1、第六节第六节 定积分的几何应用定积分的几何应用一、一、微元法微元法二、平面图形的面积二、平面图形的面积三三、旋转体的体积旋转体的体积四四、平行截面面积为已知、平行截面面积为已知的立体的体积的立体的体积回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题()baAf x dx 一一、微元法、微元法曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（2）计算）计算iA 的近似值的近似值iiixfA )(iix （3）求和，得求和，得A的近似值的
2、近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy（4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)(，于是于是 dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxx dA面积元素面积元素当所求量当所求量U符合下列条件：符合下列条件：（2）U对于区间对于区间 ba,具有可加性，就是说，具有可加性，就是说，如果把区间如果把区间 ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相相应地分成许多部分量，而应地分成
3、许多部分量，而U等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量U微元法的一般步骤：微元法的一般步骤：1）根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba；2）设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并记记为为,dxxx，求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示为为,b
4、a上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U的的元元素素且且记记作作dU，即即dxxfdU)(；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U的的积积分分表表达达式式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法几何应用方向：几何应用方向：平面图形的面积；体积平面图形的面积；体积xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面
5、积 badxxfxfA)()(12二、二、平面图形的面积平面图形的面积 1.1.直角坐标系下平面图形的面积直角坐标系下平面图形的面积xxxx x 例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1,0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(
6、236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3,2 x,0,2)1(xdxxxxdA)6(231 ,3,0)2(xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：说明：注意各积分区间上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4,2 ydy
7、yydA 242.1842 dAAxy22 4 xy如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA 在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有连续导数，具有连续导数，)(ty 连续连续.例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 设由曲线设由曲线)(r及射线及射线
8、 、围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)(在在,上连续，且上连续，且0)(xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA 2.2.极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积)(r例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A例例 6 6 求心形线求心形线)cos1(ar所围平面图形的所围平面图形的面积面积)0(a.解解 dadA22
9、)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1(02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转体的体积三、旋转体的体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，
10、,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)(xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)()(xfy yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，,0hx 在在,0h上任取小区间上任取小区间,dxxx，xo直线直线 方程为方程为OP以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为dxxhrdV2 圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoa a
11、oyx解解,323232xay 332322 xay,aax 旋转体的体积旋转体的体积dxxaVaa33232 .105323a 类类似似地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(yx 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为xyo)(yx cddyy2)(dcV解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a)(xy绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积
12、可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 补充补充dxxfxVbay|)(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 解解取取积积分分变变量量为为y,
13、4,0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMxoab四、平行截面面积为已知的立体的体积四、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立
14、体体积RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 微元法的提出、思想、步骤微元法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）（注意微元法的本质）小小 结结求在直角坐标系下、
15、极坐标系下平求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积旋转体的体积旋转体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周思考题思考题1.微元法的实质是什么？微元法的实质是什么？思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)(xdxxfxySxyS021)()(2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同时对
16、 求导求导x1.微元法的实质仍是微元法的实质仍是“和式和式”的极限的极限.2.2.yxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3,2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy xyo 14yxy交点交点),1,4(立体体积立体体积dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y3.3.一、一、填空题：填空题：1 1、由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_.2 2、由曲线由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的
17、面积是面积是_._.3 3、由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面区域的面积是平面区域的面积是_._.4 4、计算计算xy22 与与4 xy所围的区域面积时，选用所围的区域面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷 .5 5、由曲线由曲线xxeyey ,与直线与直线1 x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是_ _.练练 习习 题（一）题（一）6 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积S，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaA，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积
18、积S最最小小 .二、二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积：1 1、xy1 与直线与直线xy 及及2 x；2 2、y2x与直线与直线xy 及及xy2；3 3、)cos2(2 ar；4 4、摆线、摆线)cos1(,)sin(tayttax )20(t及及x轴；轴；5 5、cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡尔叶形线、笛卡尔叶形线axyyx333 .三、三、求抛物线求抛物线342 xxy及其在点及其在点)3,0(和和)0,3(处的切线所围成的图形的面积处的切线所围成的图形的面积.四、四、求位于曲线求位于曲线xey 下方，该曲线过原点的切
19、线的下方，该曲线过原点的切线的左方以左方以轴轴及及 x上方之间的图形的面积上方之间的图形的面积.五、五、求由抛物线求由抛物线axy42 与过焦点的弦所围成的图形与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值面积的最小值 .一、一、1 1、1 1；2 2、332；3 3、2 2；4 4、y；5 5、21 ee；6 6、21.二、二、1 1、2ln23；2 2、67；3 3、2a；4 4、23 a；5 5、45；6 6、223a.三、三、49.四、四、2e.五、五、238a.练习题（一）答案练习题（一）答案一、一、填空题：填空题：1 1、连续曲线连续曲线,)(xfy 直线直线ax ，bx 轴轴及及 x所所围
20、图形围图形轴轴绕绕 x旋 转 一周 而成的 立体的体 积旋 转 一周 而成的 立体的体 积 v_，轴轴绕绕 y旋转一周而成的立体的旋转一周而成的立体的体体 v积积_；2 2、badxxfv)(常用来表示常用来表示_立立体的体积；体的体积；3 3、抛物线抛物线axy42 及直线及直线)0(00 xxx所围成的图所围成的图形形轴轴绕绕 x旋转而成的立体的体积旋转而成的立体的体积_；4 4、0,0,cosh yaxxaxay所围成的图所围成的图x形绕形绕轴旋转而成的立体的轴旋转而成的立体的 v体积体积_；练练 习习 题（二）题（二）二、二、有一铁铸件，它是由抛物线有一铁铸件，它是由抛物线、2101x
21、y 11012 xy与直线与直线10 y围成的图形，围成的图形，轴轴绕绕 y旋旋转而成的旋转体，算出它的质量转而成的旋转体，算出它的质量（长度单位是厘（长度单位是厘米，铁的密度是米，铁的密度是38.7厘厘米米克克）.三、三、把星形线把星形线323232ayx 轴轴绕绕 x旋转，计算所得旋转旋转，计算所得旋转体的体积体的体积.四、四、求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，绕直线，绕直线ay2 旋转所成旋转体的体积旋转所成旋转体的体积.五、五、求求222ayx 绕绕)0(abbx旋转所成旋转旋转所成旋转体的体积体的体积.六、六、设有一截锥体，其上，下底均为椭
22、圆，椭圆的轴设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为长分别为和和BA 2,2ba 2,2,h高为高为，求这截锥体，求这截锥体的体积的体积.七、七、设直线设直线baxy 与直线与直线0 x，1 x及及0 y所围所围成梯形面积等于成梯形面积等于A，试求，试求ba,使这个梯形使这个梯形轴轴绕绕 y旋转所得体积最小旋转所得体积最小.一、一、1 1、badxxf)(2,badxxxf)(2；2 2、已知平行截面面积的；、已知平行截面面积的；3 3、202 ax；4 4、2243sha .二、二、(克克).).三、三、310532a.四、四、327a.五、五、ba222.六、六、)(261bAaBABabh .七、七、Aba ,0.练习题（二）答案练习题（二）答案
