1、-11.2 点、线、面的投影点、线、面的投影-21.2 1.2 点的投影点的投影 点、线、面是构成物体形状的点、线、面是构成物体形状的基本几何元素基本几何元素。为正确表达物体形状，必须先掌握这些基本几为正确表达物体形状，必须先掌握这些基本几何元素的何元素的投影规律投影规律。1.2.1 点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影 过空间点过空间点A A的的投射线投射线与投影面与投影面P P的交点即为点的交点即为点A A在在P P面上的投影。面上的投影。-3 Pb AP采用多面投影采用多面投影。过空间点过空间点A的投射线的投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的
2、投影。B1B2B3 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。1、点在一个投影面上的投影、点在一个投影面上的投影a 解决办法？解决办法？1.2 点的投影点的投影-4HWV二、点的三面投影二、点的三面投影投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W面）面）投影轴投影轴oXZOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂
3、直-5WHVoX空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。a aa AZY-6WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azx-7XYZOVHWAaa a 点的投影规律点的投影规律:a aOX轴轴 aax=a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax=a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay=a az=x=A到到W面
4、的距离面的距离xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ轴轴-8a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa-9 例题例题1 1 已知点已知点A A的的正面与侧正面与侧面投影，面投影，求点求点A A的水的水平投影。平投影。a-10 例题例题2 2 已知已知A A点的坐标为点的坐标为x x=20mm=20mm，y y=10mm=10mm，z z=15mm=15mm，即，即A A(20(20、1010、15)15
5、)，求作，求作A A点的三面投影点的三面投影图。图。axayHayw151020aaa-1118 例题例题3 3 已知点已知点A A的三面投影，试确定的三面投影，试确定 点点A A的空间位置。的空间位置。x=12z=20y=1812A(12,18,20)20-12 例题例题4 4 已知点已知点A A在在H H面上，点面上，点B B在在W W面上，面上，点点C C在在V V面上，试求各点的投影。面上，试求各点的投影。cccbbbccaaObbaaaAaBbCc-13 三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置
6、关系。位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上b aa a b bB点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下。下。XYHYWZ-142.比较两点的相对位置(b)bbaaa-15重影点：重影点：空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的影面上的投影重合为一投影重合为一点点时，则称此两点为时，则称此两点为该该投影面投影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加()()A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a c-16a(b)a(b)c(d)e(f)
7、e(f)c(d)-17立体上的重影点立体上的重影点EBDCbedcb(a)(b)(c)a(e)c(d)e(d)a(c)a(b)A-18b aba b a 1.2.2 1.2.2 直线的投影直线的投影 直线的投影直线的投影可由直线上任两点的同名投影来确定。如图所示，分别作出直线AB上两端点A、B的三面投影，用直线连接两点的同面投影得到ab、a a b b 和和a b b 即为即为ABAB的的三面投影。三面投影。-19各种位置各种位置直线的投影直线的投影投影面平行线投影面平行线投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（
8、平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线统称特殊统称特殊位置直线位置直线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜垂直于某一投影面垂直于某一投影面与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线-20(1)投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性BAabababABbOabaabababbaBAabababbOabaabOababba-21b a aba b b aa b ba 在其平行的那个投影面上，在其平行的那个投影面上，投影反映投影反映实长实长并反映直并
9、反映直线与另两投影面线与另两投影面倾角倾角。另两个投影面上，另两个投影面上，投影投影平行于相应的投影轴平行于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：实长实长实长实长实长实长ba aa b b 与与H面的夹角面的夹角:与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:-22(2)物体上平行线的投影分析物体上平行线的投影分析-23（1）投影面垂直线的投影特性）投影面垂直线的投影特性BAABBAabb(a)ab(a)babababbaa(b)ababa(b)baba(a)bb(a)abba-24铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 在另外两个投影上在另外两个投影上，反映
10、线段反映线段实长实长且垂直且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性:c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)-25（2）物体上垂直线的投影分析）物体上垂直线的投影分析-26一般位置直线一般位置直线baa b a b ABYOXZVWHa b abab投影特性投影特性：三个投影都缩短了。即三个投影都缩短了。即:都不反映空间线段的都不反映空间线段的实长实长及与三个投影面及与三个投影面夹角夹角，且与三根投影轴都倾，且与三根投影轴都倾斜。斜。-27例例1 1：判别下列直线的空间位置：判别下列直线的空
11、间位置YWabYWabYWab铅垂线铅垂线正平线正平线一般位置线一般位置线-28例1：判断形体中直线的空间位置ACDBABAB是是 线线ACAC是是 线线CDCD是是 线线侧垂线侧垂线a(b)铅垂线铅垂线水平线水平线-29例例2：试分析立体表面上各线段的空间位置。：试分析立体表面上各线段的空间位置。-30例题：判断下列直线的位置abababab-31直线上点的投影直线上点的投影（1 1）若点在直线上若点在直线上,则点的投则点的投影必在直线的同名投影上。影必在直线的同名投影上。若点的投影有一个不在直线的同若点的投影有一个不在直线的同名投影上，名投影上，则该点必不在此直则该点必不在此直线上线上（即
12、不满足从属性）。（即不满足从属性）。判别方法判别方法：AC/CB=ac/cb=a c /c b ABCVHbcc b a a等比性等比性从属性（2 2）直线上的点分割直线之比）直线上的点分割直线之比与其投影分割直线投影之比相与其投影分割直线投影之比相等。即：等。即：-32点点C不在不在直线直线AB上上例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 点点C在直在直线线AB上上-33例例2：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上上所以点所以点K不在不在A上。上。abka b k 方法1：利用从属性方法2：利
13、用等比性-34两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：两直线平行两直线平行 平行平行、相交相交、交叉交叉等三种情况等三种情况。VHabcdABCDc d b a 投影特性：投影特性：空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。之亦然。-35abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直对于一般位置直线，只要有两个同名线，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CD-36b d c a cbadd b a
14、 c 结论结论:对于投影面平行对于投影面平行线，线，只有这两个同名投影只有这两个同名投影互互相平行，空间直线不一定平相平行，空间直线不一定平行。行。若若要用两个投影判断，要用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。其中应包括反映实长的投影。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？-37HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 两直线相交两直线相交判别方法：判别方法：若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必交，且交则其同名
15、投影必交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律（三等）点的投影必符合空间一点的投影规律（三等）。交点是两直线交点是两直线的共有点的共有点-38cabb a c d k kd例：过例：过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正面投先作正面投影影-39 例题例题8 8 给出平面四边形给出平面四边形ABCDABCD的的V V投影及其两条边的投影及其两条边的H H投影，试完成四边形的投影，试完成四边形的H H投影。投影。bccdabakkd-40d b a abcdc1(2 )3(4)两直线交叉两直线交叉投影特性：投影特性：（1）同名投影可能相同名投影可能相交，但交，但“交点交
16、点”不符合不符合空间一个点的投影规律空间一个点的投影规律。（2）“交点交点”是两直线是两直线上的一上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。、在在H H面是重影点。面是重影点。为什么？为什么？123 4 两直线相交吗？两直线相交吗？、在面在面是重影点。是重影点。-41 v XYWZYHdcccababOdabdkkk交点不符合交点不符合投影规律投影规律-42 v OXabcdabcd1(2)124(3)34例：判断两直线的位置关系交叉交叉 判断两重影点其积聚性投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反
17、之不可见，不可见点的投影加括号表示。-43判断三棱锥可见性1(2)123(4)34-44相互垂直的二直线的投影（a）立体图(b)二直相交线垂直(c)二直相交线垂直(d)二直相交线垂直定理一垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则定理一垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二定理二 两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。-45 平面通常用确定该平面的点、直线或平面
18、图形等几何元素的投影表示，如图所示。图1 用几何元素表示平面-46平面的投影特性平面的投影特性平行投影面平行投影面垂直投影面垂直投影面倾斜于投影面倾斜于投影面投投 影影 特特 性性a a、平面平行投影面、平面平行投影面投影反映实形投影反映实形b b、平面垂直投影面、平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线c c、平面倾斜投影面、平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性（1）平面对一个投影面的投影特性）平面对一个投影面的投影特性-47与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜平行于某一投影面垂平行于某一投影面垂直于另两个投影面直于另两个投影面垂直于某一投影面倾垂
19、直于某一投影面倾斜于另两个投影面斜于另两个投影面（2 2）各种位置平面的投影各种位置平面的投影平面对于三投影面的位置可分为平面对于三投影面的位置可分为三类三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面-48投影面垂直面投影面垂直面bHBbVaccOacACaYbWHWVa b c ABCa c b baC-49YHYWYHYWH(1)投影面垂直面的投影特性-50abca c b c b a 积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：在在它垂直的投影面上
20、它垂直的投影面上的的投影积聚成直线投影积聚成直线。该直线该直线与与投投影轴影轴的的夹角夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？为什么？是什么位置的平面？是什么位置的平面？主、左视图主、左视图类似性类似性-51投影面平行面投影面平行面HWVa c b abCABCa b c-52投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性-53a b c a b c abc实形性实形性投影特性：投影特性：在在它所平行的投影面上它所平行的投影面上的投影的投影反映实形反映实形。另两个投影面上另两个投影面上
21、的投影分别的投影分别积聚成积聚成与相应与相应的的投影轴平行的直线投影轴平行的直线。积聚性积聚性积聚性积聚性这是什么位置平面？水平面！-54一般位置平面一般位置平面HWVACBabca b c a b c-55a b c a c b abcc c、一般位置平面一般位置平面三个投影都是类似形。三个投影都是类似形。投影特性：投影特性：-56-571.2.4 点、直线、平面的从属关系点、直线、平面的从属关系 判断直线在判断直线在平面内的方法平面内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线
22、过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。（1 1）平面上取任意直线平面上取任意直线-58abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线。在平面内任作一条直线。解法一：解法一：根据定理一根据定理一解法二：解法二：根据定理二根据定理二问：有多少解？问：有多少解？答：有无数解。答：有无数解。-59例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm。n m nm10c a
23、b cab 答：唯一解！答：唯一解！问：有多少解？问：有多少解？-602.在平面上作正平线和水平线在平面上作正平线和水平线ddee-61（2）平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解-62
24、例题例题 设在四棱台前侧面设在四棱台前侧面BCED上有一点上有一点A。已。已知它的水平投影知它的水平投影a，求正面投影，求正面投影a。bafaffafa-63bckada d b c ada d b c k bc例例2 2：已知：已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCDABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二-64QHPHPHPH投影面垂直面上的点和直线投影面垂直面上的点和直线-65例题例题 给出两坡顶屋面上一点给出两坡顶屋面上一点A的的V 投影投影a,求求a和和a。ayya-661.掌握正投影的基本概念和基本规律。掌握正投影的基本概念和基本规律。2.熟练掌握点的投影规律并能正确绘制。熟练掌握点的投影规律并能正确绘制。3.熟练掌握面的投影规律，并能绘制相关投熟练掌握面的投影规律，并能绘制相关投影。影。4.熟练掌握绘制基本体的投影方法。熟练掌握绘制基本体的投影方法。5.通过练习建立空间概念，熟练掌握空间点、通过练习建立空间概念，熟练掌握空间点、线、面、体与投影的对应关系，并逐步提高线、面、体与投影的对应关系，并逐步提高空间想像力。空间想像力。本本 章章 小小 结结
