1、返回上页下页第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数复变函数就是自变量为复数的函数；复变函数论为数学中分析学的一个分支，所以也称为复分析；研究的主要对象为可导的复变函数，即解析函数；为建立复变函数的理论基础，首先讨论函数的定义域 引入复数域和复平面；引入复平面上的点集、区域、Jordan曲线；再引入复变函数的概念、极限与连续等；最后扩展复数域，引入无穷远点及其邻域的概念。返回上页下页内容：内容：第一节 复数第二节 复平面上的点集第三节 复变函数第四节 复球面与无穷远点目标或要求：目标或要求：1.理解复数定义及其几何意义；2.熟练掌握复数的运算；3.理解点集、Jordan曲线、单连通区域与多连
2、通区域；4.理解复变函数，及其极限与连续；5.了解无穷远点及其邻域。返回上页下页第一节 复数w1 复数域w2 复平面w3 复数的模与辐角w4 复数的三种表示w5 复数的乘幂与方根w6 共轭复数返回上页下页复数的基本概念复数的基本概念 具有 z=x+iy 的形状的数 z，称为复数复数。其中：x和y是实数，分别称为z的实部实部和虚部虚部，记作：i是虚数单位虚数单位(-1的平方根，i2=-1)。两复数相等两复数相等是指它们的实部与虚部分别相等。即z1=x1+iy1、z2=x2+iy2 则z1=z2定义为：x1=x2、y1=y2 如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz0，那么称z为一个虚数虚
3、数；如果Imz0等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数纯虚数；实部、虚部均为0的复数称为0复数复数，记为0。复数域复数域zImy,zRex返回上页下页复数四则运算的复数四则运算的运算律运算律：加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律乘法对加法的分配律加减、乘除互逆。复数的四则运算复数的四则运算复数的复数的四则运算四则运算定义为：定义为：和和(差差)、加、加(减减)法法积、乘法积、乘法商、除法商、除法)()()()(21212211bbiaaibaiba)()()(122121212211babaibbaaibaiba22222112222221212211)()(bababaibabbaai
4、baiba1221zzzz321321)()(zzzzzz1221zzzz321321)()(zzzzzz3121321)(zzzzzzz做除法时，分母不能为0；无须记公式，按一般的代数运算，并按i合并，分母无i。返回上页下页复数域复数域复数在四则运算这个代数结构下，构成复数域复数域，记为C。复数域复数域=复数集合复数集合+四则运算四则运算复数域对加、减、乘、除运算封闭；复数域可以看成实数域的扩张，并有：复数域实数域在复数域中，复数没有大小关系；在实数域中成立的代数恒等式，基本在复数域中也成立CR返回上页下页复平面复平面:基本概念基本概念一个复数 z=x+iy 本质上由一对有序实数(x,y )
5、唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或复数平面或z平面平面。x轴称为实轴实轴，y轴称为虚轴虚轴。复数、点、向量复数、点、向量在复平面上，从原点到点(x,y)所引的向量与复数z=x+iy 也构成一一对应关系。向量在平移关系下，即自由向量。构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系。三者等价，不区分。),(:2yxiyxzRCoz返回上页下页加减运算加减运算复数的相加、减与向量相加、减的法则是一致的。即满足三角形和平行四边形法则。例如：yx021zz 21zz 2z2z1z2z2z返回上
6、页下页复数的模与辐角复数的模与辐角复数的复数的模模(绝对值绝对值)复数z=x+iy的模(绝对值)，为向量 的长度，定义为：为实数绝对值、长度概念的推广。单位单位复数复数：模为1的复数。0 0复数的等价条件复数的等价条件：模为0。即：z=0 0|z|=0|=0两复数z1=x1+iy1、z2=x2+iy2的距离距离：22|yxz),(yxoz2121zzz,zdyx0yx021zz 1z2z221221yyxx返回上页下页复数的模是有大小关系的。|z|0z=x+iy 则 maxx,y max|x|,|y|z|x|+|y|三角不等式三角不等式三角形两边和大于第三边三角形两边差小于第三边复数模的基本不
7、等式复数模的基本不等式|z|z|zz|2121|z|z|zz|2121|z|z|zz|2121|z|z|zz|2121|z|zIm|y、y|z|zRe|xxyx021zz 21zz 2z1z2z),(yxyx0返回上页下页复数的复数的辐角辐角从实轴正向到非零复数z=x+iy的向量 间的夹角，并满足称为复数z的辐角辐角。记为：Arg z 任一非零复数有无穷多个辐角。以arg z表示满足条件 -的辐角，并称为Arg z的主值，或称为复数z的主辐角主辐角。-0，使得（即使得zE有|z|r）则称E是有界集；无界集无界集：不是有界集的集合。有界集有界集E E的直径的直径：z0为为E聚点的等价条件：聚点的
8、等价条件：z0的任一邻域内都有E的无穷多个点；0,z1z0,有z1 N(z0)E；0,z1z2,有z1,z2 N(z0)E；可从E中取出以z0为极限的点列 zn，即：zn E且0,N(正整数),使n N有：|zn-z0|。0rEN边界为闭集；(P23)平面上的曲线为闭集。d Esup zz z,zE可取到的！d(E)返回上页下页区域区域定义定义1.5 如果非空点集D，满足：(开性)D是开集；(连通性)D中任意两点可以用完全属于D的折线连起来。则称D为区域区域。区域是连通的开集；折线连起来的条件是比较宽松的条件；区域为开集，是不含边界的。D区域、区域、Jordan曲线曲线z1z2返回上页下页定义
9、定义1.6 区域D内加其边界C上全部点所组成的集称为闭区域闭区域(闭域闭域)。记为：闭区域不是区域！闭区域不是区域！不满足开性的条件。不满足开性的条件。结合前面的定义，可以定义有界区域、无界区域、有界闭区域、无界闭区域。复平面上的区域往往用不等式表示。例例(P23例例1.17)以原点为心，R为半径的圆：|z|R是有界区域(圆形区域)；|z|R是闭圆(圆形闭域)，有界闭域；其边界均为圆周：|z|=R单位圆：|z|1单位圆周：|z|=1一般圆：|z-a|0，下半平面：Im z0;无界闭域上半平面：Im z0，下半平面：Im z0。以实轴Im z=0为边界:无界区域左半平面：Re z0;无界闭域左半
10、平面：Re z0，右半平面：Re z0。例例(P23例例1.19)上半平面中单位圆的外部|z|1、Im z0 例例(P24例例1.20)带形区域：y1 Im z y2例例(P24例例1.21)同心圆环：r|z|1、Im z0 单连通无界区域例例(P24例例1.20)带形区域：y1 Im z y2例例(P24例例1.21)同心圆环：r|z|0,0，当0|z-z0|,z E,有|f(z)-w0|0 0当0|z-z0|,z E|f(z)-w0|00zzlim f(z)wEyx0z平面vu0w平面w=f(z)z0w0w平面N(w0)，即圆盘|w-w0|z平面 ，即去心圆盘0|z-z0|0,0，当|z-
11、z0|,z E,有|f(z)-f(z0)|0,0，当0|z-z0|有|f(z)-A|0 而|f(z)|-|A|f(z)-A|所以|f(z)|0+|A|0zzlim f(z)A连续则无“00,0，当0|z-z0|,z E,有|f(z)-A|0 而|A|-|f(z)|A|-0由于A0取0=|A|/20则|f(z)|A|-0=|A|/2000zzlim f(z)A0含在定义域内的部分连续则无“00，使|f(z)|M(zE)；在E上|f(z)|可取到最大值与最小值；在E上w=f(z)一致连续。即0,0，z1、z2 E,当|z1-z2|,有|f(z1)-f(z2)|连续函数在有界闭集上的性质连续函数在有
12、界闭集上的性质返回上页下页第四节第四节 复球面与无穷远点复球面与无穷远点w1 复球面w2 扩充复平面返回上页下页xyO复球面复球面复球面复球面复数还有一种几何表示法，它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面与球面上的点的对应。把一个球放在复平面上，球以南极S跟复数平面相切原点；通过O点作一垂直于z平面的直线与球面交于N点，N称为球的北极；在复平面上任取一点z；它与球的北极N的联线跟球面相交于P(z)，这样就建立起复平面上的点跟球面N以外的点的一一对应;这个球叫做复数球复数球。uNSP(z)z无穷远点无穷远点把北极N与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷
13、远点无穷远点，并记为。返回上页下页|aa )0(aaa)(0 );0(0aaaa无意义的运算：无意义的运算：.0/0,/,0,无穷远点的规定无穷远点的规定模等于辐角、实部、虚部无意义复平面上的每一条直线都通过没有一个半平面包含a为有限复数则：为有限复数则：通过的曲线(直线)为广义曲线！返回上页下页扩充复平面扩充复平面复平面加上后，称为扩充平面扩充平面，记为：无穷远点的邻域无穷远点的邻域以原点为圆心的圆外部。无穷远点的一个r邻域：由此可定义关于的聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。边界边界扩充复平面是唯一无边界的区域,是复平面唯一的边界点。区域区域在扩充复平面上，不含的区域的定义同前面
14、；含的区域是C上的一区域与的一个邻域的交集。广义极限和连续广义极限和连续作为广义复数，可定义关于的极限和连续，其方法与数学分析中的相似。以后在提到的以后在提到的复平面均指不含复平面均指不含，除非为扩充复平面！，除非为扩充复平面！扩充复平面扩充复平面C C z|z|r,zC rN加上无穷远点后，许多性质将有很多变化。yx0r rNr可以为0只除原点!是扩充复平面的内点；返回上页下页模、幅角模、幅角：(一)1三种形式：三种形式：(一)2幂，根：幂，根：(一)3，(二)1，2，3共轭：共轭：(一)4，5，(二)4，5，6几何应用：几何应用：(一)7，8，9，(二)7，8，9，10，11区域：区域：(一)6，(二)曲线：曲线：(一)10，(二)函数：函数：(一)11，(二)极限：极限：(一)17，18，(二)连续：连续：(一)12，13，14，15，16作业作业返回上页下页小小 结结复数的表示：复数的表示：点、向量(代数)、三角、指数、复球面。复数的运算：复数的运算：相等、四则、模、幅角、幂、开方、共轭。(单、多连通单、多连通)区域、区域、逐段光滑曲线。逐段光滑曲线。复变函数：复变函数：概念、极限、连续、与实变函数的关系。
