1、第十一章第十一章 多元线性回归和相关分析多元线性回归和相关分析第一节第一节 多元回归分析多元回归分析依变量依两个或两个以上自变量的回归，称依变量依两个或两个以上自变量的回归，称为多元回归或复回归为多元回归或复回归(multiple regression)主要内容：主要内容：1、确定各个自变量对依变量的综、确定各个自变量对依变量的综合效应和单独效应，即建立由各自变量描述合效应和单独效应，即建立由各自变量描述和预测依变量反应量的多元回归方程；和预测依变量反应量的多元回归方程；2、对、对上述综合效应和单独效应的显著性进行测验，上述综合效应和单独效应的显著性进行测验，建立最优多元回归方程；评价各自变量
2、对依建立最优多元回归方程；评价各自变量对依变量的相对重要性。变量的相对重要性。一、多元回归方程一、多元回归方程1、多元回归的线性模型和多元回归方程式、多元回归的线性模型和多元回归方程式一个一个m元线性回归元线性回归总体总体的线性模型为：的线性模型为：yj=0+1x1j+2x2j+mxmj+j其中，其中，jN(0,2)一个一个m元线性回归样本观察值的组成为：元线性回归样本观察值的组成为：yj=b0+b1x1j+b2x2j+bmxmj+ej同理一个同理一个m元线性回归方程可给定为：元线性回归方程可给定为：mmjxbxbxbby .22110b0是是x1、x2、xm都为都为0时时y的点估计值；的点估
3、计值；b1是是by1.23m的简写，它是在的简写，它是在x2，x3，xm皆皆保持一定时（取常量），保持一定时（取常量），x1每改变一个单位每改变一个单位时对时对y的的效应，称为效应，称为x2，x3，xm不变时，不变时，x1对对y的的偏回归系数偏回归系数（partial regression coefficient）。2、多元回归统计数的计算、多元回归统计数的计算多元线性回归资料的数据结构如下表：多元线性回归资料的数据结构如下表：变量变量组号组号 x1x2xm y1x11x12x1my12x21x22x2my2nxn1xn2xnm yn返回结构矩阵返回结构矩阵 m个自变量与依变量个自变量与依变量
4、y的回归方程为：的回归方程为：根据最小二乘法原理，根据最小二乘法原理，b0、b1、b2、bm应使全部应使全部观察值观察值y与回归估计值与回归估计值 的偏差平方和为最小，的偏差平方和为最小，即使即使 根据微分学中的极值原理，分别对根据微分学中的极值原理，分别对b0、b1、b2、bm偏导，并令其为偏导，并令其为0，即，即mmxbxbxbby .22110最小最小 2221102)()(mmxbxbxbbyyyQy 该方程组称为正规方程组，可尽一步化为该方程组称为正规方程组，可尽一步化为N b0+b1 x1+b2 x2+b3 x3+bm xm=yb0 x1+b1 x12+b2 x1x2+b3 x1x
5、3+bm x1xm=x1yb0 x2+b1 x1x2+b2 x22+b3 x2x3+bm x2xm=x2y b0 xm+b1 x1xm+b2 x2xm+b3 x3xm+bm xm2=xmy 0)(20)(20)(2221101221101221100mmmmQmmQmmQxxbxbxbbybSSxxbxbxbbybSSxbxbxbbybSS写成矩阵形式：写成矩阵形式：A b B 系数矩阵系数矩阵 偏回归系数矩阵偏回归系数矩阵 常数项矩阵常数项矩阵 yxyxyxybbbbxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnmmmmmmmmm 2121022122221212121121即即 Ab=B系数
6、矩阵系数矩阵A=X X，n组数据的组数据的称为结构矩阵或数据矩阵称为结构矩阵或数据矩阵 nmnnmmxxxxxxxxxX212222111211111数据表数据表 nmnnmmnmmmmnnmmmmmmmxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnA212222111211321232221213121112212222121212112111111111A为系数矩阵为系数矩阵 X XYXyyyyxxxxxxxxxxxxyxyxyxyBBBBBnnmmmmnnmm11111 3213212322212131211121210 B为常数项矩阵为常数项矩阵
7、 X Y这样一来，正规方程组的矩阵形式是这样一来，正规方程组的矩阵形式是(X X)b=X Y或或 Ab=B 其中其中b =(b0,b1,b2,bm)是正规方程组中是正规方程组中的未知数。在系数矩阵满秩的条件下的未知数。在系数矩阵满秩的条件下(这个这个条件在一般情况是容易满足的条件在一般情况是容易满足的)，A的逆阵的逆阵存在，因而存在，因而b=A-1B=(X X)-1X YC=A-1=(X X)-1称为相关矩阵称为相关矩阵 mmmmmmmmijcccccccccccccccccAC2102222120112111000201001)(mmmmmmmmmmBBBBccccccccccccccccC
8、BBAbbbbb2102102222120112111000201001210(例例11.1)通过通过12个北方个北方春玉米杂交种的测定春玉米杂交种的测定数据数据(见表见表11.3)，研究，研究在相同密度下每穗粒在相同密度下每穗粒数数(X1，粒，粒)、百粒重、百粒重(X2，g)、株高、株高(X3，cm)与每公顷玉米籽粒产与每公顷玉米籽粒产量量(Y，kg/hm2)的关系。的关系。试建立每穗总粒数、试建立每穗总粒数、百粒重、株高对每公百粒重、株高对每公顷玉米产量的多元线顷玉米产量的多元线性回归方程性回归方程；表表11.3 玉米杂交种每穗总粒数、百粒重、株玉米杂交种每穗总粒数、百粒重、株高与每公顷产
9、量高与每公顷产量杂交种杂交种编号编号每穗总粒每穗总粒数数(X1，粒，粒)百粒重百粒重(X2，g)株高株高(X3，cm)产量产量(Y，kg/hm2)1561.733.42949042.02504.140.32879744.03471.237.62908874.04476.637.02828833.55456.233.82788439.06513.635.32869058.57455.038.12928103.08594.531.02769343.59554.230.92888604.010493.730.12687287.011525.331.02777926.012571.224.128369
10、93.0解：解：用矩阵法求解多元线性回归方程用矩阵法求解多元线性回归方程 写出结构矩阵或数据矩阵写出结构矩阵或数据矩阵X及依变量列矩及依变量列矩阵阵Y 0.69930.97440.9042,2831.242.57112873.401.50412944.337.5611YX 利用公式利用公式A=X X，B=X Y，求得系数矩，求得系数矩阵阵A和常数项矩阵和常数项矩阵B 00.96453540.11427080.175059900.340140.11427018.1372634.20577760.40280.175059934.20577721.320424630.617700.340160.40
11、230.6177122831.242.57112873.401.50412944.337.56112832872941.243.404.332.5711.5047.561111XXA 求系数矩阵求系数矩阵A的逆矩阵的逆矩阵C 00.2900642755.345800395.5265006750.1022470.69930.97440.90422832872941.243.404.332.5711.5047.561111YXB 0022599832.00027431194.00001519486.04702658951.00027431194.00110223592.00006496311.00
12、732317438.00001519486.00006496311.00000794549.00196317484.04702658951.00732317438.00196317484.00135340670.141133323130232221201312111003020100AccccccccccccccccC求解偏回归系数矩阵求解偏回归系数矩阵b=(b0、b1、b2、bm)515.2965399-40238.150140214.94880990722829.29147-00.2900642755.345800395.5265006750.1022470022599832.000274
13、31194.00001519486.04702658951.00027431194.00110223592.00006496311.00732317438.00001519486.00006496311.00000794549.00196317484.04702658951.00732317438.00196317484.00135340670.1413210CBbbbbb即即 b0=2829.29147072，b1=14.94880992，b2=238.15014040，b3=15.29653995 写出线性回归方程写出线性回归方程式中：自变量式中：自变量X1对应的偏回归系数对应的偏回归系数
14、b1=14.9，表，表明在百粒重明在百粒重(X2)、株高、株高(X3)保持平均水平保持平均水平(=x2/n=403/12=33.55g；=x3/n=3401/12=283.4cm)时，每穗总粒数时，每穗总粒数(X1)每增加每增加1(粒粒)，将使每公顷玉，将使每公顷玉米籽粒产量米籽粒产量(Y)平均增加平均增加14.9(kg)；32132115.3-238.2 14.92 2829.3-515.2965399-40238.150140 214.9488099 0722829.29147-xxxyxxxy 成成：或或简简写写同理，同理，b2=238.2，表明在每穗总粒数，表明在每穗总粒数(X1)、株
15、、株高高(X3)保持平均水平保持平均水平(=x1/n=6177/12=514.8粒粒;=283.4cm)时，百粒重时，百粒重(X2)每增加每增加1(g)，将，将使每公顷玉米产量使每公顷玉米产量(Y)平均增加平均增加238.2(kg)；b3=15.3，表明在每穗总粒数，表明在每穗总粒数(X1)、百粒重、百粒重(X2)保保持平均水平持平均水平(=514.8粒粒;=33.55g)时，株高时，株高(X3)每增加每增加1(cm)，将使每公顷玉米产量，将使每公顷玉米产量(Y)平均减平均减少少15.3(kg)。如果此回归关系是真实的。如果此回归关系是真实的(见下文见下文)，则该方程可用于描述表则该方程可用于
16、描述表11.3的资料。但是，推的资料。但是，推断的量值处在观察值区间之内，才是可信的。断的量值处在观察值区间之内，才是可信的。X1的区间是的区间是455.0，594.5，X2的区间是的区间是24.1，40.3，X3的区间是的区间是268，294。二、多元线性回归的假设检验二、多元线性回归的假设检验1、多元回归方程的假设检验、多元回归方程的假设检验检验检验m个自变量综合对个自变量综合对Y的效应是否显著的效应是否显著,即检验即检验各自变量的总体偏回归系数各自变量的总体偏回归系数 j(j=1，2，)是是否同时为零。否同时为零。总变异平方和及自由度分解。总变异平方和及自由度分解。自由度自由度dfY=n
17、 1 nYYYnyyyySST/)1()()(2222 SSY=UY/12m+QY/12m dfY=dfU +dfQ 其中，离回归平方和（或剩余平方和）其中，离回归平方和（或剩余平方和）=Y Y b (X Y)自由度自由度dfQ=n (m+1)它与自变量它与自变量X无关，仅反映除依变量与无关，仅反映除依变量与m个自个自变量间存在线性关系以外的其他因素包括试变量间存在线性关系以外的其他因素包括试验误差所引起的变异。验误差所引起的变异。mjjjmjniiijjniimYBbyyxbyyyQ020112212)()(回归平方和回归平方和 =b (X Y)(1 Y)2/n 自由度自由度dfU=m。它是
18、由。它是由m个自变量个自变量Xj的不同的不同引起的，即是依变量引起的，即是依变量Y受受m个自变量综合线性个自变量综合线性影响所引起的变异影响所引起的变异 212/)(yyUmY F检验检验若若 F F (m，n m 1)，那么我们可以在显著水，那么我们可以在显著水平平 下，认为多元线性回归方程是成立的，是下，认为多元线性回归方程是成立的，是有显著意义的。反之，有显著意义的。反之，F F0.01(3，8)=7.591，说明，说明P（H0）F0.01(1，8)=11.26；说明；说明H0：1=0、2=0应被否定，即每穗总粒数应被否定，即每穗总粒数(X1)、百粒、百粒重重(X2)对每公顷玉米产量对每
19、公顷玉米产量(Y)的偏回归都是极显著的。的偏回归都是极显著的。F3=0.85 F0.01(2，9)=8.02，表明，表明RY12极显著极显著（实际（实际P0.0002）。）。23.26)1212()9239.01(29239.0)1()1(22212212 mnRmRFYYR若用查若用查R 值法，则由值法，则由df2=n m 1=9与与M=m+1=2+1=3，查附表，查附表9得得R0.01(9,3)=0.800，因为因为RY12=0.9239 R0.01=0.800，故，故P 0.01，二元相关系数二元相关系数RY12极显著，与极显著，与F检验法结论完检验法结论完全一致。全一致。假设检验结果表
20、明：每公顷玉米籽粒产量假设检验结果表明：每公顷玉米籽粒产量(Y)与每穗总粒数与每穗总粒数(X1)、百粒重、百粒重(X2)之间存在极显之间存在极显著的二元线性相关关系。著的二元线性相关关系。二、偏相关二、偏相关1、偏相关系数的计算、偏相关系数的计算 由简单相关系数由简单相关系数rij构建相关系数矩阵构建相关系数矩阵R：求相关系数矩阵求相关系数矩阵R的逆矩阵的逆矩阵C：MMMMMMMMijrrrrrrrrrrR212222111211)(MMMMMMMMijcccccccccCRC2122221112111)(由下式计算偏相关系数由下式计算偏相关系数rij：例例11.5计算表计算表11.3资料的偏
21、相关系数资料的偏相关系数在例在例11.3中已算得自变量中已算得自变量X1与与X2；以及依变量；以及依变量Y与自变量与自变量X1、X2的简单相关系数：的简单相关系数：r12=0.63741402；r1Y=0.03690710；r2Y=0.68778314。将将Y看作看作X3，构建相关系数矩阵：，构建相关系数矩阵：.jjiiijijcccr 92378110.082925969.648714608.11)18204676.8(84977791.082925969.606145811.6)46739948.5(91367290.048714608.1106145811.662404357.78292
22、5969.618204676.846739948.518204676.848714608.1162404357.746739948.562404357.706145811.6)(168778314.003690710.068778314.0163741402.003690710.063741402.01)(3322231.23311132.1221112.121 cccrcccrcccrcRCrRYYYijij计计算算各各偏偏相相关关系系数数逆逆阵阵进进而而有有相相关关系系数数矩矩阵阵的的2、偏相关系数的假设检验、偏相关系数的假设检验t检验法：检验法：令总体偏相关系数为令总体偏相关系数为r r
23、ij.，则由，则由可测验可测验H0：r rij.=0对对HA：r rij.0，该该t具有具有n n=n-MMnrrtijij 2.1查查r 值法值法 由由df=n M及变量个数及变量个数2，查附表，查附表9，得，得r0.05 和和r0.01，将偏相关系数的绝对值，将偏相关系数的绝对值|rij|与与r0.05 和和r0.01进行比较，即可做出统计推断。进行比较，即可做出统计推断。若若|rij|r，则，则P ，偏相关系数，偏相关系数rij在在 水平水平上显著；若上显著；若|rij|，偏相关系数，偏相关系数rij在在 水平上不显著。水平上不显著。例例11.6检验检验 例例11.5所得偏相关系数的显著
24、性。所得偏相关系数的显著性。提出假设提出假设H0：r rij=0，对，对HA：r rij 0，确定显著水平，确定显著水平，=0.01由由df=n M=12 3=9及变量个数及变量个数2，查附表，查附表9，得得r0.05(9)=0.602，r0.01(9)=0.735。因为各偏相关系。因为各偏相关系数的绝对值数的绝对值|rij|r0.01，故，故P 0)或减少或减少(pj 1或或 1。通径系数是有方向的量，箭头表示了作用的方向，通径系数是有方向的量，箭头表示了作用的方向，如如Xj和和Y互换，则互换，则pjY pYj，pijY p Yji。通径系数具有偏回归系数的性质。它是变量标准通径系数具有偏回
25、归系数的性质。它是变量标准化后的偏回归系数，能够表示变量间的因果关系，化后的偏回归系数，能够表示变量间的因果关系，故仍具有偏回归系数的性质。故仍具有偏回归系数的性质。三、通径系数的性质三、通径系数的性质 通径系数具有相关系数的性质。它是一个不通径系数具有相关系数的性质。它是一个不带单位的相对数，因而又具有相关系数的性质，带单位的相对数，因而又具有相关系数的性质，是具有方向性的相关系数，能表示原因与结果是具有方向性的相关系数，能表示原因与结果(自变量与依变量自变量与依变量)之间的关系，它是介于回归之间的关系，它是介于回归系数和相关系数之间的一种统计数，可用于各系数和相关系数之间的一种统计数，可用
26、于各种性状间的相关分析。种性状间的相关分析。通径系数绝对值的大小可以用来衡量自变量通径系数绝对值的大小可以用来衡量自变量Xj对依变量对依变量Y直接效应的大小，比较其相对重直接效应的大小，比较其相对重要性。要性。自变量自变量Xj对依变量对依变量Y的直接和间接通径系的直接和间接通径系数的总和等于二者间的相关系数，即存在数的总和等于二者间的相关系数，即存在 (i，j=1，2，m；i j)可见，当各自变量都彼此独立可见，当各自变量都彼此独立(rij=0)时，通时，通径系数等于相关系数。径系数等于相关系数。四、通径系数的计算四、通径系数的计算 iYijjYjYprpr 将将m+1元的正规方程组转换为元的
27、正规方程组转换为m元的正规方程组元的正规方程组 niniiiniiYniniijijnijijXmYmXmmYmmXYmmXnyyyySSnxxxxSSSPbSSbSPbSPSPbSPbSSbSPSPbSPbSPbSSjm1122121122122211222121112121)()()()(21其其中中(118)的的m+1元的正规方程组为：元的正规方程组为：),2,1()()()()(11111111kjmkjnyxyxyyxxSPSPnxxxxxxxxSPniniiniijiijniijijjYkjniniikniijikijnikikjijjk 、将将 式移项可得：式移项可得：关于各直接
28、通径系数关于各直接通径系数p1、p2、pm的正的正规方程组：规方程组：),2,1(mjSSSSpbjXYjj mYmmmYmmYmmrpprprrprpprrprprp2211222121112121 YXjYXjjSSSSbssbpjj 矩阵形式为：矩阵形式为：mmmmmmmYYYmmmmmmmrrrrrrrrrRrrrppprrrrrrrrr 2122221112112121212222111211R和和R-1都是对称的。在都是对称的。在R中，中，rii=1，rij=rji；在在R-1中，中，因此因此 mmmmmmmmijccccccccccR2122221112111)(jiijiicc
29、c ,0 mYYYmmmmmmmrrrcccccccccppp 2121222211121121即直接通径系数为：即直接通径系数为：(j=1，2，m)五、通径系数的假设检验五、通径系数的假设检验在通径分析系统中，在通径分析系统中，m元回归平方和为：元回归平方和为：m元离回归平方和为：元离回归平方和为：mYjmYjYjjrcrcrcp 221121212111/mYmjYXYXjYmjYXXjYmjjYYXjmjjYjRSSSSSPSSSSSPSSSSSSSPrSSSSbrpUjjYjjjj 21211mYRUQ 而剩余因素而剩余因素(未包含在研究中的一切可能影响未包含在研究中的一切可能影响Y的
30、因素的因素)的通径系数的通径系数peY则可定义为：则可定义为：(1157)此此peY可简写为可简写为pe，亦称多元疏远系数，它独，亦称多元疏远系数，它独立于任一立于任一XjY通径。通径。由上述，可进一步得出由上述，可进一步得出XjY的通径系数的标的通径系数的标准误：准误：2121mYYeRp jjmYpcmnRsj 11212因此因此，由，由或或 可检验可检验XjY的总体通径系数的总体通径系数j=0的假设。的假设。1 mndfsptqpjj 1)1(12122122 mnRcpmnQcpFmYjjjmYjjj六、通径分析实例六、通径分析实例例例11.4由表由表11.3资料资料(X3不参加分析不
31、参加分析)，计算每穗总粒数计算每穗总粒数X1、百粒重、百粒重X2对每公顷玉米对每公顷玉米籽粒产量籽粒产量Y的通径系数；的通径系数；对直接通径系数进对直接通径系数进行假设检验。行假设检验。解：解：(1)通径系数的计算通径系数的计算在在例例11.2中，已算得表中，已算得表11.3资料的简单相资料的简单相关系数分别为：关系数分别为：r1Y=0.03690710，r2Y=0.68778314，r12=0.63741402。因此，正规方程组的系数矩阵：因此，正规方程组的系数矩阵：直接通径系数：直接通径系数：即：即：p1=0.80058450；p2=1.19808693间接通径系数：间接通径系数：p12Y
32、=r12p2=0.63741402 1.19808693=0.7637p21Y=r12p1=0.63741402 0.80058450=0.5103 1.684342811.073623721.073623721.68434281163741402.063741402.011RR 19808693.180058450.068778314.003690710.0.684342811.073623721.073623721.68434281121pp(2)直接通径系数假设检验。直接通径系数假设检验。提出假设提出假设设总体的直接通径系数为设总体的直接通径系数为j，H0：j=0，对，对HA：j 0 显
33、著水平，显著水平，=0.01 计算计算t值值上例已算得上例已算得二元决定系数为：二元决定系数为：1.684342812211 cc 0.85357124 0.68778314 1.19808693 0.03690710 0.80058450 1212 mjjYjYrpR通径系数的标准误为：通径系数的标准误为：因此，对因此，对p1=0.800584504；p2=1.198086928分分别有：别有：推断：查附表推断：查附表4，t0.01(9)=3.250，现实得，现实得t t0.01(9)，所以均否定，所以均否定H0，接受，接受HA。0.3827 85357124.011212 YeRp1655
34、4161.0121268434281.1)85357124.01(1)1(1121221 mncRssYpp 24.7 16554161.019808693.1 84.4 16554161.080058450.0 212211 ppsptspt上述结果表明：每穗总粒数每增加一个标准上述结果表明：每穗总粒数每增加一个标准单位，可直接使产量增加单位，可直接使产量增加0.8006个标准单位，个标准单位，百粒重每增加一个标准单位则可直接使产量百粒重每增加一个标准单位则可直接使产量增加增加1.1981个标准单位，均为极显著，其对个标准单位，均为极显著，其对产量变异的总决定度为产量变异的总决定度为85.3
35、6%。这里标准单。这里标准单位的量值，对位的量值，对X1是：是：对对X2是：是：对对Y是：是：)(03.47)112/()1230.617721.3204246()1/()(221211粒粒 nnxxs)g(46.4)112/()1260.40218.13726()1/()(222222 nnxxs)kg(69.817)112/()125.1022478.878567352()1/()(222 nnyysY剩余通径系数剩余通径系数pe=0.3827，说明除了，说明除了X1、X2外，还存在对产量外，还存在对产量Y起作用的其它因素，但起作用的其它因素，但pe p1，也，也 F0.01，所以否定，所
36、以否定H0接受接受HA。结论与。结论与t检验完全检验完全一致。一致。39.23)1212/()85357124.01(68434281.1/80058450.0 1)1(221211211 mnRcpFY注意：注意：t检验的两个检验的两个t值与二元线性回归方程偏值与二元线性回归方程偏回归系数及偏相关系数检验的回归系数及偏相关系数检验的t相等；相等；F检验检验的两个的两个F值也与偏回归系数检验的值也与偏回归系数检验的F值相等。值相等。由此可见，通径系数的假设检验与偏回归系由此可见，通径系数的假设检验与偏回归系数及偏相关系数的假设检验是完全等价的。数及偏相关系数的假设检验是完全等价的。七、七、直接
37、和间接效应分析直接和间接效应分析图图113 表表11.3资料资料(删除删除X3)的通径分析结果的通径分析结果Y1X2Xe将将例例11.4通径及相关关系绘成通径图通径及相关关系绘成通径图(图图113)，则更为形象。，则更为形象。也可以将上述通径分析的结果制成通径分析也可以将上述通径分析的结果制成通径分析表表(117)，尤其在自变量较多时，列表表示较，尤其在自变量较多时，列表表示较为清晰。列表的规则是：为清晰。列表的规则是：凡直接通径系数凡直接通径系数都在主对角线上；都在主对角线上；凡通过凡通过i的间接通径系数的间接通径系数都与都与iY的直接通径系数在同一列上。便于的直接通径系数在同一列上。便于比
38、较和判断。比较和判断。表表11.7 表表11.3资料资料(删除删除X3)的通径分析表的通径分析表通通 径径项项 目目1Y(产量产量)2Y(产量产量)Xj对对Y的总效应的总效应rjYX 1(每穗总粒数每穗总粒数)，10.8006 0.76370.0369X2(百粒重百粒重)，2 0.51031.19810.6878由图由图11.3和表和表11.7可以看出，每穗总粒数到产量有可以看出，每穗总粒数到产量有两条通径，第一条是直接通径两条通径，第一条是直接通径X1 Y，该条通径上，该条通径上每穗总粒数对产量的直接效应为每穗总粒数对产量的直接效应为p1Y=0.8006；第二；第二条是间接通径条是间接通径X
39、1X2 Y，每穗总粒数通过与其相，每穗总粒数通过与其相关的百粒重对产量的间接效应为关的百粒重对产量的间接效应为p12Y=0.7637；二者之和为每穗总粒数对产量的总效应二者之和为每穗总粒数对产量的总效应r1Y=0.8006+(0.7637)=0.0369。同理，由。同理，由X2到到Y也有两条通径，也有两条通径，第一条是直接通径第一条是直接通径X2 Y，百粒重对产量的直接效，百粒重对产量的直接效应为应为p2Y=1.1981，第二条是间接通径，第二条是间接通径X2 X1Y，百粒重通过与其相关的每穗总粒数对产量的间接效百粒重通过与其相关的每穗总粒数对产量的间接效应（即百粒重高的杂交种，每穗总粒数就较
40、少而给应（即百粒重高的杂交种，每穗总粒数就较少而给予产量的效应）为予产量的效应）为p21Y=0.5103；二者之和为百；二者之和为百粒重对产量的总效应粒重对产量的总效应r2Y =1.1981+(0.5103)=0.6878。本章学习要点本章学习要点1、多元回归方程的建立，多元回归关系和偏回归、多元回归方程的建立，多元回归关系和偏回归关系的假设测验关系的假设测验2、多元相关系数和偏相关系数的计算及假设测验。、多元相关系数和偏相关系数的计算及假设测验。3、偏回归系数和偏相关系数，与简单回归系数和、偏回归系数和偏相关系数，与简单回归系数和简单相关系数有何异同？应分别在何种场合下使用简单相关系数有何异同？应分别在何种场合下使用?4、了解通径系数的意义、性质，了解通径分析的、了解通径系数的意义、性质，了解通径分析的基本步骤。基本步骤。
