1、第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述粒子（广义概念）：组成宏观物质系统的基本单元，如，气体分子，金属离子或自由电子辐射场的光子，晶体中的声子等运动状态：专指力学运动状态经典粒子的特征：颗粒性，具有轨道确定性，全同粒子的可区分性，能量连续性经典力学中，粒子的能量为其广义坐标和广义动量的函数：以广义坐标和广义动量为坐标轴构成直角坐标，空间空间中的点与粒子的运动状态一一对应（代表点），运动状态随时间变化，在空间中用一条线表示（相轨迹，并不代表运动的实际轨道）相体积元：经典描述中，粒子的能量，广义坐标和广义动量均是连续的，故而空
2、间也是连续的。2r元空间中的体积元1212rrddq dqdq dp dpdp相格：比相体积元更小的体校的体积元。划分的原则，同一相格内各点的坐标和动量的误差可以忽略，即，同一相格内各个代表点对应于粒子的一个运动状态，不同的相格代表不同的运动状态（相格的大小就是粒子的一个运动状态在空间所占相体积的大小）。相格的大小可以任意划分，受到不确定关系的约束，通常取其为hr（h，普朗克常数；r，粒子的自由度）。相格数（状态数）：在2r维的空间中d内的相格数（粒子运动状态的数目）1212rrrrdq dqdq dp dpdpdhh统计物理中常用的几种经典粒子模型：统计物理中常用的几种经典粒子模型：自由粒子
3、：自由粒子：做一维运动的自由粒子在相空间中的表示xxxdxdpxpddxdph在（，）处相体积内粒子状态数目 1/22xdxdpLLmddpdhhh在 间粒子状态数目 对于三维自由粒子3,xyzxyzxyzdxdydzdp dp dpx y z pppddxdydzdp dp dph在（,）处相体积内粒子状态数目 3/21/232V2 Vdmdh在体积为，能量在 间粒子状态数目（？）234VVppdpp dph在体积为，能量在 间粒子状态数目 （？）线性谐振子：线性谐振子：受线性回复力的作用，在平衡位置的附近做简谐运动经典意义上的振子的能量可以取任意大于零的正值，右图为能量不同的振子在相空间只
4、能够的轨迹。2dxdpab在给定能量 所包围的相体积为 ab 12ddddhdh在 间谐振子的状态数目 转子：转子：当没有受到外力的作用时，通过选择合适的坐标轴，可得思考：哑铃型的双原子分子绕其质心的转动可以看成四维转子，能量可表为228Iddh能量在 转子的状态数目 (?)6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述微观粒子具有波粒二象性微观粒子具有波粒二象性德布罗意关系式不确定关系不确定关系在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态.量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由度数.统计物理中常用的几种粒子的量子力学模型：统计物理中常用的几种粒子的量子力学模型：线性谐振子：
5、线性谐振子：能量的可能值（分立的等间隔的）转子：转子：转子的能量角动量的平方角动量在任意方向上的投影经典力学中投影可以取任意值，量子力学中只取分立值，成为空间量子化转子的能量是分立的如果某一个能将的量子状态不止一个，则称该能级为简并简并的自由粒子自由粒子一维自由粒子在有限长容器中的运动，通常采用驻波或周期性边界条件来确定粒子的可能运动状态。如果采用周期性边界条件，则引入波矢k动量的可能值能量的可能值三维自由粒子的动量三维自由粒子的能量能级是简并的2xxxxxxxLppdpdndpnp在间粒子状态数目 （考虑到和 的一一对应性）3xxxyyyzzzxyzxyzVppdpppdpppdpVdn d
6、n dndp dp dph在体积为，动量在，内粒子的量子态数目 三维自由粒子的能量234VVppdpp dph在体积为，能量在 间粒子状态数目 3/21/232V()2VdDmdh在体积为，能量在 间粒子状态数目 =电子自旋：电子自旋：电子不是点电荷，除轨道运动外还有自旋运动，具有固有的自旋角动量|(1)1/2Ss ss1z sz=2在 方向只能有两个分量如果考虑电子的自旋，则在上述的量子态中，都应该乘以因子26.3 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述本节考虑 近独立粒子近独立粒子 和 全同粒子全同粒子由近独立粒子近独立粒子组成的体系的能量为单个粒子的能量的总和注：近独立粒子之间作用
7、力很弱，但是仍然存在全同粒子：全同粒子：经典系统中的全同粒子可以区分，如果将体系中的任意两个交换，状态改变；因此确定系统的微观状态归结为确定每个粒子的个体状态。量子系统中的全同粒子是不可区分的（全同性原理），确定系统的微观状态归结为确定系统的每个量子态上的粒子数目。玻色子玻色子 费米子费米子的划分（需要记忆典型的基本粒子）泡利不相容原理泡利不相容原理（对费米子的约束）费米系统泡利系统玻尔兹曼体系假设体系由2个 均具有3个个体量子态的粒子组成，则系统的总量子态在各种体系中的数目不相同。6.4 统计物理学的基本假设统计物理学的基本假设统计物理认为，宏观物质系统的特性是由大量微观粒子运动的集体表现。
8、等概率原理：等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。基本假设之一：宏观量的观测值等于微观量的统计平均值宏观量的观测值等于微观量的统计平均值基本假设之二：因此：因此：确定系统的各个微观状态出现的概率是统计物理的根本问题确定系统的各个微观状态出现的概率是统计物理的根本问题6.5 微观分布与微观状态微观分布与微观状态近独立粒子组成的大系统：粒子数，N；能量，E；体积，V.对于总系统注意：注意：与一个分布al相应的系统的微观状态往往是很多的，这些微观状态数对于玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统显然不同对于玻耳兹曼系统（粒子可以分辨）对于玻耳兹曼系统（粒子可以分辨
9、）al个粒子在同一能级l上状态数将N个粒子分布在不同的能级上（每个能级上有al个粒子）可得到的状态数与分布al相应的微观状态与分布al相应的微观状态对于玻色系统（粒子不可分辨，量子态上粒子的分布不受限制）对于玻色系统（粒子不可分辨，量子态上粒子的分布不受限制）al个全同粒子在同一能级l上的l个量子态的可能方式与分布al相应的微观状态对于费米系统（粒子不可分辨，一个量子态上最多能放置一个粒子）对于费米系统（粒子不可分辨，一个量子态上最多能放置一个粒子）al个全同粒子在同一能级l上的l个量子态的可能方式如果体系的任意能级上的粒子数远小于该能级的量子态数则经典极限条件（非简并条件）！（体积元中的状态
10、数目）经典统计中的分布和微观状态数：经典统计中的分布和微观状态数：经典粒子可以分辨，相格中的粒子数目不受限制当ln最大时，必有（利用了al1）6.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布微观状态数最多的分布，出现的概率最大，称为最概然分布。本节推导玻耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为玻耳兹曼分布.玻耳兹曼系统中的微观态数玻耳兹曼系统中的微观态数考虑到（m远大于1）取对数最概然分布就是使得最大，也就是使得ln最大当al远大于1考虑到可得考虑到考虑到0所以 ln取最大值（和为拉氏常数）讨论：讨论：（1）对于宏观系统，在最概然分布处的微观态数是一个非常尖锐的极大值，在它的一个极其微小的邻域内的分布所具有的微观态数
11、就几乎占据了全部的微观状态。因此，最概然分布完全代表系统真正的的统计分布；（2）上述推导过程中用到了条件：al1，这是不严密的；（3）以上推导可以适用于多元体系；（4）对于经典统计中的玻尔兹曼分布，可直接得出下式：其中，满足：6.7 玻色分布和费米分布玻色分布和费米分布对于玻色系统，与分布对于玻色系统，与分布al对应的微观态数对应的微观态数考虑到（m远大于1）当ln最大时，必有考虑到可得（和为拉氏常数）所以所以（玻色爱因斯坦 分布）对于费米系统，与分布对于费米系统，与分布al对应的微观态数对应的微观态数类似地可得：（费米狄拉克 分布）注：以上讨论中均用到了一些在实际上并不总是成立的假定。6.7 三种分布的关系三种分布的关系则如果或者经典极限条件（非简并条件）！
