1、什么是方差分析什么是方差分析?（一个例子）（一个例子）表表8-1 该饮料在五家超市的销售情况该饮料在五家超市的销售情况超市超市无色无色粉色粉色橘黄色橘黄色绿色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8什么是方差分析什么是方差分析?（例子的进一步分析）（例子的进一步分析）检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就是检验检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同四种颜色饮料的平均销售量是否相同设设1为无色饮料的平均销售量，为无色饮料的平均
2、销售量，2粉色饮料的平均销粉色饮料的平均销售量，售量，3为橘黄色饮料的平均销售量，为橘黄色饮料的平均销售量，4为绿色饮料为绿色饮料的平均销售量，的平均销售量，也就是检验下面的假设也就是检验下面的假设H H0 0:1 1 2 2 3 3 4 4 H H1 1:1 1,2 2,3 3,4 4 不全相等不全相等检验上述假设所采用的方法就是方差分析检验上述假设所采用的方法就是方差分析方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理（几个基本概念）（几个基本概念）因素或因子因素或因子所要检验的对象称为因子要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色颜色是要检验的因素或因子水平水平因素的具体表现称为水平A1、
3、A2、A3、A4四种颜色就是因素的水平观察值观察值在每个因素水平下得到的样本值每种颜色饮料的销售量就是观察值方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理（几个基本概念）（几个基本概念）试验试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验总体总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如A1、A2、A3、A4四种颜色可以看作是四个总体样本数据样本数据上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据1.比较两类误差，以检验均值是否相等比较两类误差，以检验均值是否相等2.比较的基础是方差比比较的基础是方差比3.如果如果系统系统(处理处理)误差误差显著地不同于显著地不同于随机误差随机误差，则均值就是
4、不相等的；反之，均值就是相等的则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的4.误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的的方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理（两类误差）（两类误差）随机误差随机误差在因素的在因素的同一水平同一水平(同一个总体同一个总体)下，样本的各观察值之间下，样本的各观察值之间的差异的差异比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响
5、，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称为说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差随机误差 系统误差系统误差在因素的在因素的不同水平不同水平(不同总体不同总体)下下，各观察值之间的差异，各观察值之间的差异比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的这种差异这种差异可能可能是由于抽样的随机性所造成的，是由于抽样的随机性所造成的，也可能也可能是由是由于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为造成的，称为系统误差系统误差方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理（两类方差）
6、（两类方差）组内方差组内方差因素的同一水平同一水平(同一个总体同一个总体)下样本数据的方差比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差组内方差只包含随机误差随机误差组间方差组间方差因素的不同水平不同水平(不同总体不同总体)下各样本之间的方差比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的方差组间方差既包括随机误差随机误差，也包括系统误差系统误差方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理（方差的比较）（方差的比较）如果如果不同颜色不同颜色(水平水平)对销售量对销售量(结果结果)没有影响没有影响，那么在组，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组间方差中只包含有随机误差，
7、而没有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近，间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接两个方差的比值就会接近近1如果如果不同的水平对结果有影响不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随，在组间方差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于组内方差，组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于组间方差与组内方差的比值就会大于1当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异着显著差异方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定每个总体都应服从正态分布
8、每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布各个总体的方差必须相同各个总体的方差必须相同对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同观察值是独立的观察值是独立的比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著影在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等的问题均值是否相等的问题 如
9、果如果四个总体的均值相等四个总体的均值相等，可以期望，可以期望四个样本的均值四个样本的均值也会很接近也会很接近四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证据也就越充分据也就越充分样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分 方差分析中基本假定方差分析中基本假定 如果原假设成立，即如果原假设成立，即H0:1=2=3=4n四种颜色饮料销售的均值都相等n没有系统误差 这意味着这意味着每个样本都来自均值为每个样本都来自均值为、差为、差为 2的同一的同一正态总体正态总体 方差分析中基本假定方差
10、分析中基本假定 如果备择假设成立，即如果备择假设成立，即H1:i(i=1，2，3，4)不全相不全相等等n至少有一个总体的均值是不同的n有系统误差 这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构 观察值观察值 (j)因素因素(A)i 水平水平A1 水平水平A2 水平水平Ak12:n x11 x12 x1k x21 x22 x2k :xn1xn2 xnk提出假设提出假设一般提法一般提法H0:1=2=k (因素有k个水平）H1:1，2，k不全相等对前面的例子对前面的例子H0:1=2=3=4颜色对销售量没有
11、影响H0:1，2，3，4不全相等颜色对销售量有影响构造检验的统计量构造检验的统计量为检验为检验H0是否成立，需确定检验的统计量是否成立，需确定检验的统计量 构造统计量需要计算构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值离差平方和均方(MS)构造检验的统计量构造检验的统计量(计算水平的均值计算水平的均值)假定从第假定从第i个总体中抽取一个容量为个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，的简单随机样本，第第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数观察值的个数计算公式为计算公式为 1(1,2,)inijjiixxikn构造检验的统计量构
12、造检验的统计量(计算全部观察值的总均值计算全部观察值的总均值)全部观察值的总和除以观察值的总个数全部观察值的总和除以观察值的总个数计算公式为计算公式为 11112inkkijiiijikxn xxnnnnnn式中：构造检验的统计量构造检验的统计量(前例计算结果前例计算结果)表表8-2 四种颜色饮料的销售量及均值四种颜色饮料的销售量及均值超市超市(j)水平水平A(i)无色无色(A1)粉色粉色(A2)橘黄色橘黄色(A3)绿色绿色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.73
13、2.8合计合计136.6147.8132.2157.3573.9水平均值水平均值观察值个数观察值个数 x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5总均值总均值x=28.695构造检验的统计量构造检验的统计量(计算总离差平方和计算总离差平方和 SST)全部观察值全部观察值 与总平均值与总平均值 的离差平方和的离差平方和反映全部观察值的离散状况反映全部观察值的离散状况总离差平方和（总变异）其计算公式为总离差平方和（总变异）其计算公式为211inkijijSSTxxijxx构造检验的统计量构造检验的统计量(计算误差项平方和计算误差项平方和 SSW)
14、每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差平方反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差平方和和该平方和反映的是该平方和反映的是随机误差的大小随机误差的大小误差项平方和（组内变异或是组内平方和）误差项平方和（组内变异或是组内平方和）计算公式为计算公式为 211inkijiijSSWxx构造检验的统计量构造检验的统计量(计算水平项平方和计算水平项平方和 SSB)各组平均值各组平均值 与总平均值与总平均值 的离差平方的离差平方和和反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称反映各总体的样本均值之间的差异
15、程度，又称组间平方和组间平方和该平方和该平方和既包括随机误差，也包括系统误差既包括随机误差，也包括系统误差计算公式为计算公式为 22111inkkiiiijiSSBxxnxx(1,2,)ix ikx构造检验的统计量构造检验的统计量(三个平方和三个平方和的关系的关系)总离差平方和总离差平方和(SST)、误差项离差平方和误差项离差平方和(SSW)、水平项离差平方和水平项离差平方和(SSB)之间的关系之间的关系kiiikinjijkinjijxxnxxxxii12112112构造检验的统计量构造检验的统计量(三个平方和的作用三个平方和的作用)SST反映了全部数据总的误差程度；SSW反映了随机误差的大
16、小；SSB反映了随机误差和系统误差的大小.如果原假设成立，即H1 H2 Hk为真，则表明没有系统误差，组间平方和SSB除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差组间方差与组内方差之间差异的大小为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量构造检验的统计量构造检验的统计量(计算均方计算均方 MS)各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除消除观察值多少对离差平方和大小的
17、影响观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，需要将其平均，这就是均方，也称为方差这就是均方，也称为方差计算方法是用离差平方和除以相应的自由度计算方法是用离差平方和除以相应的自由度三个平方和的自由度分别是三个平方和的自由度分别是SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数SSB的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数SSW 的自由度为n-k构造检验的统计量构造检验的统计量(计算均方计算均方 MS)SSB的均方也称的均方也称，记为，记为MSB，计算公式，计算公式为为1SSBMSBkSSWMSWnk构造检验的统计量构造检验的统计量(计算检验的统计量计算检验的统计量 F)将将MS
18、B和和MSW进行对比，即得到所需要的检验统进行对比，即得到所需要的检验统计量计量F当当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为分母自由度为 n-k 的的 F 分布，即分布，即(1,)MSBFF knkMSW486.104428.26152.25F前例的计算结果：统计决策统计决策 将统计量的值将统计量的值F与给定的显著性水平与给定的显著性水平 的临界的临界值值F 进行比较，作出接受或拒绝原假设进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决的决策策根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F
19、若FF ，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素(A)对观察值有显著影响若F F ，则不能拒绝原假设H0，表明所检验的因素(A)对观察值没有显著影响 【根据根据P值直接进行决策值直接进行决策】单因素方差分析表单因素方差分析表(基本结构基本结构)方差来源平方和SS自由度df均方MSF 值组间(因素影响)组内(误差)总和SSBSSWSSTk-1n-kn-1MSBMSWMSB单因素方差分析实质上采用了统计推断的方法，单因素方差分析实质上采用了统计推断的方法，由于方差分析有一个比较严格的前提条件，即不由于方差分析有一个比较严格的前提条件，即不同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分
20、布，同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布，因此方差分析问题就转换成研究不同水平下各个因此方差分析问题就转换成研究不同水平下各个总体的均值是否有显著差异的问题。总体的均值是否有显著差异的问题。SPSS中实现过程中实现过程 随机抽取了随机抽取了三组学生三组学生的数学成绩，试以的数学成绩，试以0.05的显著性水的显著性水平分析三组学生的数学平均成绩是否有显著差异。平分析三组学生的数学平均成绩是否有显著差异。人人 名名数数 学学组组 别别hxh99.000yaju88.000yu99.000shizg89.000hah94.000s90.000watet79.002jess56.002wish89.0022_new199.0022_new270.0022_new389.0022_new455.0012_new550.0012_new667.0012_new767.0012_new856.0012_new956.001实现步骤实现步骤结果和讨论结果和讨论（1 1）首先是单因素方差分析的前提检验结果，也就）首先是单因素方差分析的前提检验结果，也就是是Homogeneity of variance testHomogeneity of variance test（2 2）输出结果的最后部分是各组观察变量均值的折）输出结果的最后部分是各组观察变量均值的折线图：线图：再见
