1、第三节第三节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 l扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）l解的形式：解析解、数值解解的形式：解析解、数值解l污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源 不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源l污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排放）正常排放）l瞬时源是一种近似，连续源又分为恒定和非恒定源瞬时源是一种近似，连续源又分为恒定和非恒定源l污染物扩散：一维、二维、三
2、维扩散方程污染物扩散：一维、二维、三维扩散方程瞬时点源或称瞬时无限平面源和无界空间的定解条件下的瞬时点源或称瞬时无限平面源和无界空间的定解条件下的解析解。定解条件在数学上表达为：解析解。定解条件在数学上表达为：c(x,0)=mc(x,0)=m(x)(x)000)(xxxDelta Delta 函数函数 物理含义物理含义：当：当t=0t=0时，在通过时，在通过x=0 x=0处且与处且与x x轴垂直的平面上，轴垂直的平面上，单位面积的污染物质量为单位面积的污染物质量为m,m,它位于它位于x=0 x=0处以无限处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间中。大的浓度强度浓缩在无限小的空间中。（2 2）边界
3、条件：）边界条件：c(c(,t)=0,t)=0,c(c(,t)/,t)/x=0 x=022xcDtc （1 1）初始条件：）初始条件：一维分子扩散方程：一维分子扩散方程：1.1.定解条件定解条件第三节第三节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 2.2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律：量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律：l量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同；量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同；l任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而任一
4、有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而不会改变物理过程的规律性；不会改变物理过程的规律性；l物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1k+1个有个有量纲的物理量，如果选择其中量纲的物理量，如果选择其中m m个作为基本物理量，那么该物个作为基本物理量，那么该物理过程可以由理过程可以由(k+1)-m(k+1)-m个无量纲数所组成的关系来描述。个无量纲数所
5、组成的关系来描述。第三节第三节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 式中式中:f:f为待定函数，故可在上式中写上为待定函数，故可在上式中写上44和和4 4，目的是使目的是使最终的解较为简明最终的解较为简明;m m是单位面积上的污染物质量，而不是全部污染物的是单位面积上的污染物质量，而不是全部污染物的质量质量M M，m m的量纲是的量纲是MLML-2-2 M M与与m m的关系是的关系是m=M/Am=M/A，其中，其中A A是通过坐标原点且与是通过坐标原点且与x x垂直的垂直的面积，并假设平均分布在该面积中。面积，并假设平均分布在该面积中。假设有函数：假设有函数：F(c,m,D,x,tF(
6、c,m,D,x,t)=0)=0利用利用定律，选定律，选c c、D D、t t为基本变量，可得：为基本变量，可得：)4(4),(DtxfDtmtxc 从物理概念上分析，浓度从物理概念上分析，浓度c c是是m m、D D、x x、t t的函数的函数0),(DtxDtcmF第三节第三节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 设变量设变量Dtx4 22xcDtc 02222 fddfdfd 进一步令进一步令 ，有，有:fddf 2)(0 dd。边界条件由原来的边界条件由原来的c c(,t,t)=0,)=0,c(c(,t)/,t)/x x=0=0f(f()=0)=0，df()/ddf()/d=0=0
7、即即=常数常数k k1 1,因此有：因此有：12kfddf 以以f f的边界条件代入上式得的边界条件代入上式得k k1 1=0=0，故上式变为，故上式变为:)(4),(fDtmtxc20 ekf第三节第三节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 02 fddf 它的通解为：它的通解为：为任何时刻源点浓度（坐标为任何时刻源点浓度（坐标原点与源点重合的情况下）原点与源点重合的情况下）根据污染物质的质量守恒定律，有根据污染物质的质量守恒定律，有 02mcdx对上式分别通过求对上式分别通过求t0t0、x0 x0和和t0t0（x0 x0）的极限，）的极限，可得到可得到c=c=和和c=0c=0，这说明
8、了该解也是满足初始条件的。，这说明了该解也是满足初始条件的。此外，上式虽然是对此外，上式虽然是对x0 x0的定解条件求解，但也可用于的定解条件求解，但也可用于x x0 0情形。情形。)Dt4xexp(Dt4m)t,x(c2 ,推出推出k k0 0=1=1第三节第三节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 瞬时点源一维无界空间的浓度分布瞬时点源一维无界空间的浓度分布瞬时点源一维无界空间的浓度瞬时点源一维无界空间的浓度场在任一时刻场在任一时刻t t沿沿x x轴是正态分轴是正态分布，随时间布，随时间t t的增加，浓度的峰的增加，浓度的峰值值C Cm m变小，而扩散的范围变宽。变小，而扩散的范围变
9、宽。)Dt4xexp(Dt4m)t,x(c2 )Dt2(2xexp(Dt221m)t,x(c22 第三节第三节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 1 1 浓度对距离的各阶矩定义浓度对距离的各阶矩定义 零阶矩零阶矩 iiixcdxtxcm ),(0一阶矩一阶矩 iiiixcxdxtxxcm ),(1二阶矩二阶矩iiixcxdxtxcxm 222),(对原点的任意对原点的任意p p阶矩阶矩 iiipippxcxdxtxcxm ),(对瞬时点源来说，零阶矩对瞬时点源来说，零阶矩 m m0 0=污染源的单位面积质量污染源的单位面积质量m m，是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。是一常数，
10、但一般情况下，矩都是时间的函数。各式的右端可供各式的右端可供当具有实验资料当具有实验资料时，计算浓度各时，计算浓度各阶矩之用。阶矩之用。第四节第四节 浓度分布的各阶矩浓度分布的各阶矩2 2 浓度分布的统计特征值浓度分布的统计特征值（1 1）浓度分布的距离均值）浓度分布的距离均值表示浓度分布曲线重心的表示浓度分布曲线重心的x x位置，当曲线对称于位置，当曲线对称于c c轴时轴时 x x=0=0。iiiiiiixxcxcxmm01（2 2）浓度分布的距离方差）浓度分布的距离方差 002120220222),()2(),()(mmmmmdttxcxxmdttxcxxxxxxx 222022)(iii
11、iiiiiiiiiiixxxcxcxxcxcxmm表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2 2值愈大，值愈大，分布曲线愈平坦。分布曲线愈平坦。第四节第四节 浓度分布的各阶矩浓度分布的各阶矩（3 3）三阶中心矩）三阶中心矩表示曲线偏斜度：表示曲线偏斜度：=0=0 左右对称左右对称;00左右不对称，长尾伸向正轴方向；左右不对称，长尾伸向正轴方向；0 0，长尾伸向负轴方向。，长尾伸向负轴方向。033mm =0=0 00 0 0图图 对浓度分布图形的影响对浓度分布图形的影响第四节第四节 浓度分布的各阶矩浓度分布的各阶矩（4 4）四阶中心矩）四阶中心矩044mm 表
12、示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示峰型愈大。峰型愈大。第四节第四节 浓度分布的各阶矩浓度分布的各阶矩对于正态分布曲线（标准）有：对于正态分布曲线（标准）有：0221,0,0mmmxx 将瞬时点源的解代入将瞬时点源的解代入m m2 2，得距离方差：，得距离方差：DtdxDtxxDtdxtxcxmmmx2)4exp(41),(1222022当已求得当已求得 ，可用上式反求，可用上式反求D D。由于。由于D D是常数，将上式对是常数，将上式对t t求求导，有：导，有：2x dtdDx221 称为矩法公式称为矩法公式对任何其它分布，只要在无界空间情况下满
13、足边界条件：对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件：0 xccx和和时，时，0),(0),(2 txxtxc和和或或dtdDx221 仍存在仍存在上式表明上式表明 方差与扩散历时方差与扩散历时t t成正比。凡符合这个规律的成正比。凡符合这个规律的扩散，都称为费克型扩散。扩散，都称为费克型扩散。2x 第四节第四节 浓度分布的各阶矩浓度分布的各阶矩第五节第五节 一维扩散方程的空间瞬时线源的解析解一维扩散方程的空间瞬时线源的解析解设只当设只当t=0t=0时在时在x=x=处投放污染物质（瞬时点源）处投放污染物质（瞬时点源）初始条件：初始条件：c(x,0)=m(x-c(x,0)=m(x-)边界
14、条件：边界条件：c(c(,t)=0,t)=0 4exp4),(2DtxDtmtxc）（有有解解：的浓度应为现将初始条件改为：现将初始条件改为：c(x,0)=f(xc(x,0)=f(x),-),-x 其中其中f(xf(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长直线上给定的浓度为直线上给定的浓度为f(f()，它的量纲为，它的量纲为MLML-3-3，单位面积，单位面积上的质量为上的质量为f(f()d)d。4)(exp4)(2DtxDtdfdc dDtxDtftxc4)(exp4)(),(2位于位于处由该微小污染处由该微小污染单元的扩散而导致在时单元的扩散
15、而导致在时刻刻t t位于位于x x的浓度应为的浓度应为:用一系列质量为用一系列质量为f()df()d的团块来求浓度分布的团块来求浓度分布第五节第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解下面讨论两种特殊情况：下面讨论两种特殊情况：单侧阶梯浓度函数的浓度分布单侧阶梯浓度函数的浓度分布1.1.当当f(xf(x)为阶梯函数：为阶梯函数：该问题的物理模型可该问题的物理模型可认为是在一条无限长认为是在一条无限长的等截面渠道的静水的等截面渠道的静水中，左端（中，左端（x0 x0 x0）为清水，）为清水，现闸门突然打开，左现闸门突然打开，左边的污染物质向右边边的污染物质向右边扩散
16、。解的形式为：扩散。解的形式为：0204)(exp4),(dDtxDtctxc000)0,()(0 xxcxcxf当当当当 第五节第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解 取变换取变换有有,4Dtxu )Dt4x(erf22cdu)uexp(2cdu)uexp(c)t,x(c0Dt4x020Dt4x20 )4(2)4(1 2),(00DtxerfccDtxerfctxc 即：即：式中：式中：erf(z(z)为误差函数，为误差函数，erfc(z(z)为余误差函数，即为余误差函数，即)(1)()exp(2)(02zerfzerfcduuzerfz 第五节第五节 一维
17、扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解 114)(exp4),(20 xxdDtxDtctxc取变换取变换=x-=x-,有有 114exp4),(20 xxxxdDtDtctxc再取变换再取变换 ,有有Dtu4 该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面渠道该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面渠道的静水中，突然发生事故，在渠中出现一段污染源而向的静水中，突然发生事故，在渠中出现一段污染源而向两端扩散的情形。解的形式为：两端扩散的情形。解的形式为：2.2.当当f(xf(x)为阶梯函数：为阶梯函数：1100)0,()(xxxxcxcxf 当当当当X=0X=0X=XX
18、=X1 1X=-XX=-X1 1初始浓度分布图初始浓度分布图第五节第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解)D4xx(erf)D4xx(erf2c)D4xx(erf)D4xx(erf2cdu)uexp(du)uexp(cdu)uexp(c)t,x(c110110Dt4/)xx(02Dt4/)xx(020Dt4/)xx(Dt4/)xx(201111 双侧阶梯浓度函数的浓度分布双侧阶梯浓度函数的浓度分布随着随着 增大，浓度增大，浓度分布曲线愈平坦化。分布曲线愈平坦化。1/xDt第五节第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解误差函数的定
19、义误差函数的定义:zduuzerf02)exp(2)()(1)(zerfzerfc 从而有：从而有：0)0(erf,1)(erf)xexp(2)x(erfdxd)x(erf)x(erf2 余误差函数的定义余误差函数的定义:第五节第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解000误差函数的计算是把被积函数展开为麦克劳林级数，然后逐项积分误差函数的计算是把被积函数展开为麦克劳林级数，然后逐项积分第五节第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解第六节第六节 一维扩散方程的时间连续源的解析解一维扩散方程的时间连续源的解析解 一、时间连续点源一、
20、时间连续点源在流场的某一点上，连续不断地投入浓度为在流场的某一点上，连续不断地投入浓度为c c0 0（常数）的（常数）的污染物质，即时间连续恒定点源。污染物质，即时间连续恒定点源。如果一维扩散区域无限长，则可将投放点位置取为坐标原点如果一维扩散区域无限长，则可将投放点位置取为坐标原点假设在初瞬时假设在初瞬时t=0t=0，沿，沿x x轴各处的浓度均为零，但在轴各处的浓度均为零，但在x=0 x=0处浓处浓度突然从零增加到，以后保持不变，亦即度突然从零增加到，以后保持不变，亦即c(0,t)=cc(0,t)=c0 0无限边界条件为无限边界条件为c(c(,t)=0,t)=0本问题的解也是一个有用的基本解
21、，可以用来构造其他某些本问题的解也是一个有用的基本解，可以用来构造其他某些问题的解。问题的解。第六节第六节 一维扩散方程时间连续源的解析解一维扩散方程时间连续源的解析解借助量纲分析法来求解浓度分布借助量纲分析法来求解浓度分布c c(x,t(x,t)显然，显然，c c与与c c0 0,D D,x x和和t t有关，利用有关，利用定理定理,选选 c c、D D和和t t为基本变量，为基本变量，可得如下可得如下关系式：关系式：)(0Dtxfcc 式中：式中：f f是某一待确定的函数。令是某一待确定的函数。令 ,有有Dtx/02122 ddfdfd边界条件为边界条件为f f(0)=1,(0)=1,f
22、f()=0,)=0,显然有显然有c c(-x,t(-x,t)=)=c c(x,t(x,t),),解对解对称于原点，只需沿称于原点，只需沿x x正向求解。正向求解。二阶变系数齐次常微分方程二阶变系数齐次常微分方程0),4()4(1),(00 xDtxerfccDtxerfctxc时间连续点源的浓度分布时间连续点源的浓度分布第六节第六节 一维扩散方程时间连续源的解析解一维扩散方程时间连续源的解析解 更一般的情形是更一般的情形是c c0 0不是常数，即不是时间连续恒定点源。而不是常数，即不是时间连续恒定点源。而是是c c0 0随时间随时间而变，即而变，即c c0 0=c=c0 0（）。）。当时间增加
23、当时间增加，位于，位于x=0 x=0处的浓度增量为处的浓度增量为 ，相应的，相应的扩散结果可借助上式表示为扩散结果可借助上式表示为:c)()(4(0 ttDxerfccc由上式通过积分可得任一时刻由上式通过积分可得任一时刻t的解：的解：dtDxerfcctxct)(),(400用于求解浓度用于求解浓度C C0 0()的迭加法的迭加法以下讨论在以下讨论在x=0 x=0处，给定单位时间单位面积上投入的污染物处，给定单位时间单位面积上投入的污染物质量质量 (简称单位面积质量投放率简称单位面积质量投放率)，量纲为，量纲为MLML-2-2T T-1-1，即，即在在时间内在单位面积上投放质量为时间内在单位
24、面积上投放质量为 。此时，根据。此时，根据瞬时点源的解式可得在瞬时点源的解式可得在瞬时投放质量瞬时投放质量 的浓度场：的浓度场：)(m )(m)(m)(4exp)(4)(2 tDxtDmc由于是时间连续点源，故可得由于是时间连续点源，故可得 dtDxtDmtxct)(4exp)(4)(),(20)(m 如果如果 为常数，上式变为为常数，上式变为 d)t(D4xexpt1D4m)t,x(ct02第六节第六节 一维扩散方程时间连续源的解析解一维扩散方程时间连续源的解析解)(.m有有设设,/)(42xtDu duu1expu1D4xm)t,x(c2x/Dt40 第六节第六节 一维扩散方程时间连续源的
25、解析解一维扩散方程时间连续源的解析解时间连续点源的浓度分布时间连续点源的浓度分布污染的范围和污染的范围和浓度均随时间浓度均随时间的增加而增大的增加而增大 通过数值积通过数值积分进行计算分进行计算二、时间连续线源二、时间连续线源第六节第六节 一维扩散方程时间连续源的解析解一维扩散方程时间连续源的解析解设设 为在单位时间内单位体积上投放的污染物质为在单位时间内单位体积上投放的污染物质质量，它的量纲为质量，它的量纲为MLML-3-3T T-1-1，则利用瞬时线源解式，则利用瞬时线源解式,再加对时间积分，便得解答：再加对时间积分，便得解答：),(txf tddtDxtDftxc0244)()(exp)
26、(),(),(第七节第七节 有界一维扩散和叠加方法有界一维扩散和叠加方法 对扩散被各种边界所限制的问题，通常运用叠加原理来解决。对扩散被各种边界所限制的问题，通常运用叠加原理来解决。因为扩散方程是线性的，如果边界条件也是线性的，则可以因为扩散方程是线性的，如果边界条件也是线性的，则可以叠加任意数量的单独解，从而构成新的解。叠加任意数量的单独解，从而构成新的解。假设边界为完全反射壁，即不吸收扩散物质。假设边界为完全反射壁，即不吸收扩散物质。一、一边反射的瞬时点源情形一、一边反射的瞬时点源情形边界条件：壁面上的浓度梯度必须是零，由费克定律得到边界条件：壁面上的浓度梯度必须是零，由费克定律得到:0
27、x)t,x(cLx 初始条件：初始条件：)()0,(xmxc 讨论最简单的情况：当讨论最简单的情况：当t=0t=0时，在时，在x=0 x=0处与处与x x轴垂直的单位面轴垂直的单位面积上，投放的污染物质量为积上，投放的污染物质量为m m。在正方向的边界为无穷远，。在正方向的边界为无穷远，但在但在x=-Lx=-L处有一阻止物质扩散的壁存在，并设该壁不吸收处有一阻止物质扩散的壁存在，并设该壁不吸收扩散物质（完全反射）。扩散物质（完全反射）。像源法：当像源法：当t=0t=0时，另在时，另在x=-2Lx=-2L处投入单位面积质量为处投入单位面积质量为m m的的污染物质污染物质像源或映像源，由像源和真实
28、源各自像源或映像源，由像源和真实源各自产生的浓度场叠加即为真正问题的解：产生的浓度场叠加即为真正问题的解：4)2(exp)4exp(4),(22DtLxDtxDtmtxc第七节第七节 有界一维扩散和叠加方法有界一维扩散和叠加方法一边侧壁的像源法一边侧壁的像源法在反射壁边界处的浓度等在反射壁边界处的浓度等于不存在该壁时的两倍。于不存在该壁时的两倍。以上的解可以通过检查初以上的解可以通过检查初始条件和边界条件是否得始条件和边界条件是否得到满足而加证实。到满足而加证实。二、两边反射的瞬时点源情形二、两边反射的瞬时点源情形 在在x=-Lx=-L和和x=Lx=L均有完全反射壁：均有完全反射壁：LLLLL
29、xLLLLLxA86428642 有有像像源源对对边边壁壁有有像像源源对对边边壁壁真真源源无穷多像源各自的浓度分布叠加便得到问题的解：无穷多像源各自的浓度分布叠加便得到问题的解：4)2(exp4),(2DtnLxDtmtxcn 两面侧壁的像源法两面侧壁的像源法第七节第七节 有界一维扩散和叠加方法有界一维扩散和叠加方法通常只计算几项就可通常只计算几项就可以满足实际需要，如以满足实际需要，如n=0,1。第八节第八节 二维和三维扩散方程的解析解二维和三维扩散方程的解析解 一、瞬时点源一、瞬时点源二维扩散方程为：二维扩散方程为：上式中的上式中的D Dx x和和D Dy y分别为分别为x x和和y y方
30、向的扩散系数，虽然在分子方向的扩散系数，虽然在分子扩散中，扩散中，D Dx x=D Dy y=D=D，但因为我们将来可以借用该方程的解，但因为我们将来可以借用该方程的解来解决某具有非各向同性性质的紊流扩散问题，所以在这来解决某具有非各向同性性质的紊流扩散问题，所以在这里以里以D Dx xD Dy y进行讨论。进行讨论。2222ycDxcDxcyx 利用利用“乘积法则乘积法则”求解：假设本问题的解可以表为求解：假设本问题的解可以表为c c(x,y,t(x,y,t)=)=c c1 1(x,t)(x,t)c c2 2(y,t)(y,t)式中式中c c1 1不依赖于不依赖于y,y,c c2 2不依赖于
31、不依赖于x x，故有，故有第八节第八节 二维和三维扩散方程的某些解析解二维和三维扩散方程的某些解析解22212122122121)(ycDcxcDctcctcccctyx02222121212 )()(ycDtccxcDtccyx上式只有当两个括号内的量分别等于零才能得到满足，从而上式只有当两个括号内的量分别等于零才能得到满足，从而得到两个一维扩散方程，它们的瞬时点源无界空间的解均具得到两个一维扩散方程，它们的瞬时点源无界空间的解均具有扩散方程基本解的形式，将这两个解相乘，就得到解答。有扩散方程基本解的形式，将这两个解相乘，就得到解答。)44exp(4),(2221tDytDxDDtmccty
32、xcyxyxz )4exp(4),(22DtyxDtmtyxcz 当当D Dx x=D Dy y=D=D时，上式变为：时，上式变为：zmcdxdy在在z z轴单位轴单位长度上的长度上的质量质量可将可将“乘积法则乘积法则”求解的方法推广到瞬时点源无界空间的三求解的方法推广到瞬时点源无界空间的三维扩散。三维扩散方程为：维扩散。三维扩散方程为：222222zcDycDxcDxczyx )444exp()()4(),(2222/12/3tDztDytDxDDDtMtyxczyxzyx当当D Dx x=D=Dy y=D=Dz z=D=D时，时，r r2 2=x=x2 2+y+y2 2+z+z2 2,有有
33、 cdxdydzM式中：式中：)4exp()()4(),(22/12/3DtrDDDtMtyxczyx 第八节第八节 二维和三维扩散方程的某些解析解二维和三维扩散方程的某些解析解二、瞬时无限长线源二、瞬时无限长线源瞬时无限长线源情形瞬时无限长线源情形第八节第八节 二维和三维扩散方程的某些解析解二维和三维扩散方程的某些解析解一个瞬时无限长线源是沿一无限长直线上的每一个单位长一个瞬时无限长线源是沿一无限长直线上的每一个单位长度瞬时投放质量为度瞬时投放质量为m mz z所构成的，所构成的，m mz z的量纲为的量纲为MLML-1-1。对于一。对于一个沿个沿z z轴分布的无限长线源来讲，根据三维瞬时点
34、源的解可轴分布的无限长线源来讲，根据三维瞬时点源的解可得由于得由于处的点源处的点源m mz zd d所产生的所产生的P P点（点（x,y,zx,y,z）处的浓度为）处的浓度为4)(44exp)()4(2222/12/3tDztDytDxDDDtdmdczyxzyxz )44exp()(4(4)(exp)44exp()()4(),(222/12222/12/3tDytDxDDtmdtDztDytDxDDDtmtyxcyxyxzzyxzyxz 与瞬时点源的二维情形相同与瞬时点源的二维情形相同三、瞬时无限平面源三、瞬时无限平面源 第八节第八节 二维和三维扩散方程的某些解析解二维和三维扩散方程的某些解
35、析解单位面积瞬时引入质量为单位面积瞬时引入质量为m,m,对在对在yzyz平面上的一个平面源平面上的一个平面源来讲，由位于来讲，由位于处沿处沿z z方向单方向单位宽度上质量位宽度上质量m mz z=mdmd的无限的无限长线源在长线源在P P点（点（x,y,zx,y,z）处产）处产生的浓度：生的浓度：4)(4exp)(4222/1tDytDxDDtmddcyxyx )4exp()4(4)(exp)4exp()(4),(22/1222/1tDxtDmdtDytDxDDtmtxcxxyxyx 于是由无限平面源在于是由无限平面源在P P点处产生的浓度为：点处产生的浓度为：当当D Dx x=D=Dy y=
36、D=Dz z=D=D时，有时，有)4exp()4(),(22/1DtxDtmtxc 瞬时无限平面源情形瞬时无限平面源情形l瞬时无限平面的分子瞬时无限平面的分子扩散只沿与该平面垂扩散只沿与该平面垂直的方向进行，是一直的方向进行，是一维扩散维扩散l一维扩散问题中，点一维扩散问题中，点源就是无限平面源。源就是无限平面源。设在坐标原点处（设在坐标原点处（x x=y y=z z=0=0），单位时间内投放的污染物质），单位时间内投放的污染物质量为量为 （常数）。在（常数）。在dd的微小时间内，投放质量为的微小时间内，投放质量为 ，将每一个将每一个 看作是一个瞬时点源，借助瞬时点源的解在瞬看作是一个瞬时点源
37、，借助瞬时点源的解在瞬时时投入质量投入质量 的浓度场的浓度场:M dM dM四、三维时间连续恒定点源四、三维时间连续恒定点源 第八节第八节 二维和三维扩散方程的某些解析解二维和三维扩散方程的某些解析解 dM)(4)(4)(4exp)()(42222/12/3 tDztDytDxDDDtdMdczyxzyx由于时间连续源，可对上式对时间进行积分，有由于时间连续源，可对上式对时间进行积分，有 dDzDyDxttDDDtMtyxczyxtzyx)444()(1exp)(1)()(4),(22202/32/12/3则有则有取变换取变换,)444()(1u 222zyxDzDyDxt duDzDyDxt
38、dzyx444)(22222/3 当当=0=0，有，有),()444(1222zyxADzzDyDxtuyx 当当=t=t，有，有u=u=)444(1)444(8)exp()444(4),(22222222222/3DzzDyDxterfcDzzDyDxDDDMduuDzzDyDxDDDMtzyxcyxyxzyxAyxzyx 当当D Dx x=D=Dy y=D=Dz z=D=D时，上式简化为时，上式简化为:)4(4),(222222DtzyxerfcxxxDMtzyxc )4(4),(DtrerfcDrMtzyxc 即：即：第八节第八节 二维和三维扩散方程的某些解析解二维和三维扩散方程的某些解
39、析解第九节第九节 随机游动法随机游动法在以上各节中，是用欧拉（在以上各节中，是用欧拉（EulerEuler）的观点和确定性的数）的观点和确定性的数学方法来确究费克扩散的。但是，也可以采用拉格朗日学方法来确究费克扩散的。但是，也可以采用拉格朗日的观点，跟踪污染物质点的不规则运动，以及采用概率的观点，跟踪污染物质点的不规则运动，以及采用概率统计的方法来进行研究。统计的方法来进行研究。),(),(0trrPcrtrc 污染物质点由于受到分子运动的作用而作不规则的运动污染物质点由于受到分子运动的作用而作不规则的运动:第九节第九节 随机游动法随机游动法 rr质点的位移质点的位移 是一个是一个随机过程，该
40、过程可以通随机过程，该过程可以通过概率密度过概率密度 表达表达:)(rr )(rrf rdrrf)(),(trrP r r进一步考虑有大量污染物质点当进一步考虑有大量污染物质点当t=0t=0在位置在位置 处释放，于是，处释放，于是，当时刻当时刻t t在位置在位置 处的浓度可表示为：处的浓度可表示为：根据大数定律，概率根据大数定律，概率 可近似地由下式确定：可近似地由下式确定：),(trrP NntrrP ),(l某一质点当时刻某一质点当时刻t=0t=0时时处于位处于位 置置l当时刻当时刻t t时则处于位置时则处于位置 rr r r),(),(0trrPcrtrc马尔可夫（马尔可夫（Markow
41、Markow）链过程：由于受到液体分子碰撞，质）链过程：由于受到液体分子碰撞，质点可能在时刻点可能在时刻t t落入某一指定的体积元，也可能不落入该体落入某一指定的体积元，也可能不落入该体积元。而在每受一次碰撞之后，下一步走到什么位置，只积元。而在每受一次碰撞之后，下一步走到什么位置，只是与当前的位置有关，而与前一个位置无关。也可以说，是与当前的位置有关，而与前一个位置无关。也可以说，下一步处于某一位置的概率，只与质点位于当前位置的概下一步处于某一位置的概率，只与质点位于当前位置的概率有关，而与质点位于前一个位置的概率无关，亦即质点率有关，而与质点位于前一个位置的概率无关，亦即质点的运动已失去历
42、史的影响。的运动已失去历史的影响。设设P(x,tP(x,t)为一个质点当某一时刻为一个质点当某一时刻t t位于某一位置位于某一位置x x的概率的概率由全概率公式得到质点当时刻由全概率公式得到质点当时刻t t位于位于x x处的概率处的概率:第九节第九节 随机游动法随机游动法),(),(),(21 txxPptxxPptxP质点的一维随机运动质点的一维随机运动xtxxPtxxPxppxtxPtxxPtxxPxpptxPtxP 222212221),(),()()(),(),(),()(),(),(第九节第九节 随机游动法随机游动法因为质点只有向左或向右运动的两种可能性，故有因为质点只有向左或向右运
43、动的两种可能性，故有p p1 1+p+p2 2=1=1，且且p p1 1=p=p2 2，因此上式右边的末项为零。，因此上式右边的末项为零。进一步对上式取进一步对上式取00和和x0 x0的极限，便有的极限，便有 22xcDtc 方方差差为为质质点点一一步步扩扩散散距距离离的的或或质质点点总总数数，为为统统计计时时所所用用的的污污染染物物其其中中22221222)(121 xNxxNDNkk22XPDtP以上的结果有一个重要的假设：质点运动符合马尔可夫过程以上的结果有一个重要的假设：质点运动符合马尔可夫过程22),(),(0trrPcrtrc 0),(),(ctxctxP xDxPDt(,02 其中其中22)(lim00Axx22)(lim00Axx
