小值是偶函数是偶函数,)(xf,43最大值最大值为为最小值最小值为为.3433,4)21(3 f122 21 21驻点驻点:,21 x导数不存在的点
13、导数不存在的点:,0 x.1 xxyO函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值19上的上的在在求函数求函数3,0|2|)(xexxf 解解 32)2(20)2()(xexxexxfxx 32)1(20)1()(xexxexxfxx,)3,0(内内在在驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:,1 x,2 x,2)0(f,)3(3ef,)1(ef,0)2(f最大值最大值最小值最小值最大值与最小值最大值与最小值.函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值20(3)对实际问题常常可事先断定最大对实际问题常常可事先断定最大(小小)值必在值必在区间内部取得区间内部取得,如果连续函数在区间内又
14、仅有如果连续函数在区间内又仅有一个极值嫌疑点一个极值嫌疑点,那末这点处的函数值就是最那末这点处的函数值就是最大大(小小)值值.实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;若目标函数只有唯一驻点若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数则该点的函数值即为所求的最大值即为所求的最大(小小)值值.函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值21Ozyx例例解解hrV22 目标函数目标函数,222Rhr 由由得得,)(222hhRV Rh 0)3(222hRVh h2hrR2.应用举例应用举例(1)(2)求最大值点求最大值点半径为半径为R.求内接于球的圆柱
15、体的最大体积求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的设球的设圆柱体的高为设圆柱体的高为2h,底半径为底半径为r,体积为体积为V,函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值22 圆柱体的最大体积一定存在圆柱体的最大体积一定存在,故故唯一驻点唯一驻点3Rh 就是最大值点就是最大值点,最大体积为最大体积为3)3(222RRRV 3334R 令令,0 hV得得3Rh (舍去负值舍去负值)唯一驻点唯一驻点)3(222hRVh 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值23例例敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1公里公里/分的速分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸度向正北逃
16、窜，同时我军摩托车从河的南岸B处处向正东追击，速度为向正东追击，速度为2公里公里/分问我军摩托车何分问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？时射击最好（相距最近射击最好）？北北南南西西东东解解建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()15.0()(ttts )(ts(1)公公里里5.0公里公里4 AB)(ts函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值2422)24()5.0()(ttts .)()2(的最小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5.0(5.752
17、2ttt ,0)(ts令令得得唯一驻点唯一驻点.5.1 t处发起追击后处发起追击后故得我军从故得我军从B.5.1分分钟钟射射击击最最好好北北南南西西东东公公里里5.0公里公里4 AB)(ts函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值25例例 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租套公寓要出租,当租金定为当租金定为每月每月720元时元时,公寓会全部租出去公寓会全部租出去.当租金每月当租金每月增加增加40元时元时,就有一套公寓租不出去就有一套公寓租不出去,而租出去而租出去的房子每月需花费的房子每月需花费80元的整修维护费元的整修维护费.试问房试问房租定为多少可获得最大收入租定为多少可获得最大收入?解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 每月总收入为每月总收入为)(xL)80(x 4072050 x 4072050 x套套函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值26 4068)80()(xxxL 401)80(4068)(xxxL2070 x 0)(xL1400 x（唯一驻点）（唯一驻点）40140068)801400()(xL)(43560 元元)(xL)80(x 4072050 x故每月每套租金为故每月每套租金为1400元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为
