1、第九讲弹性力学基础优选第九讲弹性力学基础 两组荷载共同作用时产生的应力场、应变场和位移场，等于各自单独作用时引起的相应场之和。叠加原理叠加原理是由基本方程与边界条件的线性性质所决定，适用于线弹性和小变形情况。对大变形，弹性稳定问题和弹塑性力学问题不适用。叠加原理叠加原理XXXXX+XXX叠加原理的例子1：非均匀应力边界条件的求解地震断层同震位错反演Shen et al.,NATURE GEOSCIENCE,2009叠加原理的例子2：利用地表GPS变形资料反演地震断层位错叠加原理的例子3：利用地表GPS同震变形资料反演地震断层地震力非齐次微分方程(b)的任一特解，如取适用性广可适用于任何边界条件
2、。相容方程 (a)平面应力问题的应力解法代入v，并求出形变和应力，按位移求解时，u,v 必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)、(d)。将其他未知函数用 u,v表示：方程：变为按应力函数 求解，应满足:代入v，并求出形变和应力，（3）边界 S 上的应力边界条件.两类平面问题的应力解 相同，试验时可用平面应力的模型代替平面应变的按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。常体力情况下按应力求解的条件求解转变为按应力函数 求解，从3个未知函数减少至1个未知函数 。按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解常体力下按应力求解的简化但已将按应力叠加原理的例子2：利用地表GPS变形资料反演地震断层位错
3、 x z y x z y 几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿z方向也相同。载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴，且分布规律不随z变化。物理意义：00,vu表示物体绕原点的刚体转动。表示x，y向的刚体平移，取u,v为基本未知函数；求出 后，可由式（g）求得应力。（3）若全部为应力边界条件（），常体力情况下按应力求解的条件常体力下按应力求解的简化将应力函数代入相容方程,例1如图所示的简支梁只承受自重的作用，设材料的密度为 ，给出 函数可以作为应力函数的条件，并求出 表达式和应力分量，其
4、中，的形式为：例3图示的墙高度为h,宽度为b,两侧受均布剪力作用，用已知应力函数求解应力分量(4)应力边界条件假定全部边界上均为应力边界条件 。例3图示的墙高度为h,宽度为b,两侧受均布剪力作用，用已知应力函数求解应力分量平面应力问题的应力解法(a)叠加原理的例子1：非均匀应力边界条件的求解按位移求解时，u,v 必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)、(d)。将其他未知函数用 u,v表示：按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。则A，B均可用一个函数表示，即代入v，并求出形变和应力，(a)叠加原理的例子2：利用地表GPS变形资料反演地震断层位错111,B06409,doi:10.变为
5、按应力函数 求解，应满足:故 与弹性常数无关。求出 后，可由式（g）求得应力。不计体力，试求梁的应力分量补充方程从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出:按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。相容方程 (a)Yan Hu and Kelin Wang,Bending-like behavior of thin wedge-shaped elastic fault blocks,JOURNAL OF GEOPHYSICAL RESEARCH,VOL.平衡微分方程（2个）。将其他未知函数用 u,v表示：例4：三角形悬梁臂只受重力作用，如图所示，使用纯三次式应力函数求解。表示x，y向的刚体
6、平移，代入平衡微分方程，平面应力问题的应力解法（2）应力应满足相容方程（a），将式应力先用形变来表示（物理方程），（1）A内相容方程（h）；叠加原理的例子3：利用地表GPS同震变形资料反演地震断层地震力0,0.yxxxyxyyfxyfyx平面域A内的基本方程:,.xyxyuvvuxyxy11(),(),2(1).xxyyyxxyxyEEE(2)几何方程(3)物理方程平面应力问题的求解平面应力问题的求解(1)平衡微分方程应力边界条件 位移边界条件 （在 上）（在 上）sus边界条件：8个未知函数 必须，满足上述方程和边界条件。(),().xyxsxyxysylmfmlf(),().ssuuvv)
7、,(vuxyyxxyyx三大方程和边界条件：平面应力问题的定解问题。平面应力问题的位移解法按位移求解 将其他未知函数用 u,v表示：应变用 u,v表示几何方程;应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方程，用 u,v表示:取u,v为基本未知函数；2222()(),11()(),(a)11().2(1)2(1)xxyyyxxyxyEEuvxyEEvuyxEEvuxy 在A中导出求 u,v的基本方程将式(a)代入平衡微分方程，22222222222211()0,122()(b)11()0.122xyEuuvfxyx yAEvvufyxx y 上式是用 u,v表示的平衡微分方程。位移边界条件 （在
8、 上）(d)（在 上）(c).)(,)(vvuussus.)(21)(1,)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulEs应力边界条件将式(a)代入应力边界条件，在S上的边界条件归纳：22222222222211()0,122()(b)11()0.122xyEuuvfxyx yAEvvufyxx y .)(,)(vvuuss.)(21)(1,)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE(c)(d)按位移求解时，按位移求解时，u,v 必须满足必须满足A内的方程内的方程(b)和边界和边界条件条件(c)、(d)。式(b)，(c)，(d)是求解
9、 u,v的条件;也是校核 u,v是否正确的全部条件。按位移求解（位移法）的优缺点：按位移求解（位移法）的优缺点：适用性广可适用于任何边界条件。求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用，。试用位移法求解。gffyx,0解：为了简化，设位移 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然满足，第二式成为,0).(,0yvvu.2222Egdyvdyv 均属于位移边界条件，代入 v，.22BAyyEgvly,00()0,yv0;B 得得()0,y lv.2gAlE解出).2(2),2(
10、2),(22ylgylEgylyEgvyy在 处，2ly.0y代入v，并求出形变和应力，（1）取 为基本未知函数；xyyx,平面应力问题的应力解法（2）其他未知函数用应力来表示:应变用应力表示（物理方程）。位移用应变应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题,即 。11(),(),2(1).xxyyyxxyxyEEE)0,(usss 在A内求解应力的方程.22222yxxyxyyx(b)从几何方程中消去位移 u,v，得相容方程（形变协调条件）：补充方程从几何方程，物理方程
11、中消去位移和形变得出:平衡微分方程（2个）。(a)平面应力问题的应力解法 代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得用应力表示的相容方程：2()(1)(),(c)yxxyffxy.22222yx其中(4)应力边界条件假定全部边界上均为应力边界条件 。平面应力问题的应力解法（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界 S 上的应力边界条件.xyyx,（1）-（3）也是校核应力分量是否正确的全部条件。按应力求解平面应力问题，应力 必须满足下列条件：归纳：2()(1)(),(c)yxxyffxy 相容方程 (a)1.常体力情况下按应力求解的条件0)(2yx0,0yxyyx
12、yxxfxyfyx(b)平衡微分方程 常体力情况下的简化 应力函数 应力边界条件 ss (c).)(,)(ysxyyxsyxxflmfml 在-条件下求解 的全部条件(a)，(b)，(c)中均不包含弹性常数，故 与弹性常数无关。2.在常体力,单连体,全部为应力边界条件（）下的应力 特征：ss xyyx,xyyx,xyyx,结论：不同材料的应力()的理论解相同，用试验方法求应力时，也可以用不同的材料来代替。xyyx,两类平面问题的应力解 相同，试验时可用平面应力的模型代替平面应变的模型。xyyx,在常体力,单连体,全部为应力边界条件 3.常体力下按应力求解的简化,0.(e)xxyyxyf xf
13、y 22222,.(f)xyxyyxx y 对应的齐次微分方程的通解，艾里已求出为 非齐次微分方程(b)的任一特解，如取（1）常体力下平衡微分方程的通解是：非齐次特解+齐次通解。.yxy,fxx,fy2xyy22yx22x所以满足平衡微分方程的通解为:(g)为艾里应力函数。如果，则A，B均可用一个函数表示，即说明：).()(xfyyfx.,xfByfAa.导出艾里（Airy）应力函数 ，是应用偏导数的相容性，即),()(ByAxd.由 再去求应力（式（g）,必然满足平衡微分方程，故不必再进行校核。c.仍然是未知的。但已将按应力 求解转变为按应力函数 求解，从3个未知函数减少至1个未知函数 。b
14、.导出应力函数 的过程，也就证明了 的存在性，故可以用各种方法去求解 。),(yx),(xyyx.yxy,fxx,fy2xyy22yx22x（2）应力应满足相容方程（a），将式 （g）代入（a），得 2240.(h)ss（3）若全部为应力边界条件（），则应力边界条件也可用 表示。（1）A内相容方程（h）；（2）上的应力边界条件；ss 求出 后，可由式（g）求得应力。在常体力下求解平面问题，可转变为按应力函数 求解，应满足:归纳：2240.(h).yxy,fxx,fy2xyy22yx22x例1如图所示的简支梁只承受自重的作用，设材料的密度为 ，给出 函数可以作为应力函数的条件，并求出 表达式和应
15、力分量，其中，的形式为：),(yx),(yx),(yxyDxCyByyAxyx23532),(解：将应力函数代入相容方程,得到这就是作为应力函数必须满足的条件此时：02224Ay12Ay2yx2120y;y0;x2244444BA5yDxCyByyBxyx235325),(按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解yDxCyByyBx)y,x(235325DxBxyyxyDyByyxCyByyBxyxyyx2302106203022322322204250)(04150)(02450)(222222222CBhBlydyMDBhDBhhhxlxhyxyhyy431045222DhlChB22235
16、32222111043(,)5404lhx yx yyyx yhhhxhyyhyhyyyhxhlhxyyx22222222341234125342812满足上积分为零因为奇函数在对称区间满足，hl/2-dy hl/2;dyhx-xh-3hxhy3ydy dyhh2lxyxhh2lxyxhh2lxh/2y-h/2y32lxyxhh2lxx2222222222420例例2 如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为h，在左端面上受分布力作用（其合力为FS）。不计体力，试求梁的应力分量解：解：1 1、用凑幂次不同的双调和多项、用凑幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应式函数的半逆解法来求解
17、。显然，应力函数力函数 所对应的面力，在梁两端所对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、下与本题相一致，只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为边界面上多出了一个大小为 的剪应力，为了抵消它，在应力函数的剪应力，为了抵消它，在应力函数上上 再添加一个与纯剪应力对应再添加一个与纯剪应力对应的应力函数的应力函数 ：3axy2ah43-bxy3axybxyxya3按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解bxyxya3222222306yabyxx,xyayxyyx04h3a-b3ay-b ,2hy22xyy0时当s3hh2hhxyh/2h/2-xh/2h/2-xxF4ha-bhdy3ayb
18、-dy0ydy 0dy0,0 x2222自然满足自然满足时当s32F4habh04h3ab3223hFa hFbss233623012yhFhFxyhFssxyysx例例3 3图示的墙高度为图示的墙高度为h,h,宽度为宽度为b,b,两侧受均布剪力作用，用已知应两侧受均布剪力作用，用已知应力函数求解应力分量力函数求解应力分量 yBxAxy3解：给出的应力函数显然满足相容方程，于是得到应力分量表达式 22xy22y22x3Bx-Ayx-6Bxyx0y下面验证边界条件 q43BbA-q0,-b/2x2xyx自然满足边界上在q43BbA-q0,b/2x2xyx自然满足边界上在按应力函数和应力方法求解弹
19、性问题解析解b/2b/2-32b/2b/2-xyb0yb/2b/2-y04BbAb0dx3BxA-0dx0 xdx;0dx0y满足满足边界上在223b2qB2q-A-q43BbA04BbAb解联立方程22xy2yxbx12-12qxyb12q0)22(266222222CyBxyxgyByAxyfxDyCxxfyxyyyxx3223DyCxyyBxAx00020600010010BABxAxffxyyyyxyxxyx直边界上CygyDyCxxyyx262按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解例4：三角形悬梁臂只受重力作用，如图所示，使用纯三次式应力函数求解。00yxyxyxcossincoss
20、in斜边界上sin26tancos2tan0sin2cos0CxDxCxCygysin26tancos2tan0sin2cos0CDCCg22cot62cotCgDg 2cot2cotcotxyxygxgygygy CygyDyCxxyyx262例5 试用纯三次式应力函数，求解楔形体受重力和侧向液体压力的应力场。Yan Hu and Kelin Wang,Bending-like behavior of thin wedge-shaped elastic fault blocks,JOURNAL OF GEOPHYSICAL RESEARCH,VOL.111,B06409,doi:10.102
21、9/2005JB003987,2006例6 利用应力函数法求解楔形体的应力场上顶界：y=0Yan Hu and Kelin Wang,Bending-like behavior of thin wedge-shaped elastic fault blocks,JOURNAL OF GEOPHYSICAL RESEARCH,VOL.111,B06409,doi:10.1029/2005JB003987,2006下底界：y=xtanYan Hu and Kelin Wang,Bending-like behavior of thin wedge-shaped elastic fault blocks,JOURNAL OF GEOPHYSICAL RESEARCH,VOL.111,B06409,doi:10.1029/2005JB003987,2006
