1、第四节第四节 广义积分广义积分 函数函数 前面讨论的定积分前面讨论的定积分 事实上存事实上存在两个在两个前提前提：()dbaf xx 积分区间积分区间 是有限的；是有限的；,ba被积函数被积函数 在区间在区间 上是有界的。上是有界的。)(xf,ba 但在许多实际问题中却会但在许多实际问题中却会超越这两超越这两条限制条限制，需要在这两个方面拓宽定积分，需要在这两个方面拓宽定积分的概念。的概念。一、无穷区间上有界函数的广义积分一、无穷区间上有界函数的广义积分 设函数设函数 在无穷区间在无穷区间 上有定上有定义，义，在区间在区间 上可积，极限上可积，极限)(xf),aab)(xf,balim()db
2、baf xx 称为函数称为函数 在无穷区间在无穷区间 上的广义积分，记为上的广义积分，记为)(xf),a()dlim()dbbaaf xxf xx如果此极限存在，称广义积分如果此极限存在，称广义积分 收敛收敛。()daf xx如果极限不存在，称广义积分如果极限不存在，称广义积分 发散发散。()daf xx 显然，无穷限广义积分是积分上限函数显然，无穷限广义积分是积分上限函数概念与函数极限概念的概念与函数极限概念的“复合复合”。在无穷限广义积分在无穷限广义积分收敛时收敛时，它它具有与定积分相同的基本性质具有与定积分相同的基本性质和计算方法。和计算方法。【例题】【例题】计算下列广义积分计算下列广义
3、积分000e de d()debbbxxxxxxxx 0e dxxx 解：解：11ebb 00ee dbx bxxx 00e dlime dbxxbxxxx0e d1xxx故故 11limebbb 11lim1ebb xyexyx000e d e e d(1)e1bbxx bxbxxxxb00e dlime dlim(1)e1bxxbbbxxxxb 0e dxxx 解：解：0e dxxx所以广义积分所以广义积分 发散发散。222001eded()2bbxxxxx(3)20edxxx21(1e)2b2111lim22ebb2200edlimedbxxbxxxx21lim(1e)2bb解：解：xy
4、2exyx201ed2xxx 201ed2xxx22d11()d(1)1xxx xxx2lm1lniaaxx2d(1)xx x(4)(4)解：解：211()dl m1iaaxxxlimln2lnln21aaa0220dd22arctan11xxxxx2d1xx(5)(5)解：解：xy211yx1211ln11d(1 ln)d()xxxxx11 ln1lim1 xxxx 21ln1dxxx(6)(6)解：解：111 ln1 dxxxxx1lim1 10 xx xy2ln1xyx22222200d()(1)d(d)2xxaxxxaxa22lim()xaxxa220(1)dxxxa(7)(7)解：解
5、：220 xxa22limxaaaxxaxy221xyxa O220(1)dxxaxasecxatdsec tan dxatt t223 22d(0)()axaxa(8)(8)解：解：令令 222 3 2332 3d1sec tan d()tanaxatt txaat则则 222 31cos dsint tat 22 31sinat 2233aesin desinecos dxxxx xxx x 0esin dxx x(9)(9)解：解：由于由于esin de(sincos)esin dxxxx xxxx x 故故 eesin d(sincos)2xxx xxxC 得得 esinecose d
6、cosxxxxxx 0sincos11esin dlim2e22xxxxxx xxyesinxyxO22ed(1 e)d(1 e)(1 e)xxxxxxx eed1 e1 exxxxxx20ed(1e)xxxx(10)(10)解：解：1d()1 exxed()1 exxxeln(1 e)1 exxxxC20eedlimln(1e)ln2(1e)1exxxxxxxxxelimln(1 e)ln21 exxxxxxx1elimln limln2ln2e1+exxxxx elimlnln21 e1 exxxxxxy2e(1e)xxxyO20edln2(1 e)xxxx 二、瑕点二、瑕点 有限区间上无
7、界函数的广义积分有限区间上无界函数的广义积分 如果函数如果函数 在点在点 的任一邻域内都的任一邻域内都无界，那么点无界，那么点 称为函数称为函数 的瑕点（的瑕点（无无界间断点界间断点）。）。()f xaa()f x无界函数的广义积分称为无界函数的广义积分称为瑕积分瑕积分。设点设点 为函数为函数 的瑕点，在半开半闭的瑕点，在半开半闭区间区间 上函数上函数 连续，取连续，取 ，如果，如果极限极限a()f x(,a b()f xtalim()dbtatf xx存在，表明函数存在，表明函数 在区间在区间 上的广义上的广义积分积分 收敛收敛，即，即()f x(,a b()dbaf xx()dlim()d
8、bbtaatf xxf xx如果上述极限不存在，称广义积分如果上述极限不存在，称广义积分 发散发散()dbaf x xlim()dttbaf xx存在，表明函数存在，表明函数 在在 上的广义积分收上的广义积分收敛，即敛，即()f x,)a b()dlim()dbttbaaf xxf xxb()f xC,)fa btb 类似地类似地，若点，若点 为函数为函数 的瑕点，函数的瑕点，函数 ，取，取 ，如果极限，如果极限 若若点点 为函数为函数 的瑕点，函的瑕点，函数数 ，当，当两个广义积分两个广义积分 均收敛均收敛时，称广义积分时，称广义积分 收敛收敛，且，且()cacb()f xC,)(,fa c
9、c b()dcaf xx()dbcf xx()dbaf xx和和()d()d()dlim()dlim()dbcbtbtctcaacatf xxf xxf xxf xxf xx否则，称广义积分否则，称广义积分 发散发散。()dbaf xx【例题】【例题】计算下列广义积分计算下列广义积分 所以点所以点 为被积函数的为被积函数的瑕点。瑕点。a0222200ddlimlimarcsin2atttataxxxaaxaxya1ax221yaxO220d(0)axaax 221limxaax 解：解：由于由于1100ln dlim ln dttx xx xxlnyx1Oy10ln dx x 0lim lnx
10、x 解：解：由于由于0 x 所以所以 为被积函数的瑕点。为被积函数的瑕点。10lim lnttxxx0lim(1ln)tt t t 00021lnlim(1)lim1lim111tttttttt 121dxx解：解：被积函数被积函数 在区在区间间 上有无穷间断上有无穷间断点点 ，21x 1,10 x420241020304050500f x()55x101222110dddxxxxxx122001ddlimlimttttxxxx110011limlimttttxx0011lim(1)lim(1)tttt 如果忽视了被积函数在积分区间内有瑕点如果忽视了被积函数在积分区间内有瑕点而作出而作出 就全
11、错了。就全错了。11121d12xxx 10lndxxx 解：解：0123452015105320f x()50 x0 x 为被积函数的瑕点为被积函数的瑕点在积分区间上在积分区间上1000lim2ln4tttx1100dlim2ln 2ttxxxxx003 21ln2lim42lim44112tttttt 1100lnd2 ln dxxxxxy21x1xyxO21d1xxx 解：解：当当 时，被积时，被积函数函数 为无界为无界1x1xx令令 ，则，则1xu21,d2 dxuxu u212101d2 d1xuxu uuxxu1 10 02 21 112082(1)d3uu 这里表明如果瑕积分收敛
12、，用换元法计这里表明如果瑕积分收敛，用换元法计算积分时算积分时可能随着换元与换限瑕积分转化为可能随着换元与换限瑕积分转化为不存在瑕点的定积分不存在瑕点的定积分。又如下例：又如下例：1220d1xxx（6 6）解：解：00.20.40.60.81246810100f x()1.20 x22()1xf xx 被积函数的瑕点是被积函数的瑕点是1x 令令sinxt02t 则则dcos dxt txt0 01 10 021220d1xxx220sincos dcostt tt220sind4t t三、广义积分的敛散性及其判断法三、广义积分的敛散性及其判断法 【例题】【例题】讨论广义积分讨论广义积分 和和
13、的敛散性的敛散性11dpxIx100dpxIx讨论：讨论：无穷限广义积分无穷限广义积分 11dpxIx当当 时，广义积分时，广义积分 1p111dlnxIxx 当当 时，广义积分时，广义积分 1p1111(1)d1(1)11pppxxIpxpp在在 时发散，在时发散，在 时收敛于时收敛于 1p1p11p即广义积分即广义积分 11(1)d1(1)1ppxIpxp 无界函数的广义积分无界函数的广义积分 100dpxIx当当 时，广义积分时，广义积分 1p11000dlnxIxx 当当 时，广义积分时，广义积分 1p1110001(1)d11(1)pppxxpIxpp即无界函数的广义积分即无界函数的
14、广义积分 1110001(1)d11(1)pppxxpIxpp在在 时发散，在时发散，在 时收敛于时收敛于1p1pp11以上结果可以推广至下面的积分以上结果可以推广至下面的积分 d()bpaxxad()bpaxbx)(ba（）当当 时，时，在点在点 右邻域无右邻域无界，积分成为无界函数的广义积分，界，积分成为无界函数的广义积分，0ppax)(1a令令,ddxauxu10()(01)dd1()(1)pbb appabapxupxaup当当 时，函数时，函数 在区间在区间 上可积上可积0ppax)(1,ba 广义积分的广义积分的敛散性，可以通过被积函敛散性，可以通过被积函数的原函数来判断数的原函数
15、来判断，但有时被积函数没有，但有时被积函数没有初等函数表示的原函数，这就需要根据被初等函数表示的原函数，这就需要根据被积函数的性质来判断。找出判断广义积分积函数的性质来判断。找出判断广义积分的敛散性的方法是一个重要的问题，如果的敛散性的方法是一个重要的问题，如果积分收敛，即使原函数无法求得，也可用积分收敛，即使原函数无法求得，也可用其它方法求出广义积分的近似值；如果积其它方法求出广义积分的近似值；如果积分发散，也就没有求值的问题了。分发散，也就没有求值的问题了。(1)(1)无穷限广义积分审敛法无穷限广义积分审敛法 定理定理1 1：非负函数非负函数 ，积分上限函数，积分上限函数则无穷限广义积分则
16、无穷限广义积分 收敛。收敛。C,)fa()()dB,)xaF xf tta()daf xx说明：说明：由于由于 ，在区间在区间 单调增加；又单调增加；又 故故 单调有界，单调有界，必有单侧极限必有单侧极限 ，广义积分，广义积分 收敛。收敛。0)()(xfxF)(xF),a()B,)F xa)(xFlim()lim()dxxxaF xf tt()daf xx定理定理2 2：若非负函数若非负函数 恒有恒有 ，则，则 当广义积分当广义积分 收敛时，收敛时，广义积分广义积分 也收敛；也收敛；当广义积分当广义积分 发散时，发散时，广义积分广义积分 也发散。也发散。,C,),)f gaxa)()(0 xg
17、xf()dag xx()daf xx()daf xx()dag xx证：证：由于由于 恒有恒有 ，以，以及广义积分及广义积分 收敛，应有收敛，应有即积分上限函数即积分上限函数 。故广义积分故广义积分 收敛收敛),ax)()(0 xgxf()dag xx()d()d()dxxaaaf xxg xxg xx()dB,)xaf tta()daf xx 用反证法，若用反证法，若 发散，而发散，而 收敛收敛可由可由判定判定 必收敛，与前提矛盾，故必收敛，与前提矛盾，故 发散。发散。()daf xx()dag xx()daf xx()dag xx定理定理3：若非负函数若非负函数 ,且且 为常数，则为常数，
18、则,C,)f ga()lim()xf xg x 当当 时，广义积分时，广义积分 与与 同敛散。同敛散。0()daf xx()dag xx 当当 时，若广义积分时，若广义积分 收敛，则收敛，则 也收敛。也收敛。0()dag xx()daf xx 当当 时，若广义积分时，若广义积分 发散，则发散，则 也发散。也发散。()dag xx()daf xx证：证：不妨设不妨设 ，0由于由于0)()(limxgxfx就就 ，使得当，使得当 时，时，ac cx 2)()(2xgxf从而有从而有)(23)()(20 xgxfxg根据定理根据定理2 2可知广义积分可知广义积分 与与 同敛散。同敛散。()daf x
19、x()dag xx0)()(limxgxfxac,0当当 时恒有时恒有0 cx)()(xgxf 由于由于 ，故，故 从而有从而有)()()(xgxfxg)(2)()(0 xgxgxf即即 从从 收敛，可判定收敛，可判定()dag xx()()daf xg xx收敛收敛而而()d()()d()daaaf xxf xg xxg xx()daf xx故故 收敛。收敛。即即 ，若，若 发散而发散而 收敛与收敛与相违。相违。)()(limxgxfx0)()(limxfxgx()dag xx()daf xx 在上述例题中讨论的在上述例题中讨论的 积分积分 ，在，在时发散，在时发散，在 时收敛。时收敛。p1
20、1dpxIx1p1p常令常令 作为对比函数，用以判断作为对比函数，用以判断 的敛散性。的敛散性。pxxg1)()daf xx定理定理4 4：非负函数非负函数 如果存如果存在着常数在着常数 和和 使得使得 ，则广义，则广义积分积分 收敛。非负函数收敛。非负函数 如果存在常数如果存在常数 使得使得 ，则广义积分，则广义积分发散。发散。C1,),1,)fx 0A1p pxAxf)()daf xxC1,),1,)fx 0BxBxf)()daf xx定理定理5 5：非负函数非负函数 ，,如果如果存在着常数存在着常数 使得极限使得极限 存在或为存在或为有限值，则广义积分有限值，则广义积分 收敛。如果极限收敛。如果极限 存在，但不等于零或为无穷大，则广存在，但不等于零或为无穷大，则广义积分义积分 发散。发散。C1,)f 1,)x 1p)(limxfxpx()daf xx)(limxxfx()daf xx【例题】【例题】判断下列无穷限广义积分的敛散性判断下列无穷限广义积分的敛散性(2)(2)无界函数广义积分审敛法无界函数广义积分审敛法 四、四、函数函数 1.1.广义积分广义积分 的敛散性与参数的敛散性与参数的关系的关系 10e dsxxxs
