1、7.1分类计数原理分类计数原理与分步计数原理（三）分步计数原理（三）一、复习回顾一、复习回顾:两个计数原理的内容是什么两个计数原理的内容是什么?解决两个计数原理问题需要注意什么问题解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧有哪些技巧?练习：练习：三个比赛项目，六人报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？）每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？少种不同的方法？729366 5 412
2、0 36216例例1 用用0,1,2,3,4,5这六个数字这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数的自然数?(3)可以组成多少个大于可以组成多少个大于3000,小于小于5421且各位数且各位数字不允许重复的四位数字不允许重复的四位数?升华发展升华发展一、排数字问题一、排数字问题1、将数字、将数字1,2,3,4,填入标号为填入标号为1,2,3,4的四个的四个方格里方格里,每格填一个数字每格填一个数字,则每个格子的标则每个格子的标号与所填的数
3、字均不同的填法有号与所填的数字均不同的填法有_种种引申引申:号方格里可填，三个数字，有种填号方格里可填，三个数字，有种填法。号方格填好后，再填与号方格内数字相法。号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只有种填法。有种填法。所以共有所以共有3*3*1=9种不同的方法。种不同的方法。二、映射个数问题二、映射个数问题:例例2 设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共有多共有多少种不同的映射少种不同的映射?三、染色问题三、染色问题:例例3 有有n种不同颜色为下列两块广告牌着色种不同颜色为下列两块广告牌着色,
4、要求要求在在四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共边界有公共边界)区域中区域中不用同一种颜色不用同一种颜色.(1)若若n=6,为为(1)着色时共有多少种方法着色时共有多少种方法?(2)若为若为(2)着色时共有着色时共有120种不同方法种不同方法,求求n (1)(2)、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜色使用多次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方案有多少种？同的涂色方案有多少种？解解:按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四个区域依次分四步完成
5、四步完成,第一步第一步,m1=3 种种,第二步第二步,m2=2 种种,第三步第三步,m3=1 种种,第四步第四步,m4=1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案得到不同的涂色方案种数共有种数共有 N=3 2 11=6 种。种。、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜色使用多次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方案有多少种？同的涂色方案有多少种？若用若用2色、色、4色、色、5色色等等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？答答:它们的涂色
6、方案种数它们的涂色方案种数分别是分别是 0、4322=48、5433=180种等。种等。思考：思考：.如图如图,用用5种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的A A、B B、C C、D D四个区域涂色四个区域涂色,规定一个区域规定一个区域 只涂一种颜色只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有不同的涂色方案有 种。种。ABCD分析：分析：如图，如图，A A、B B、C C三个区域两两相邻，三个区域两两相邻，A A与与D D不相邻，因此不相邻，因此A A、B B、C C三个区域的颜色两两三个区域的颜色两两不同，不同，A A、D D两个区域可以同色，也可以不同色，
7、两个区域可以同色，也可以不同色，但但D D与与B B、C C不同色。由此可见我们需根据不同色。由此可见我们需根据A A与与D D同色与不同色分成两大类。同色与不同色分成两大类。解：解：先分成两类：第一类，先分成两类：第一类，D D与与A A不同色，可分成四步完成。不同色，可分成四步完成。第一步涂第一步涂A A有有5 5种方法，第二步涂种方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法；第四步涂种方法；第四步涂D D有有2 2种方法。根据分步计数原理，种方法。根据分步计数原理，共有共有5 54 43 32 2120120种方法。种方法。根据分类计数原理，共有根
8、据分类计数原理，共有12120+600+60180180种方法。种方法。第二类，第二类，A A、D D同色，分三步完成，同色，分三步完成，第一步涂第一步涂A A和和D D有有5 5种种方法，第二步涂方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法。根据分种方法。根据分步计数原理，共有步计数原理，共有5 54 43 36060种方法。种方法。、某城市在中心广场建造一个花圃，、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为花圃分为6个部分（如右图）现要栽个部分（如右图）现要栽种种4种不同颜色的花，每部分栽种一种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，
9、种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有不同的栽种方法有_种种.（以（以数字作答）数字作答）?6?5?4?3?2?1（1 1）与与同色，则同色，则也同色或也同色或也同色，所以共有也同色，所以共有N N1 1=4=43 32 22 21=481=48种；种；所以，共有所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.（2）与与同色，则同色，则或或同色，所以共有同色，所以共有N N2 2=4=43 32 22 21=481=48种；种；（3）与与且且与与同色，则共同色，则共N N3 3=4=43 32 21=241=24种种 解法一：从题意来看解法一：从题意来看6 6部分种部分
10、种4 4种颜色的花，又从图形看种颜色的花，又从图形看知必有知必有2 2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求6、将种作物种植在如图所示的块试验、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有能种植同一种作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）种（以数字作答）425、如图，是、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色
11、。如果颜色可反色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？复使用，那么共有多少种涂色方法？四、子集问题四、子集问题规律：规律：n元集合元集合 的不的不同子集有个同子集有个 。12,.,nAa aa2n例：例：集合集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数它的子集个数为为 ，真子集个数为，真子集个数为 ，非空，非空子集个数为子集个数为 ，非空真子集个数为，非空真子集个数为 。五、综合问题五、综合问题:例例4 若直线方程若直线方程ax+by=0中的中的a,b可以可以从从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的这五个数字中任取两个不同的数字数字,则方程所表示的不同的
12、直线共有多则方程所表示的不同的直线共有多少条少条?、7560075600有多少个正约数有多少个正约数?有多少个奇约有多少个奇约数数?解解:由于由于 75600=275600=24 43 33 35 52 27 7 7560075600的每个约数都可以写成的每个约数都可以写成的形式的形式,其中其中,lkjl753240 i30 j20 k10 l于是于是,要确定要确定7560075600的一个约数的一个约数,可分四步完成可分四步完成,即即i,j,k,li,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值分别在各自的范围内任取一个值,这样这样i i有有5 5种取法种取法,j,j有有4 4种取法种取法,k,k
13、有有3 3种取法种取法,l,l有有2 2种取法种取法,根据根据分步计数原理得约数的个数为分步计数原理得约数的个数为5 54 43 32=1202=120个个.解解:从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶点爬到顶点C1有三类方法有三类方法,从局部上看每类又需两步完成从局部上看每类又需两步完成,所以所以,第一类第一类,m1=12=2 条条 第二类第二类,m2=12=2 条条 第三类第三类,m3=12=2 条条 所以所以,根据加法原理根据加法原理,从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最最近路线共有近路线共有 N=2+2+2=6 条。条。3.一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一
14、个顶从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？共有多少条？4、如果把两条异面直线看成、如果把两条异面直线看成“一对一对”，那么六棱锥的棱所在的那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面条直线中，异面直线共有（直线共有（）对）对A.12 B.24 C.36 D.48B 5.如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙从乙地到丙地有地到丙地有3条路可通条路可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通,从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可通。条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地
15、 解解:从总体上看从总体上看,由甲到丙有由甲到丙有两类不同的走法两类不同的走法,第一类第一类,由甲经乙去丙由甲经乙去丙,又需分两步又需分两步,所以所以 m1=23=6 种不同的走法种不同的走法;第二类第二类,由甲经丁去丙由甲经丁去丙,也需分两步也需分两步,所以所以 m2=42=8 种不同的走法种不同的走法;所以从甲地到丙地共有所以从甲地到丙地共有 N=6+8=14 种不同的种不同的走法。走法。?85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布?86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会
16、唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基?87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯?88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非?89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森?90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰?91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯
17、?92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯?93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹?94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金?95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班?96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳?97.有三个人是
18、我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格?98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根?99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特?100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹?101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰?102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观
19、，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华?103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗?104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭?105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基?106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克?107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我
20、们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼?108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿?109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基?110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆?111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯?112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，
21、照样可以伟大。布鲁克斯?113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯?114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士?115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特?116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂?117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯?118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己
22、的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默?119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀?120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯?121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯?122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑?123.未来不是固定在
23、那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔?124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多?125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子?126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼?127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron?128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温?129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金?
