1、 第四节 圆的方程一、圆的定义及方程一、圆的定义及方程定义定义平面内与平面内与 的距离等于的距离等于 的点的集合的点的集合(轨迹轨迹)限定条限定条件件标准标准方程方程圆心：圆心：()，半径，半径r0一般一般方程方程圆心：圆心：()，半径半径D2E24F0定点定点定长定长(xa)2(yb)2r2a，brx2y2DxEyF0二元二次方程二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条表示圆的条件是什么？件是什么？提示：提示：二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系 圆的标准方程圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，圆心，圆心A(a，b)，半径，半径r，若点若点M(x0，y0)在圆上
2、，则在圆上，则 ；若点；若点 M(x0，y0)在圆外，则在圆外，则 ；若点；若点M(x0，y0)在圆内，则在圆内，则 .(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r21圆圆(x2)2y25关于原点关于原点(0,0)对称的圆的方程为对称的圆的方程为()A(x2)2y25Bx2(y2)25 C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25解析：解析：已知圆的圆心坐标已知圆的圆心坐标(2,0)，它关于原点对称的点的，它关于原点对称的点的坐标为坐标为(2,0)答案：答案：A 2已知两点已知两点A(2,0)，B(0,2)，点，点C是圆是圆x2y22x0上任上任 意一点，
3、则意一点，则ABC面积的最小值是面积的最小值是 ()解析：解析：lAB：xy20，圆心，圆心(1,0)到到l的距离的距离AB边上的高的最小值为边上的高的最小值为答案：答案：AminS 3圆圆x2y22x2y10的圆心到直线的圆心到直线xy10的距离的距离 是是 ()解析：解析：配方得配方得(x1)2(y1)21，圆心，圆心(1，1)到直线到直线的距离的距离d=答案：答案：D4圆心在直线圆心在直线2xy70上的圆上的圆C与与y轴交于两点轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆，则圆C的方程为的方程为_解析：解析：圆心是圆心是AB的垂直平分线和的垂直平分线和2xy70的交点，则的交点，则圆心为圆
4、心为E(2，3)，r|EA|则圆的方程为则圆的方程为(x2)2(y3)2r25.答案：答案：(x2)2(y3)25直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值1圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为()(1)形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；意一点，则ABC面积的最小值是 ()1(2009重庆高考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的y0)在圆内，则 .则AB的中垂线方程为：3xy10.4中得(x2)2(y1)21.半径r2 ，N(x3，y4)在圆上
5、，故(x3)2(y4)24.(2)求x2y2的最大值和最小值根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上；则AB的中垂线方程为：3xy10.直接法：直接根据题目提供的条件列出方程5已知点已知点(0,0)在圆：在圆：x2y2axay2a2a10外，外，则则a的取值范围是的取值范围是_解析：解析：将将(0,0)代入圆的方程得代入圆的方程得2a2a10，即，即(a1)(2a1)0，a 或或a1.又又D2E24F0，a2a24(2a2a1)0，答案：答案：即：即：ar2C(x1)2(y1)222a2a10，即(a1)(2a1)0，a 或a1.ON为两边作平行
6、四边形MONP，求点P的轨迹方程圆的标准方程是(x4)2(y3)225.【解解】(1)设圆的标准方程为设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意列出方程组由题意列出方程组圆的标准方程是圆的标准方程是(x4)2(y3)225.(2)法一：法一：设圆的标准方程为设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，解得解得a1，b4，r2 .圆的方程为圆的方程为(x1)2(y4)28.则有则有法二：法二：过切点且与过切点且与xy10垂直的直线为垂直的直线为y2x3，与与y4x联立可求得圆心为联立可求得圆心为(1，4)半径半径r2 ，所求圆的方程为所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(3)法一：法一：设
7、圆的一般方程为设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则则解得：解得：D2，E4，F95.所求圆的方程为所求圆的方程为x2y22x4y950.法二：法二：由由A(1,12)，B(7,10)，得得AB的中点坐标为的中点坐标为(4,11)，kAB则则AB的中垂线方程为：的中垂线方程为：3xy10.同理得同理得AC的中垂线方程为：的中垂线方程为：xy30.联立得联立得即圆心坐标为即圆心坐标为(1,2)，半径半径所求圆的方程为所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.1(2009重庆高考重庆高考)圆心在圆心在y轴上，半径为轴上，半径为1，且过点，且过点(1,2)的的 圆的方程是圆的方程是 ()Ax2(y
8、2)21Bx2(y2)21 C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21解析：解析：由题意知圆心为由题意知圆心为(0,2)答案：答案：A 研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解利用数形结合求解(1)形如形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；的最值问题；(2)形如形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；的最值问题；(3)形如形如t(xa)2(yb)2(t0)形式的最值问题，可转化形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的最值问题为动
9、点到定点距离的最值问题 已知实数已知实数x、y满足方程满足方程x2y24x10.(1)求求yx的最大值和最小值；的最大值和最小值；(2)求求x2y2的最大值和最小值的最大值和最小值又D2E24F0，(x0a)2(y0b)2r2法二：由A(1,12)，B(7,10)，(1)求yx的最大值和最小值；x2y2DxEyF(x0a)2(y0b)2r21(2009重庆高考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的2a2a10，即(a1)(2a1)0，a 或a1.所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.2a2a10，即(a1)(2a1)0，a 或a1.因为平行四边形的对角线互相平分，又D2E24F0，O
10、N为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程解析：圆心是AB的垂直平分线和2xy70的交点，则圆心为E(2，3)，r|EA|则圆的方程为(x2)2(y3)2r25.C(x1)2(y1)22得AB的中点坐标为(4,11)，kAB圆的方程的求法在高考中一直是考查的热点，多在选择、填空中考查，常与圆的切线、弦长计算相结合，有时涉及圆的对称问题.研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25根据代数式的几何意义,借助于平面几何知识,数形结合求解.根据代数式的几何意义根据代数式的几何意义,借助于平
11、面几何知识借助于平面几何知识,数形结合求解数形结合求解.【解解】方程方程x2y24x10变形为变形为(x2)2y23表示表示的图形是圆的图形是圆(1)yx可看作是直线可看作是直线yxb在在y轴上的截距，当直线轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时取得最大值或最小值，此时 解得解得b2 所以所以yx的最大值为的最大值为2 ，最小值为，最小值为2 (2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值
12、和最小值又圆心到原点的距离为又圆心到原点的距离为所以所以x2y2的最大值是的最大值是x2y2的最小值是的最小值是2(23)74 3;2(23)74 3.2在本例条件下，在本例条件下，的最大值和最小值又为何值？的最大值和最小值又为何值？解：解：表示过点表示过点P(-1,0)与圆与圆(x-2)2+y2=3上的点上的点(x，y)的直的直线的斜率线的斜率由图象知由图象知 的最大值和最小值分别是过的最大值和最小值分别是过P与圆相切的与圆相切的直线直线PA、PB的斜率的斜率即即 的最大值为的最大值为 ，最小值为，最小值为-.PAk 又又PBk 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常求与圆有关的轨迹问
13、题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：采用以下做法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程直接法：直接根据题目提供的条件列出方程定义法：根据圆、直线等定义列方程定义法：根据圆、直线等定义列方程几何法：利用圆与圆的几何性质列方程几何法：利用圆与圆的几何性质列方程代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等关系式等此外还有交轨法、参数法等不论哪种方法，充分利用圆与此外还有交轨法、参数法等不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键 (2009上海高考上
14、海高考)点点P(4，2)与圆与圆x2y24上任一上任一点连线的中点轨迹方程是点连线的中点轨迹方程是 ()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21利用相关点法（代入法）求之利用相关点法（代入法）求之.【解析解析】设圆上任一点坐标为设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则，则 4，连，连线中点坐标为线中点坐标为(x，y)，则则4中得中得(x2)2(y1)21.【答案答案】A3设定点设定点M(3,4)，动点，动点N在圆在圆x2y24上运动，以上运动，以OM、ON为两边作平行四边形为两边作平行四边形MONP，求点，求点P的轨迹方程的轨迹方程解：解
15、：如图所示，设如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段，则线段OP的中点的中点坐标为坐标为 ，线段，线段MN的中点坐标为的中点坐标为因为平行四边形的对角线互相平分，因为平行四边形的对角线互相平分，故故N(x3，y4)在圆上，故在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求因此所求P点的轨迹方程为：点的轨迹方程为：(x3)2(y4)24，但应，但应除去两点：除去两点：()和和()(点点P在在OM所在的所在的直线上时的情况直线上时的情况)圆的方程的求法在高考中一直是考查的热点，多圆的方程的求法在高考中一直是考查的热点，多在选择、填空中考查，常与圆的切线、弦长计算相结在选择、填空中考查，常与圆
16、的切线、弦长计算相结合，有时涉及圆的对称问题合，有时涉及圆的对称问题.2009年辽宁卷在选择题中年辽宁卷在选择题中利用待定系数法考查了圆的方程的求法利用待定系数法考查了圆的方程的求法.属容易题属容易题.(2009辽宁高考辽宁高考)已知圆已知圆C与直线与直线xy0及及xy40都相都相切，圆心在直线切，圆心在直线xy0上，则圆上，则圆C的方程为的方程为 ()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22解析解析由圆心在直线由圆心在直线xy0上，不妨设为上，不妨设为C(a，a)a1，r圆圆C：(x1)2(y1)22.答案答案BAB边上的高的最小值为直
17、接法：直接根据题目提供的条件列出方程(x0a)2(y0b)2r2即圆心坐标为(1,2)，根据下列条件求圆的方程：一般方程求出系数D、E、F的值(1)形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；a2a24(2a2a1)0，(x0a)2(y0b)2r2解得：D2，E4，F95.2009年辽宁卷在选择题中利用待定系数法考查了圆的方程的求法.是 ()又D2E24F0，此外还有交轨法、参数法等不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.因为平行四边形的对角线互相平分，圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，圆心A(a，b)，
18、半径r，(2009辽宁高考)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为 ()则AB的中垂线方程为：3xy10.D(x1)2(y1)22根据代数式的几何意义,借助于平面几何知识,数形结合求解.代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等圆心：()，半径法二：过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)(2009上海高考)点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是 ()(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连
19、线和圆的两个交点处取得最大值和最小值利用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；2a2a10，即(a1)(2a1)0，a 或a1.则AB的中垂线方程为：3xy10.3圆x2y22x2y10的圆心到直线xy10的距离定义法：根据圆、直线等定义列方程半径r2 ，3设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、解析：将(0,0)代入圆的方程得所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；1(2009重庆高考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的(2009辽宁高考)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程
20、为 ()(x0a)2(y0b)2r22009年辽宁卷在选择题中利用待定系数法考查了圆的方程的求法.根据代数式的几何意义,借助于平面几何知识,数形结合求解.2a2a10，即(a1)(2a1)0，a 或a1.所求圆的方程为x2y22x4y950.研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解AB边上的高的最小值为(x0a)2(y0b)2r2所以x2y2的最大值是(x0a)2(y0b)2r2(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；直接法：直接根据题目提供的条件列出方程4)，B(0，2)，则圆C的方程为_2a2a10，即(a1)(2a1)0，a 或a1.3设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、C(x1)2(y1)22C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25(1)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时1圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为()AB边上的高的最小值为利用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；充分利用几何性质确定圆心、半径是求圆的方程的捷径，充分利用几何性质确定圆心、半径是求圆的方程的捷径，可以减少错误，避免复杂的计算可以减少错误，避免复杂的计算
