1、xyo简单的线性规划问题简单的线性规划问题问题情境问题情境 某工厂用某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用产品使用4个个A配件耗时配件耗时1 h，每生产一件乙产品使用，每生产一件乙产品使用4个个B配件配件耗时耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得，该厂每天最多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配配件，按每天件，按每天8 h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？2841 641 200 xyxyxy（1）问题问题 如图，图中的阴影如图，图中的阴影部分的整点（坐标部分的整点（坐标为整数
2、的点）就代为整数的点）就代表所有可能的日生表所有可能的日生产安排产安排.xx+2y-8=0yx83o404设工厂获得的利润为设工厂获得的利润为z，则，则z=2x+3y，求求z的最大值的最大值.2,33zkb 表示斜率在y轴上的截距的直线几何画板几何画板若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产万元，生产一件乙产品获利品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？万元，采用哪种生产安排利润最大？变形变形：2,33zyx 问题可以转化为转化为：233zyx 当直线3z 与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距 最大.形成概念形成概念yx4843
3、o 把求最大值或求最小值的的函数称为把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数目标函数，因为它是关于变量因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称的一次解析式，又称线性目标函数线性目标函数.满足线性约束的解（满足线性约束的解（x x，y y）叫做）叫做可行解可行解.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划线性规划问题问题.一组关于变量一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性的一次不等式，称为线性约束条件约束条件.由所有可行解组成的集合叫做由所有可行解组成的集合叫做可行域可行域.使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
4、做这个问题的使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解最优解.可行域可行域可行解可行解最优解最优解 深化概念深化概念问题问题1：上述问题中，若生产一件甲产品获利：上述问题中，若生产一件甲产品获利3万万元，生产一件乙产品获利元，生产一件乙产品获利2万元，又该采用哪种万元，又该采用哪种生产安排，利润最大？生产安排，利润最大？问题问题2：有上述过程，你能得出最优解与可行：有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？域之间的关系吗？例例5 5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg0.075kg的碳水化的碳水化合物，合物
5、，0.06kg0.06kg的蛋白质，的蛋白质，0.06kg0.06kg的脂肪，的脂肪，1kg1kg食物食物A A含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg0.07kg蛋白质，蛋白质，0.14kg0.14kg脂肪，花费脂肪，花费2828元；而元；而1 1食物食物B B含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.14kg0.14kg蛋白质，蛋白质，0.07kg0.07kg脂肪，花费脂肪，花费2121元元.为了满足营养专家指出的日常饮食为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A A和食
6、物和食物B B多少多少kgkg？食物kg碳水化合物kg蛋白质/kg脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格应用举例应用举例解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z，则，则00671461475770006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyxyxyxyxyx目标函数为目标函数为z28x21yxyo5/75/76/73/73/76/7MM点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组6714577yxyx得得M点的坐标为：
7、点的坐标为：7471yx所以所以zmin28x21y16答：每天食用食物答：每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常饮食，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为要求，又使花费最低，最低成本为16元元.432 1zyx 把目标函数把目标函数z28x21y 变形为变形为 ,它表示斜率为它表示斜率为 随随z变化的一族平行直线变化的一族平行直线.43 是直线在是直线在y轴上的截距，当截轴上的截距，当截距最小时，距最小时，z的值最小的值最小.2 1z由图知，当直线由图知，当直线z28x21y 经过可行经过可行域上的点域上的点M时，截距最小，即时，截距最小，即z最小最小.解线
8、性规划问题的步骤：（2）移移：在线性目标函数所表示的一族平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（3）求求：通过解方程组求出最优解；（4）答答：作出答案.（1）画画：画出线性约束条件所表示的可行域；2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0直线直线x+y=12经过的经过的整点是整点是B(3,9)和和C(4,8)，它们是最优解，它们是最优解.作出直线作出直线L:x+y=0，目标函数目标函数:z=x+yB(3,9)C(4,8)A(3.6,7.8)当直线当直线L经过点经过点A时时z=x+y=11.4,x+y=12解得交点解得交点B,C的坐标的坐标B(3,9)
9、和和C(4,8)x0y2461812827246810但它不是最优整数解但它不是最优整数解.作直线作直线x+y=12答（略）答（略）画可行域画可行域平移平移L，找交点及交点坐标，找交点及交点坐标调整优解法调整优解法1.满足哪些条件的解才是最优解满足哪些条件的解才是最优解?2.目标函数经过目标函数经过A(3.6,7.8)时时Z的值是多少的值是多少?你能否猜测一下你能否猜测一下Z的最小值可能是多少的最小值可能是多少?例例6 6、在上一节例、在上一节例3 3中中,各截得这两种钢板多少各截得这两种钢板多少张可得所需张可得所需A,B,CA,B,C三种规格成品三种规格成品,且使所用钢且使所用钢板张数最少板
10、张数最少?例例3、要将两种大小不同的钢板截成三种规格，每张钢板、要将两种大小不同的钢板截成三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：A规格规格规格第一种钢板211第二种钢板123今需要三种规格的成品分别为今需要三种规格的成品分别为15，18，27块，块，用数学关系式和图形表示上述要求。用数学关系式和图形表示上述要求。解：设需要截第一种钢板解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，共需截这两张钢板张，共需截这两张钢板z张张,则则 2x+y 15X+2y 18X+3y 27x 0,y 0,x0y2x+y=15x+3y=
11、27x+2y=18x+y=02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN*y0 yN*经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)和和C(4,8)且和原点距离最近的直线是且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解，它们是最优解.作出一族平行直线作出一族平行直线z=x+y，目标函数目标函数Z=x+yB(3,9)C(4,8)A(3.6,7.8)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A时时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移，继续向上平移，1212182715978
12、反馈练习反馈练习 2.设 x,y 满足约束条件 则:2zxy(1)的最大值是()A.3 B.4 C.-3 D.-4 y xx+y1y-12zxy(2)的最小值是()A.3 B.4 C.-3 D.-4 1.下列目标函数中，Z 表示在y轴上截距的是（）A.B.C.D.yxzyxz2yxzyxz23.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、元、2000元，甲、元，甲、乙产品都需要在乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台两种设备上加工，在每台A、B 设备上加工设备上加工1件甲设备所件甲设备所需工时分别为需工时分别为1h、2h，加工
13、，加工1件乙设备所需工时分别为件乙设备所需工时分别为2h、1h，A、B两种设两种设备每月有效使用台时数分别为备每月有效使用台时数分别为400h和和500h.如何安排生产可使收入最大？如何安排生产可使收入最大？解：设每月生产甲产品设每月生产甲产品x件，生产乙产品件，生产乙产品y件，每月收入为件，每月收入为z，则目标函数为，则目标函数为Z3x2y，满足的条件是，满足的条件是24 0 025 0 000 xyxyxy 当直线经过点当直线经过点M时，截距最大，时，截距最大，Z最大最大.解方程组解方程组50024002yxyx可得可得M（200，100）答：生产甲产品答：生产甲产品200件，乙产品件，乙
14、产品100件，收入最大，为件，收入最大，为80万元万元.XYO400200250500M Z 3x2y 变形为变形为 它表示斜率为它表示斜率为 ,在在y轴上的截距为轴上的截距为 ，随，随z变化的一族平行直线变化的一族平行直线.223zxy232z归纳小结:一一.知识点知识点：1.线性规划问题中的基本概念基本概念；2.用图解法图解法解决简单的线性规划问题，其基本步骤：画，移，求，答画，移，求，答二二.思想方法：思想方法：主要应用了化归化归，及数形结合数形结合的思想方法.作业布置作业布置1.书面作业：习题书面作业：习题3.3 A组：组：2、32.拓展：教材拓展：教材P.91：阅读与思考：阅读与思考 y=-1x-y=0 x+y=12x+y=0(-1,-1)(2,-1)xy011
