1、函数知识点与典型例题总结函数知识点与典型例题总结函数的概念函数的概念 定义定义表示表示列表法，解析法，图象法列表法，解析法，图象法 三要素三要素定义域，对应关系，值域定义域，对应关系，值域 值域与最值值域与最值观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 函数的图象函数的图象函数的基本性质函数的基本性质 单调性单调性1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性.2.复合函数单调性：同增异减复合函数单调性：同增异减.对
2、称性对称性轴对称：轴对称：f(a-x)=f(a+x);中心对称中心对称:f(a-x)+f(a+x)=2b 奇偶性奇偶性1.先看定义域是否关于原点对称，再看先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是还是-f(x).2.奇函数图象关于原点对称，若奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则有意义，则f(0)=0.3.偶函数图象关于偶函数图象关于y轴对称，反之也成立轴对称，反之也成立.周期性周期性f(x+T)=f(x)；周期为；周期为T的奇函数有的奇函数有f(T)=f(T/2)=f(0)=0.函数常见的几种变换函数常见的几种变换平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换平移变换、对称变换、翻
3、折变换、伸缩变换基本初等函数基本初等函数正正(反反)比例函数比例函数;一次一次(二次二次)函数函数;幂、指数、对数函数幂、指数、对数函数 (定义，图象，性质，应用定义，图象，性质，应用)复合函数复合函数单调性：同增异减单调性：同增异减;奇偶性：内偶则偶，内奇同外奇偶性：内偶则偶，内奇同外抽象函数抽象函数赋值法赋值法函数的应用函数的应用 函数与方程函数与方程函数零点、一元二次方程根的分布函数零点、一元二次方程根的分布 常见函数模型常见函数模型幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型函数函数函数的概念函数的概念函数的基本性质函数的基本性质函数的单调性函数
4、的单调性函数的最值函数的最值函数的奇偶性函数的奇偶性函数知识结构函数知识结构 BCx1x2x3x4x5y1y2y3y4y5y6A函数的三要素：定义域，值域，对应法则函数的三要素：定义域，值域，对应法则A.BA.B是两个非空的数集是两个非空的数集,如如果按照某种对应法则果按照某种对应法则f f，对，对于集合于集合A A中的每一个元素中的每一个元素x x，在集合在集合B B中都有唯一的元素中都有唯一的元素y y和它对应，这样的对应叫做和它对应，这样的对应叫做从从A A到到B B的一个函数。的一个函数。一、函数的概念：一、函数的概念：二、映射的概念设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系
5、f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:AB为集合A到集合B的一个映射映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一使函数有意义的使函数有意义的x x的取值范围。的取值范围。求定义域的主要依据求定义域的主要依据1 1、分式的分母不为零、分式的分母不为零.2 2、偶次方根的被开方数不小于零、偶次方根的被开方数不小于零.3 3、零次幂的底数不为零、零次幂的底数不为零.4 4、对数函数的真数大于零、对数函数的真数大于零.5 5、指、对数函数的底数大于零且不为、指、对数函数的底数大于零且不为1.1.6、实际问题中函数的定义域、实际问题中函数的定义域（一）函
6、数的定义域（一）函数的定义域1、具体函数的定义域、具体函数的定义域1.【-1,2）（2，+）2.（-，-1）（1，+）3.（34,1】2、抽象函数的定义域、抽象函数的定义域1）已知函数）已知函数y=f(x)的定义域是的定义域是1，3，求求f(2x-1)的定义域的定义域2）已知函数）已知函数y=f(x)的定义域是的定义域是0，5)，求求g(x)=f(x-1)-f(x+1)的定义域的定义域3)3)1.1,2;2.1,4);3.-思考：若值域为R呢？分析：值域为R等价为真数N能取（0，+）每个数。当a=0时，N=3只是（0，+）上的一个数，不成立；当a0时，真数N取（0，+）每个数即2函数的值域函数
7、的值域 (1)在函数在函数yf(x)中中,与自变量与自变量x的值相对应的的值相对应的y的值叫的值叫_，_叫函数的值域叫函数的值域 (2)基本初等函数的值域基本初等函数的值域函数值函数值函数值的集合函数值的集合基本初等函数基本初等函数值域值域ykxb(k0)yax2bxc(a0)yax(a0且且a1)ylogax(a0且且a1)ysin x,ycos x ytan x求值域的一些方法：求值域的一些方法：1、图像法，、图像法，2、配方法，配方法，3、分离常数法，、分离常数法，4、换元法，、换元法，5单调性法。单调性法。1)2)3)4)三、函数的表示法三、函数的表示法1、解、解 析析 法法 2、列、
8、列 表表 法法 3、图、图 象象 法法 例例10求下列函数的解析式求下列函数的解析式待定系数法换元法（5）已知：对于任意实数x、y，等式 恒成立，求赋值法赋值法 构造方程组构造方程组法法 (4)已知 ,求 的解析式配凑法1函数的单调性函数的单调性增函数增函数减函数减函数定定义义 一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I：如果对于定义：如果对于定义域域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1,x2 当当x1x2时时,都都 有有_,那么函数那么函数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数 当当x1x2时，都有时，都有_,那么函数那么函数f(x)在区间在区
9、间D上是减函数上是减函数图图象象描描述述自左向右看图象是自左向右看图象是_自左向右看图象是自左向右看图象是_f(x1)f(x2)上升的上升的下降的下降的(1)单调函数的定义单调函数的定义、函数 的单调区间是 2、函数y=ax+b（a0）的单调区间是3、函数y=ax2+bx+c（a0）的单调区间是用定义证明函数单调性的步骤用定义证明函数单调性的步骤:(1)设元，设设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且是区间上任意两个实数，且x1x2;(2)作差，作差，f(x1)f(x2);(3)变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式(4)判号，判号，判断判断 f
10、(x1)f(x2)的符号；的符号；（5）下结论）下结论.1.函数函数f(x)=2x+1,(x1)x,(x1)则则f(x)的递减区间为的递减区间为()A.1,)B.(,1)C.(0,)D.(,0B2、若函数、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间在区间4,+)上是增函数上是增函数,求实数求实数a的取值范围的取值范围3 判断函数判断函数 的单调性。的单调性。拓展提升复合函数的单调性复合函数的定义：设复合函数的定义：设y=f(u)y=f(u)定义定义域域A A，u=g(x)u=g(x)值域为值域为B B，若，若A BA B，则则y y关于关于x x函数的函数的y=fg(x)y=fg(x)叫做
11、函叫做函数数f f与与g g的复合函数，的复合函数，u u叫中间量叫中间量复合函数的单调性若u=g(x)增函数减函数增函数减函数y=f(u)增函数减函数减函数增函数则y=fg(x)增函数增函数减函数减函数规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是是减函数减函数。“同增异减同增异减”复合函数的单调性例题：求下列函数的单调性y=log4(x24x+3)解 设 y=logy=log4 4u u（外函数）（外函数）,u=xu=x2 24x+34x+3（内函数）（内函
12、数）.由 u0,u=x24x+3，解得原复合函数的定义域为定义域为x|xx|x1 1或或x x33.当x(，1)时，u=x24x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(，1)是复合函数的单调减区间；当x(3，)时，u=x24x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+)是复合函数的单调增区间.例4：求 的单调区间.解:设 由uR,u=x22x1,解得原复合函数的定义域为xR.因为 在定义域R内为减函数，所以由二次函数u=x22x1的单调性易知,u=x22x1=(x1)22在x1时单调减，由 xR,(复合函数定义域)x1，(u减)解得x1.所以(，1是复合函数的单调增区间.同理1，
13、+)是复合函数的单调减区间.复合函数的单调性小结复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数；(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减同增异减”。四、函数的奇偶性四、函数的奇偶性1
14、.奇函数奇函数:对任意的对任意的 ,都有都有2.偶函数偶函数:对任意的对任意的 ,都有都有3.奇函数和偶函数的必要条件奇函数和偶函数的必要条件:注注:要判断函数的奇偶性要判断函数的奇偶性,首先首先要看其要看其定义域区间是否关于原点对称定义域区间是否关于原点对称!定义域关于原点对称定义域关于原点对称.奇奇(偶偶)函数的一些特征函数的一些特征1.若函数若函数f(x)是奇函数是奇函数,且在且在x=0处有定义处有定义,则则 f(0)=0.2.奇函数图像关于原点对称奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上且在对称的区间上不改变不改变单调性单调性.3.偶函数图像关于偶函数图像关于y轴对称轴对称,且在对称的
15、区间上且在对称的区间上改变改变单调性单调性一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称.3.3.性质性质:奇奇函数函数在关于原点对称的区间上具有相在关于原点对称的区间上具有相同的单调性同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性具有相反的单调性.(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内在定义域的关于原点对称的公共区间内奇奇奇奇=奇奇;偶偶偶偶=偶偶;奇奇偶偶=非奇非偶非奇非偶.偶偶偶偶=偶；奇偶；奇奇奇=偶；偶偶；偶奇奇=奇奇.(1)(1)奇函数、偶函数
16、的图象特点奇函数、偶函数的图象特点(3)(3)奇偶性与单调性的关系奇偶性与单调性的关系 (1)周期函数：对于函数周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一，如果存在一个非零常数个非零常数T，使得当，使得当x取定义域内的任何值时，取定义域内的任何值时，都有都有f(xT)_，那么就称函数，那么就称函数yf(x)为周为周期函数，称期函数，称T为这个函数的周期为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有的所有周期中周期中_的正数，那么这个最小正的正数，那么这个最小正数就叫做数就叫做f(x)的最小正周期的最小正周期.3周期性存在一个最小存在一个最小f(x)例例
17、12 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性函数的图象函数的图象1、用学过的图像画图。、用学过的图像画图。2、用某种函数的图象变形而成。、用某种函数的图象变形而成。（1）关于）关于x轴、轴、y轴、原点对称关系。轴、原点对称关系。（2）平移关系。）平移关系。（3）绝对值关系。）绝对值关系。反比例函数反比例函数 1、定义域、定义域 .2、值域、值域 3、图象、图象k0k0a0a0时，图象与时，图象与x轴有轴有两个交点两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)，4.二次函数二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在在m,n上的最值上的最值(2)若若 m,n,则则当当 x0n 时时,f(x)min
18、=f(n),f(x)max=f(m).(1)若若 m,n,则则 f(x)min=f(x0)=b2-4ac0=00)的图象的图象方程方程ax2+bx+c=0的根的根ax2+bx+c0(a0)的解集的解集ax2+bx+c0)的解集的解集有两不等有两不等实根实根x1,x2x|xx2有两相等有两相等实根实根x1=x2无实无实根根x|xx1R3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系三者之间的关系x|x1x0 恒成立问题恒成立问题 ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立 f(x)=ax2+bx+c0(a0)在在 m,n 上恒成立上恒成立 f(x)mi
19、n0(xm,n)ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立 f(x)=ax2+bx+c0)在在 m,n 上恒成立上恒成立【例【例1】已知二次函数】已知二次函数f(x)满足满足f(2)1，f(1)1,且且f(x)的最大值是的最大值是8,试确定此二次函数试确定此二次函数 二次函数的解析式有三种形式：二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)；(3)两根式：两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)已知函数的类型已知函数的类型(模型模型),求其解析式求其解析式,用待定系数法用待定系数法,根据根据题设恰当选用二
20、次函数解析式的形式题设恰当选用二次函数解析式的形式,可使解法简捷可使解法简捷【例【例2】已知函数】已知函数 f(x)x22ax3，x4,6(1)当当a2时，求时，求f(x)的最值；的最值；(2)求实数求实数a的取值范围的取值范围,使使yf(x)在区间在区间4,6上是单上是单 调调 函数；函数；(3)当当a1时时,求求f(|x|)的单调区间的单调区间【例【例3】若二次函数若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足满足 f(x1)f(x)2x，且，且f(0)1.(1)求求f(x)的解析式；的解析式；(2)若在区间若在区间1,1上，不等式上，不等式 f(x)2xm恒成立恒成立,求实数求实数m的取值范
21、围的取值范围【例例1】已知函数已知函数 在区间在区间0,1 上的最大值是上的最大值是2，求实数，求实数 a 的值的值.例例2.设不等式设不等式 mx2-2x-m+10)实根分布问题实根分布问题实根分布问题实根分布问题 一元二次方程一元二次方程1、当、当x为全体实数时的根为全体实数时的根 一元二次方程一元二次方程 在某个区间在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题实根分布问题。实根分布问题一般考虑四个方面，即实根分布问题一般考虑四个方面，即：（1）开口方向）开口方向（2）判别式）判别式（3）对称轴）对称轴（4）端点值）端点值 的符号。的符号。2、
22、当、当x在某个范围内的实根分布在某个范围内的实根分布可用韦达定理表达式来书写条件可用韦达定理表达式来书写条件也可也可可用韦达定理表达式来书写条件可用韦达定理表达式来书写条件也可也可可用韦达定理表达式来书写：可用韦达定理表达式来书写：ac0也可也可f(0)0解：寻求等价条件例例1.m为何实数值时，关于为何实数值时，关于x的方程的方程（1）有实根）有实根 （2）有两正根）有两正根 （3）一正一负）一正一负法一法一：设设 由已知得：由已知得：转变为函数，转变为函数，借助于图像，解借助于图像，解不等式组不等式组法二：法二：转化为韦达定理的转化为韦达定理的不等式组不等式组变式题变式题：m为何实数值时，关
23、于为何实数值时，关于x的方程的方程 有两个大于有两个大于1的根的根.法三法三：由求根公式，转化成含根式由求根公式，转化成含根式的的不等式组不等式组解不等式组，得解不等式组，得变式题变式题：m为何实数值时，关于为何实数值时，关于x的方程的方程 有两个大于有两个大于1的根的根.例例3.就实数就实数k的取值，讨论下列关于的取值，讨论下列关于x的方程的方程解的情况：解的情况：结论结论：一元二次方程一元二次方程 在区间上的在区间上的实根分布问题实根分布问题.注：前提注：前提 m,n不是方程不是方程（1）的根的根.3.用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解求解步骤：求解步骤：（1）确定区间）确定区间
24、a，b，验证，验证f(a)f(b)0，给定精确度，给定精确度;（2）求区间）求区间(a，b)的中点的中点x1;（3）计算）计算f(x1)：若若f(x1)=0，则，则x1就是函数的零点；就是函数的零点；若若f(a)f(x1)0，则令，则令b=x1(此时零点此时零点x0(a，x1);若若f(x1)f(b)0，则令，则令a=x1(此时零点此时零点x0(x1，b);(4)判断是否达到精确度判断是否达到精确度:即若即若|a-b|，则得到零点近，则得到零点近似值似值a（或（或b）；否则重复）；否则重复(2)(4).三、用二分法求方程的近似解三、用二分法求方程的近似解例求函数例求函数f(x)=x3+2x2-3x-6，x(1,2)的一的一个的零点个的零点(误差不超过误差不超过0.1).
