第五章-刚体的转动-课件.ppt

1、一、一、刚体定轴转动的角描述刚体定轴转动的角描述(运动学运动学)第五章第五章 刚体的转动刚体的转动二、转动动能二、转动动能 转动惯量转动惯量三、力矩三、力矩 转动定律（动力学）转动定律（动力学）四、力矩的功、转动中的动能定理四、力矩的功、转动中的动能定理五、角动量五、角动量 角动量角动量守恒守恒定律定律 一、掌握描述刚体定轴转动的三个物理一、掌握描述刚体定轴转动的三个物理量量角位移、角速度、角加速度角位移、角速度、角加速度以及以及角量与线量角量与线量的关系的关系；并能运用匀变速转动方程进行具体计算。；并能运用匀变速转动方程进行具体计算。二、理解二、理解转动惯量转动惯量物理意义，并能进行具体物理

2、意义，并能进行具体 计算。计算。三、掌握刚体三、掌握刚体转动定律转动定律并能具体运用。并能具体运用。教学基本要求：教学基本要求：四、理解力矩，并能计算力矩及力矩的功。四、理解力矩，并能计算力矩及力矩的功。五、掌握角动量、角动量定理及其守恒定五、掌握角动量、角动量定理及其守恒定 律，并能解决相应的问题。律，并能解决相应的问题。从物体而言，我们考虑了它的形状大小，而忽略其从物体而言，我们考虑了它的形状大小，而忽略其形状大小的改变形状大小的改变;从运动而言，我们突出了整个物体的从运动而言，我们突出了整个物体的平动、转动，而忽略了质点间的振动或其他变形运动。平动、转动，而忽略了质点间的振动或其他变形运

3、动。一、一、刚体定轴转动的角量描述刚体定轴转动的角量描述 刚体刚体刚体模型刚体模型:在无论多大的外力作用下在无论多大的外力作用下,形状和大小都保持不变形状和大小都保持不变的物体的物体;即在运动过程中任意两点之间的距离都保持不变的即在运动过程中任意两点之间的距离都保持不变的物体物体().().crij 若把物体分割成若干细微的部分，且把每一细微部分若把物体分割成若干细微的部分，且把每一细微部分看成一个质点，则刚体可以看成是由无数质点构成的质点看成一个质点，则刚体可以看成是由无数质点构成的质点组，由刚体定义可知，组，由刚体定义可知，刚体内任意两质点间的距离是不变刚体内任意两质点间的距离是不变的的，

4、因此刚体是一个特殊的质点系。质点系的规律适用于，因此刚体是一个特殊的质点系。质点系的规律适用于刚体。刚体。因此刚体是比质点更接近实际物体的模型因此刚体是比质点更接近实际物体的模型。刚体运动基本类型：刚体运动基本类型：i i）刚体的平动）刚体的平动平动、平动、转动、平动转动、平动+转动转动 若连结刚体上任意两质点的直线，在运动中恒若连结刚体上任意两质点的直线，在运动中恒不改变其空间取向，则这种运动称为刚体的平动不改变其空间取向，则这种运动称为刚体的平动bca 刚体运动基本类型：刚体运动基本类型：i i）刚体的平动）刚体的平动平动、平动、转动、平动转动、平动+转动转动 在运动中，在运动中，刚体中所

5、有点的运动轨迹都保持完刚体中所有点的运动轨迹都保持完 全相同；全相同；各点也具有相同的各点也具有相同的 。a、v 可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。刚体平动刚体平动 质点运动质点运动iiii）刚体的转动）刚体的转动刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动称为转动。这种运动称为转动。转轴不随时间变化转轴不随时间变化 -定轴转动定轴转动 转轴随时间变化转轴随时间变化 -一般转动一般转动 描述刚体定轴转动用角量最方便。描述刚体定轴转动用角量最方便。iiiiii）通常，刚体的一般运动可看作：通常，刚体的一般运

6、动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成0 刚体中任何质点都在各刚体中任何质点都在各自的转动平面内作圆周运动自的转动平面内作圆周运动 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 角位置角位置 有一绕有一绕z z轴转动的轴转动的物体，物体上物体，物体上任意点任意点P P将以将以A A点为圆心做圆点为圆心做圆周运动。周运动。,tPxy()tsAzPAxy角角 是参考线是参考线APAP在在t t时刻相对于时刻相对于x轴的轴的角位置角位置.()t，s s是点是点P P转过的弧长，转过的弧长，r r 是半径是半径 (AP)(AP)。()/ts r,tPxy()tsA 角位移：角

7、位移：()()ttt 在在 时间间隔内时间间隔内角位置角位置的的变化量变化量为角位移：为角位移：t沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 转动中一般规定：转动中一般规定：逆时针逆时针方向为转动的方向为转动的正方向正方向。沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 ()tt 角位移是矢量吗？角位移是矢量吗？讨论讨论矢量相加应满足交换规则：矢量相加应满足交换规则：ABBA对于角位移满足这一式子么对于角位移满足这一式子么?看一例子：书本的翻转绕（看一例子：书本的翻转绕（1 1）Z/X Z/X 及及（2 2）X/ZX/Z轴转动轴转动9090度。度。122

8、1 说明此时说明此时(有限有限)的角位移不是矢量的角位移不是矢量。但如果角位移无限小，转动的次序不再影响最后的但如果角位移无限小，转动的次序不再影响最后的结果，即：结果，即：因此因此 可以定义成矢量。可以定义成矢量。可证明得到可证明得到。1221.ddddd 角速度角速度平均角速度：平均角速度：avgt瞬时角速度：瞬时角速度：0limtdtdt 矢量矢量 的方向用右手的方向用右手螺旋法则确定螺旋法则确定 的单位为每秒转过的弧度的单位为每秒转过的弧度()()或每秒转过的圈数或每秒转过的圈数()()。srad/srev/ZPAxy正方向正方向是一个矢量是一个矢量 角加速度角加速度定轴转动时，角速度

9、与角加定轴转动时，角速度与角加速度都速度都沿轴向沿轴向。它们可以用。它们可以用标量标量表示。与平动中的直线表示。与平动中的直线运动相对应。运动相对应。ZPAxydtd与与方向相同方向相同角速度增量角速度增量122 21 12 21 12 21 12 21 1 假设向上为正方向，假设向上为正方向，当当 刚体转动加快，刚体转动加快，2 21 1，为正值，方向向上。为正值，方向向上。则则0 0 当刚体转动减慢，当刚体转动减慢，2 21 1,为负值，方向向下为负值，方向向下则则0 0，定轴转动定轴转动与与直线运动直线运动的公式比较的公式比较定轴转动定轴转动直线运动直线运动ddt dxvdt ddt d

10、vadt v a x 恒定角加速度转动恒定角加速度转动质点匀变速直线运动质点匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vv22002()0t20012tt00tdt 00tvvadt 例：例：旋转研磨机在时间旋转研磨机在时间t=0t=0时由时由静止静止开始以开始以3.2 3.2 rad/srad/s2 2的恒定角加速度运动，的恒定角加速度运动，在在 t=0 t=0 参考线参考线 AB AB 是是水平水平的，求：的，求：2.7s2.7s后，后，(a)(a)线线ABAB的角位移；的角位移；(b)(b)旋转研磨机的角速度。旋转研磨机的角速度。解：解：已知已知20021ttt

11、00,0,00t 角量与线量的关系角量与线量的关系Or=|AP|zPAxy 一个刚体绕着固定轴转动，有：一个刚体绕着固定轴转动，有：其中其中 s s、r r、sr求解求解定轴转动定轴转动时，时，,与与 s,v,t 之间的关系之间的关系 分别对应分别对应p p点圆周运点圆周运动的弧长、半径、及转动的弧长、半径、及转动的角度动的角度srdsdrdtdtrvv是线速度是线速度(切向切向)dtdvatrdtdrdtrdat)(rat2van222rrrrvan)(2ran切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度对对定轴转动定轴转动，线量与角量的关系为：线量与角量的关系为：ratran2rvsr切向加速

12、度切向加速度法向加速度法向加速度线速度线速度弧长弧长()()ttt 0limtdtdt 的方向用右手的方向用右手 螺旋法则确定螺旋法则确定dtd与与 同方向同方向d质点各作什么运动？质点各作什么运动？等于零；等于零；为常数；为常数；随时间变化；随时间变化；逆时针方向转动逆时针方向转动 ，反之反之角量小结角量小结飞轮飞轮30s内转过的角度：内转过的角度：rad75)6(2)5(22202210srad6srad3050t例：例：一飞轮半径为一飞轮半径为0.2m0.2m、转速为、转速为150rmin150rmin-1-1，因受因受制动而均匀减速，经制动而均匀减速，经30s30s停止转动停止转动.试

13、求：试求：（1 1）角加速）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2 2）制动开始后）制动开始后t t=6s=6s时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3 3）t t=6s=6s时飞轮边缘上一时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度点的线速度、切向加速度和法向加速度.解解（1）,srad510.0 t=30 s 时，时，飞轮做匀减速转动：飞轮做匀减速转动：设设00时，时，t=0 s 22002()（2）s6t时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度110srad4srad)665(t（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小22sm5

14、.2sm42.0rv该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度22sm105.0sm)6(2.0ra转过的圈数转过的圈数r5.372752N 22220.2431.6narm sm s 转动动能转动动能221iiikmEv转22221)(21Irmiii二、转动动能二、转动动能 转动惯量转动惯量刚体在作刚体在作定轴转动定轴转动，其，其上各质元的动能之和为上各质元的动能之和为rvE Ek k转转称为刚体称为刚体定轴转动的定轴转动的转动动能转动动能)21(2IEk转ri 是质元到轴是质元到轴的垂直距离的垂直距离I I 称为刚称为刚体的体的转动惯量转动惯量iiirm2 所以，刚体转动动

15、能的实质是刚体中所有质点所以，刚体转动动能的实质是刚体中所有质点动能的另一种表示方式。动能的另一种表示方式。转动惯量转动惯量 物理意义物理意义：iiirmI2转动惯量转动惯量 I-反映刚体的转动惯性；反映刚体的转动惯性；质量质量m-反映质点的平动惯性。反映质点的平动惯性。转动惯量转动惯量的大小代表刚体的大小代表刚体转动状态改变转动状态改变的的难易程度难易程度；I与总质量及刚体的质量分布有关，与转动状态无关与总质量及刚体的质量分布有关，与转动状态无关 I与转轴的位置有关，离轴越远，转动惯量越大（转与转轴的位置有关，离轴越远，转动惯量越大（转轴不一定在刚体上）。轴不一定在刚体上）。I I 的单位的

16、单位:千克千克米米2 2(kgm(kgm2 2)质量连续分布质量连续分布mrrmIiiid22 I I的计算方法：的计算方法：质量离散分布质量离散分布2222112rmrmrmIiii 作作 业业 3，4，5，6 2 对对1 1维刚体：维刚体：质量线密度：质量线密度lmdd2 对对2 2维刚体：维刚体：质量面密度：质量面密度Smdd2 对对3 3维刚体：维刚体：质量体密度：质量体密度Vmdd：质量元：质量元md 质量连续分布刚体转动惯量的计算：质量连续分布刚体转动惯量的计算：mrrmIiiid22线分布线分布体分布体分布面分布面分布lO O O O解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离

17、转轴，取一距离转轴 OOOO 为为 处的质量元处的质量元 ，rrmddlrrI02drd32/02121d2lrrIl231mlrrrmrIddd22例例1 1一质量为一质量为 、长为、长为 的的均匀均匀细长棒，求通过棒细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .mlrd2l2lO O O O2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒解解:I I 是可加的，所以若为是可加的，所以若为薄圆筒薄圆筒（不计厚度）（不计厚度）,I I 表达式相同。表达式相同。ROdm例例2 求质量为求质量为m、半径为、半径为R 的的均匀细圆环均匀细圆环的转动惯量。的转动惯量。

18、轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。在圆环上任取质量元在圆环上任取质量元 dmdmRI222mRdmRdmRdI2例例3 求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的的均匀圆盘均匀圆盘 的的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：解：设设为质量体密度，取半径为为质量体密度，取半径为r、厚厚为为l、宽为宽为dr 的同心细圆环的同心细圆环,其质量为：其质量为：2dmrdr l 232dIr dmlr dr ZOR412R l 212ImR 可见，可见，I与厚度与厚度 l 无关。所以，无关。所以，薄圆盘薄圆盘与与实心圆柱实心圆柱对对该

19、轴该轴的转动惯量表达式相同，都是：的转动惯量表达式相同，都是：212ImR 2mR l 302RIdIlr dr r drl2mRI 薄圆筒：薄圆筒：例例4 求半径为求半径为R、质量为质量为 m 的的球体球体绕其直径为轴的转绕其直径为轴的转动惯量动惯量I。ORrZm解解：在球体上沿垂直于转轴：在球体上沿垂直于转轴OZ 取一半径取一半径为为r、厚为、厚为dz 的小圆盘，其质量为：的小圆盘，其质量为：2dmr dz 其绕其绕OZ 轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：241122dIr dmr dz 2221()2Rzdz42241(2)2RR zzdz RRIdI 225mR 221mrI 薄圆盘：薄

20、圆盘：dzz一些刚体的转动惯量一些刚体的转动惯量球壳球壳212Iml23Iml2Imr22Imr22Imr225Imr223Imr2212()2Im rr对质量连续分布的刚体，一般只有在其对质量连续分布的刚体，一般只有在其形状较规形状较规则则时，才能较简便地用时，才能较简便地用积分积分计算出其转动惯量，计算出其转动惯量，更一般的方法是用实验来测量。更一般的方法是用实验来测量。竿子长些还是短些安全？竿子长些还是短些安全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？转动惯量转动惯量的大小取决于刚体的的大小取决于刚体的总质量、分布及转轴的位置总质量、分布及转轴的位置 它比它比

21、物体质量（单值）物体质量（单值）的概念复杂得多。的概念复杂得多。平行轴定理平行轴定理P2mdIICO质量为质量为 的刚体，如果对其的刚体，如果对其质质心轴的转动惯量为心轴的转动惯量为 ，则对任一则对任一与该轴与该轴平行平行，相距为，相距为 d d 的转轴的转轴的转动惯量的转动惯量CImdCOm2221mRmRIP例如：例如：圆盘对圆盘对P P 轴的转动惯量轴的转动惯量RmO2OCIImd iiCRdr()22iiCRdr 2OiiIm R 222iCiCdrd r 222ii iCiiCm dm rmd r ()22Ci iCmdIdm r =0平行轴定理的推导平行轴定理的推导(以质心为坐标原

22、点以质心为坐标原点)例例 右图所示刚体对经过棒一端且与棒垂直的轴的转动右图所示刚体对经过棒一端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？惯量如何计算？(棒长为棒长为L L、圆盘半径为、圆盘半径为R R）221RmIoo2002dmIIL2221211()32LLLooIIIm Lm Rm LR2131LmILL解：解：转动惯量的叠加性转动惯量的叠加性CzzBzAzIIIIRLd,LmOm课堂练习课堂练习BO如图所示，不均匀细杆如图所示，不均匀细杆ABAB，长为，长为L L，质，质量线密度量线密度=0 0 x2 2，A A端挂在一光滑的端挂在一光滑的固定水平轴上，它可以在竖直平面内自固定水平轴上，它可以

23、在竖直平面内自由摆动。求杆绕由摆动。求杆绕A A轴的转动惯量。轴的转动惯量。xA550200202LdxxxdxxILL1、力矩力矩力矩是使物体力矩是使物体转动状态转动状态发生改变的物理量发生改变的物理量Pz*OFr右图表示一个任意的刚体，右图表示一个任意的刚体，它可以绕它可以绕z轴自由转动。轴自由转动。若力若力 在在x-y 平面内平面内，且且作用于作用于P点，点，P点离转点离转轴的垂直距离为轴的垂直距离为r。和和 夹角为夹角为 FFr 径向分量径向分量 对物体转动不起作用对物体转动不起作用;而切向分量而切向分量 引起绕引起绕z轴的转动轴的转动FcosFrsinFF FrFF(i)(i)力矩的

24、定义力矩的定义三、力矩、三、力矩、转动定律转动定律 r r 一定时，一定时，FsinFsin 越大，所产生的角加越大，所产生的角加速度速度越大；越大；Fsin Fsin 一定时，一定时，r r 越大，所越大，所产生的角加速度产生的角加速度越大。越大。实验证明：实验证明：rsin=drsin=d，称力臂称力臂，表示转轴到力作用线，表示转轴到力作用线的垂直距离。的垂直距离。定义力矩：定义力矩：Pz*OFrrFFMFrM大小：大小：方向：由右手螺旋定则确定方向：由右手螺旋定则确定FdrFFrsinMd r=0=0，力作用于转轴；，力作用于转轴；1800或或 ，即力沿径向作用，即力沿径向作用 F=0=

25、0，外力为零；外力为零；M为为零对应以下情形：零对应以下情形：注意：影响刚体转动状态的力矩垂直于注意：影响刚体转动状态的力矩垂直于F F与与r r所组所组成的平面（即转动平面），沿转轴方向成的平面（即转动平面），沿转轴方向,单位：米单位：米牛顿牛顿(mN)(mN)Pz*OrF力矩的轴向分量力矩的轴向分量xyFzF()xyzrFF xyzrFrF z zxyFFF（i i）若力）若力 不在转动平面内不在转动平面内F把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量：把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量：FrMxyzFrM此力矩对固定的此力矩对固定的z轴有轴有破坏作用，但对刚体的破坏作用，但对刚体的转动

26、不起作用。转动不起作用。M Mz z将改变刚体的转动状将改变刚体的转动状态态OjiijMM321MMMM(ii)(ii)有几个外力同时作用在刚体上，有几个外力同时作用在刚体上，合力矩的量值等合力矩的量值等于这几个力各自产生的力矩的和于这几个力各自产生的力矩的和。所以刚体的总内力矩恒为零。所以刚体的总内力矩恒为零。(iii)(iii)刚体内作用力和反作用力的力矩：刚体内作用力和反作用力的力矩：jririijFjiFjjiMijMFF（a）两力大小相等、方向相反、作用在同一直线上）两力大小相等、方向相反、作用在同一直线上（b）两力大小相等、方向相反作用在不同直线上）两力大小相等、方向相反作用在不同

27、直线上这一对力称为这一对力称为力偶力偶，其力矩不为零。，其力矩不为零。FF0iM0iM0iF0iF（iV）两种特殊力的情况：）两种特殊力的情况：（V）刚体平衡条件：）刚体平衡条件：0iM0iF，且，且转动定律是关于转动定律是关于转动的动力学转动的动力学，即要推导出，即要推导出转转动的牛顿第二定律动的牛顿第二定律。-加速度加速度 m-质量质量 -力 -角加速度角加速度 I -转动惯量转动惯量 -力矩力矩转动定律转动定律平动定律平动定律FrMamFIM aF转动的牛顿第二定律（转动定律）转动的牛顿第二定律（转动定律）转动的牛顿第二定律（转动定律）转动的牛顿第二定律（转动定律）质量元在转动平面内受外

28、质量元在转动平面内受外力力 ，内力，内力 iFejiFzOimiriFjiijieiamFF对该质元对该质元,由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：iiijiieiiamrFrFr)(,iiizjizeiarmMM2,iizjizeirmMMratran2无贡献无贡献 iFeiiiizjiizeirmMM2,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.外外力矩力矩内内力矩力矩2,iizjizeirmMM对所有刚体的质元求和：对所有刚体的质元求和：转动惯量转动惯量I IzzeIM,-转动的牛顿第二定律

29、（转动定律）转动的牛顿第二定律（转动定律）总内力矩为零总内力矩为零总外力矩总外力矩zzeIM,转动的牛顿第二定律转动的牛顿第二定律 注意：注意：,必须绕必须绕同一轴同一轴来计算。来计算。如果有如果有许多许多外力作用在系统上，则需将所外力作用在系统上，则需将所 有外力绕同一个轴的力矩有外力绕同一个轴的力矩加加起来（矢量和）。起来（矢量和）。zI,zeM,与与F=maF=ma相比较，相比较，力矩是使刚体产生角加速度的原力矩是使刚体产生角加速度的原因因，转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量.(.(与质点运动学中的与质点运动学中的m m作用相对应）作用相对应

30、）例例1 一个飞轮的质量为一个飞轮的质量为69kg，半径为，半径为0.25m,正在正在以每分以每分1000转的转速转动。现在制动飞轮，要转的转速转动。现在制动飞轮，要求在求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。秒内使它均匀减速而最后停下来。求求 闸瓦对轮子的压力闸瓦对轮子的压力N N 为多为多大？制动力大？制动力F F 多大？（假设多大？（假设飞轮的质量都集中在轮缘上）飞轮的质量都集中在轮缘上）=0.50=0.50。F0解：飞轮匀减速时有角加速度解：飞轮匀减速时有角加速度01000/min2000/60104.7/rrad s 0 5ts 20020.9rad/st Dd外力矩是摩擦阻力矩，外

31、力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。角加速度为负值。2NRmR 784NmRN 0NfrNRRfMrNdFD DNdF 2mRIN N是如何产生的？是如何产生的？例例2 m1m2Rm如图，如图，m1 m2，设，设滑轮是质量滑轮是质量为为m，半径为半径为R 的均匀圆盘，求的均匀圆盘，求 m2 的上升加的上升加速度速度(设滑轮与绳子之间无相对滑动）。设滑轮与绳子之间无相对滑动）。111m gTm a222Tm gm a T1T2()21212T RT RmR/12122mmagmmm aR m1gm2g21TT 例例1 1例例III 作作 业业8（用两种方法解，尺长1m），11，14，15，16 补

32、充题：补充题：证明：证明：对于质量为对于质量为m,长为长为a宽为宽为b的矩形均质薄板，的矩形均质薄板，通过板的几何中心且垂直于板面的转轴的转动惯通过板的几何中心且垂直于板面的转轴的转动惯量为量为 221()12Im ab力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功,动能动能,动能定理动能定理力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功,转动动能转动动能,动能定理动能定理orvFxvFoxrd 1 1、力矩的功、力矩的功cosFrd 四、力矩的功和转动动能定理四、力矩的功和转动动能定理 y一刚体可绕一刚体可绕 y 轴任意转动，轴任意转动，在在 x-z 平面上施加力平面上施加力F。zM

33、dMddW dsFdWcosds 刚体在外力作用下刚体在外力作用下,绕定轴转动而发生角位移时绕定轴转动而发生角位移时，我们说力矩对刚体作了功。，我们说力矩对刚体作了功。(对比力作功。对比力作功。)注：注：公式中公式中M是指作用在刚体上的合外力矩是指作用在刚体上的合外力矩，公式为合外力矩对刚体所作的功，合内力矩对，公式为合外力矩对刚体所作的功，合内力矩对刚体所作的功为零。刚体所作的功为零。MddW 对整个刚体做功对整个刚体做功21MdW对刚体中质量元做功对刚体中质量元做功 力矩对转动物体作的力矩对转动物体作的功功等于相应等于相应力矩和角位力矩和角位移的乘积移的乘积。做功正、负的含义？做功正、负的

34、含义？力矩的功率：力矩的功率：单位时间内力矩所作的功称力矩的功率单位时间内力矩所作的功称力矩的功率dtdWP(瞬时瞬时)力矩功率为力矩功率为 当当M M为恒量时为恒量时MdtdMdtdWP已经知道：刚体定轴转动的动能为：已经知道：刚体定轴转动的动能为：2、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理221iiikmEv22221)(21Irmiii动能定理动能定理dtdIIM转动定律：转动定律：21MdW21ddtdI21dI122122)(21转转kkEEI合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的刚体的转动动能转动动能的增量。的增量。-定

35、轴转动的动能定理定轴转动的动能定理12转转kkEEW21MdW221IEk转 如果刚体如果刚体既有平动既有平动，又有转动又有转动，则其动能：，则其动能：此时，刚体运动的动能定理为：此时，刚体运动的动能定理为：222121ImvEk12kkEEWW内力外力在刚体的运动过程中，若在刚体的运动过程中，若只有保守内力作功只有保守内力作功，则此系统的则此系统的机械能守恒机械能守恒。机械能守恒机械能守恒0,0),(12外力非保内力保内力WWEEWpp1122PkPkEEEE圆盘圆盘:转动，拉力转动，拉力 的力的力矩作功为矩作功为oR Rh hmmm mm m2202212121III 、分别为圆盘分别为圆

36、盘终了和起始时的角坐终了和起始时的角坐标和角速度标和角速度 .0,0dd00TTFRRF例例1 1 一质量为一质量为 、半径为、半径为R R 的圆盘，可绕一垂直通的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动过盘心的无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳，圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为一端挂质量为m m 的物体的物体.问物体在静止下落高度问物体在静止下落高度h h 时，其速度的大小为多少时，其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计设绳的质量忽略不计.m解解:两个研究对象：两个研究对象：圆盘圆盘+物体物体；分别应用动能定理。；分别应用动能定理。TFoTFNFPTFPm m2TT21dd00IFRRF解得

37、解得ghm2)2(mm2mmmgh2v圆盘的转动惯量圆盘的转动惯量221RmIRdFmghdyFmghTyyT00oTFNFPTFPm mRv物体物体：平动，重力与拉力做功：平动，重力与拉力做功y2202212121vvvmmm又又 ，例例2 2 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。始时处于水平位置，然后让它自由下落。）LL22mg求：求：图示位置杆的图示位置杆的解一：解一：=M=Lmg12sin Md=W dW0 dmgLcos21 =Lgsin3=W012I2 Lmgcos21）LL22mg解二：解二：IMI=M3=LmgLcos

38、12m2gLcos=32dt=ddddtd=dd=dddd d 0dw 0gLsin=3221 0d 02cos3Ldg 0 dLg2sin3）LL22mg解三：用机械能守恒解三：用机械能守恒hmgI221sin2312122LmgmL=Lgsin3例例3 3 一只刚性雕塑品由一个细环（质量为一只刚性雕塑品由一个细环（质量为m m；半；半径为径为R=0.15m)R=0.15m)和一个径向细杆（质量为和一个径向细杆（质量为m m；长；长L=2.0R)L=2.0R)构成。该雕塑品可以绕在环的平面内通构成。该雕塑品可以绕在环的平面内通过其中心的一个水平轴自由转动。（过其中心的一个水平轴自由转动。（a

39、)a)求雕塑品求雕塑品对转轴的转动惯量；（对转轴的转动惯量；（b)b)雕塑品由静止，绕轴从雕塑品由静止，绕轴从最初的竖直位置开始运动，当它倒过来时，它对最初的竖直位置开始运动，当它倒过来时，它对轴的角速度是多少？轴的角速度是多少？转轴转轴解解:（a)棒环III221mRI环2mdIIcom棒22)2(121LRmmLRL2解解:（b)以雕塑品和地球作为研究系统，无外力作以雕塑品和地球作为研究系统，无外力作用，即只有非保守内力做功，机械能守恒用，即只有非保守内力做功，机械能守恒转轴转轴0PKEE0212IEk可可求求出出)2(2RmEp或)4(RmgEp1 1 质点的角动量及其性质质点的角动量及

40、其性质Lrprmv质量为质量为m 的质点以速度的质点以速度v 在在空间运动，某时刻相对原点空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为r，则质点相对，则质点相对于原点的于原点的动量矩动量矩或或角动量角动量：大小：大小：Lrmvsin=I方向：右手螺旋定则判定方向：右手螺旋定则判定Lrpmo rpL注意：注意：质点质点的角动量相对的角动量相对点点定义；定义；即使对即使对定轴转动定轴转动的刚体角的刚体角动量也相对动量也相对点点定义。定义。质点角动量（动量矩）的定义质点角动量（动量矩）的定义五、角动量五、角动量 角动量角动量守恒守恒定律定律 krmvI同一运动的质点对同一运动的质点对不同参考点不同

41、参考点的的角动量一般角动量一般是不同的是不同的。如圆锥摆的摆球对如圆锥摆的摆球对O、O 点的角动量分别为点的角动量分别为O点：点：LLOO rRLLrmvrm R大小恒定，方向时刻在变化大小恒定，方向时刻在变化O 点：点：2LRmvR m 大小和方向都恒定不变大小和方向都恒定不变例：例：一质量为一质量为m 的质点沿着一条空间曲线运动，的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径该曲线在直角坐标下的矢径为：为：，cossinratibt j 求：求：该质点对原点的角动量。该质点对原点的角动量。cossinratibt j sincosdrvatibt jdt Lrmv 解：解：已知已知2

42、2cossinmabtkmabtk mabk ,?dpdLFdtdt ()dLddpdrrprpdtdtdtdt ,0drvvpdt 质点的角量形式的牛顿第二定律质点的角量形式的牛顿第二定律Lrp MFrdtpdrdtLdMdtLdMdtId)(质点对参考点质点对参考点 O 的的角动量随时间的变化角动量随时间的变化率率等于作用于质点的等于作用于质点的合力对该点的力矩合力对该点的力矩-质点的质点的角量形式的牛顿第二定律。角量形式的牛顿第二定律。MdtLd力矩和角动量必须相对力矩和角动量必须相对同一固定点同一固定点定义。定义。注意注意 两边积分两边积分2 2 质点的角动量（动量矩）定理质点的角动量

43、（动量矩）定理MdtLddtMLd2112ttdtMLL定义定义 为为冲量矩冲量矩 21ttdtM单位：米单位：米牛顿牛顿秒秒(mNs)(mNs)量纲：量纲：MLML2 2T T-1-1 冲量矩是描述刚体转动状态发生改变的物理冲量矩是描述刚体转动状态发生改变的物理量，它表示力矩在时间过程中的累积效应。量，它表示力矩在时间过程中的累积效应。（1 1）（1 1）式的含义：）式的含义：质点所受的质点所受的冲量矩冲量矩等于质点等于质点角角动量的增量动量的增量。质点的角动量定理（或动量矩定理）质点的角动量定理（或动量矩定理）（积分形式）（积分形式）)(iiiiiiiivmdtdrvmdtrddtLd质点

44、质点系系的角动量的角动量 质点系的角动量质点系的角动量一质点系的总角动量等于各单个一质点系的总角动量等于各单个质点角动量的矢量和质点角动量的矢量和iiiiiLLrp 角动量的时间变化率角动量的时间变化率()iiiirFF 外外内内Ozeroiiiivmriiiiamr相对于相对于固定点固定点内力的力矩和为零内力的力矩和为零内力总是成对出现，大小相等，方向相反内力总是成对出现，大小相等，方向相反()ijijrrF ijFirjiFjrOijrijijrF 0 一对内力的力矩和为零，所以一对内力的力矩和为零，所以内力的总力矩为零。内力的总力矩为零。jijijijiijFrFrMMiiidLrFdt

45、 外外 质点系角动量牛顿第二定律质点系角动量牛顿第二定律 质点系角动量（动量矩）定理质点系角动量（动量矩）定理（积分形式）积分形式）4 4 质点系的角量形式牛顿第二定律质点系的角量形式牛顿第二定律)(内内外外iiiiFFrdtLd0内内iiiFr,iM外 21,12ttidtMLL外内力矩总和内力矩总和MdtLd5 5 刚体的角动量及其性质刚体的角动量及其性质每个质量微元相对于每个质量微元相对于点点的角动量为：的角动量为：iiiLrm v 整个刚体相对整个刚体相对点的角动量：点的角动量：zRi mixy riO设刚体绕设刚体绕 z 轴作定轴转动轴作定轴转动,如何求出其如何求出其轴向角动量轴向角

46、动量？iiivmrL角动量与角速度不一定同方向！角动量与角速度不一定同方向！通常最关心的是沿转轴方向的角动量，此量可推得通常最关心的是沿转轴方向的角动量，此量可推得iiiZRmRLzRi mixy riO 可见，可见，转轴方向的转轴方向的角动量角动量（动量矩）是刚体转动惯量（动量矩）是刚体转动惯量和角速度的乘积，写成矢量和角速度的乘积，写成矢量2iim R iiiZRmRL单位：单位：千克千克米米2 2秒秒-1-1(kgm(kgm2 2ss-1-1)量纲：量纲：MLML2 2T T-1-1VmP与动量与动量 相似，相似，动量矩是描述刚体绕定。动量矩是描述刚体绕定。轴转动状态的一个物理量轴转动状

47、态的一个物理量ZZIL zL Iz 因刚体属于质点系，质点系的因刚体属于质点系，质点系的角量形式的牛顿角量形式的牛顿第二定律第二定律及及角动量定理角动量定理，对刚体同样适用。，对刚体同样适用。iMdtLd外 21,12ttidtMLL外 角动量随时间的变化率等于作用在刚体上对给角动量随时间的变化率等于作用在刚体上对给定轴的合外力矩。它是转动定律的另一表达方式定轴的合外力矩。它是转动定律的另一表达方式.此式意义更加普遍，它不仅适用于转动惯量此式意义更加普遍，它不仅适用于转动惯量I I为恒为恒量的过程，也适用于在物体转动过程中，量的过程，也适用于在物体转动过程中，I I发生变发生变化的过程，而化的

48、过程，而M=IM=I仅适用于转动惯量不变的过程仅适用于转动惯量不变的过程。动量矩定理动量矩定理:转动物体所受合外力矩的冲量矩转动物体所受合外力矩的冲量矩,等于在这段时间内转动物体动量矩的增量等于在这段时间内转动物体动量矩的增量 刚体转动过程刚体转动过程I I不变，刚体从不变，刚体从t t1 1时刻到时刻到t t2 2时刻时刻的角速度由的角速度由 1 12 221ttdtM 当物体转动过程当物体转动过程I I发生变化时，物体的角速发生变化时，物体的角速度从度从t t1 1时刻的时刻的1 1变为变为t t2 2时刻的时刻的2 2，转动惯量由，转动惯量由I I1 1变为变为J J2 2,则则 21t

49、tdtM非刚体的动非刚体的动 量矩定理量矩定理21)(Id12II1122II例例 如图所示如图所示,一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一的子弹以水平速度射入一静止长棒的下端静止长棒的下端,棒的顶端固定棒的顶端固定,可在竖直平面可在竖直平面内转动，子弹穿出后速度损失内转动，子弹穿出后速度损失3/4,3/4,求求 子弹穿子弹穿出后棒的角速度出后棒的角速度。已知棒长为。已知棒长为l,质量为质量为M.v0vmM以以f 代表棒对子弹的阻力代表棒对子弹的阻力,对子弹有对子弹有:()0034fdtm vvmv 子弹对棒的反作用力对棒的冲量子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩：矩：f ldtlf dtI ff

50、 003944mv lmvIMl 213IMl 解解:用用角动量定理角动量定理解解l0六、角动量守恒六、角动量守恒定律定律 角动量守恒条件角动量守恒条件（i）质点角动量守恒条件质点角动量守恒条件netMdtLd恒矢量当L，Mnet0（ii）质点系角动量守恒条件）质点系角动量守恒条件合力矩合力矩为零时，其角动量为一恒矢量。为零时，其角动量为一恒矢量。iMdtLd外恒矢量当外LMi,0合外力矩合外力矩为零时，系统总角动量为一恒矢量。为零时，系统总角动量为一恒矢量。（iii）定轴转动）定轴转动刚体的角动量守恒条件刚体的角动量守恒条件刚体定轴转动，一般对轴向角动量感兴趣。若刚体定轴转动，一般对轴向角动