1、第二节 数据集位置的测度一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用二、算术平均数二、算术平均数三、调和平均数三、调和平均数四、几何平均数四、几何平均数五、众数五、众数六、中位数六、中位数七、各种平均数之间的相互关系七、各种平均数之间的相互关系一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用平均指标的作用：平均指标的作用：可用于同类现象在不同空间条件下的对比可用于同类现象在不同空间条件下的对比可用于同一总体指标在不同时间的对比可用于同一总体指标在不同时间的对比可作为论断事物的一种数量标准或参考可作为论断事物的一种数量标准或参考1.可用于分析现象之间的依存关系和进行数量可用于分析现象之间的依
2、存关系和进行数量上的估算。上的估算。二、算术平均数二、算术平均数总总体体标标志志总总量量算算术术平平均均数数总总体体单单位位总总量量算术平均数(计算公式)NXNXXXXNiiN12111122121KiiiNNKNiiX FX FX FX FXFFFF 简单算术平均数(算例)原始数据:105913685.868613951066543211XXXXXXNXXNii加权算术平均数（算例）某车间某车间50名工人日加工零件均值计算表名工人日加工零件均值计算表按零件数分组按零件数分组组中值（组中值（Xi）频数（频数（Fi）XiFi105110110115115120120125125130130135
3、135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计合计506160.0【例例3.7】根据下表数据，计算根据下表数据，计算50 名工人日加工零件数的均值名工人日加工零件数的均值（个）2.12350616011KiiKiiiFFXX加权算术平均数(权数对均值的影响)甲乙两组各有甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组：甲组：考试成绩（考试成绩（X）:0 20 100 人数分布（人数分布（F）：）：1 1 8 乙组：
4、乙组：考试成绩（考试成绩（X）:0 20 100 人数分布（人数分布（F）：）：8 1 1算术平均数(数学性质)XAXAN XN=X 算术平均数(数学性质)AXAXN 10nii(XX)4.各变量值与均值的离差之各变量值与均值的离差之和等于零。和等于零。21nii(XX)min 算术平均数的不足算术平均数易受极端变量值的影响，使得算术平均数易受极端变量值的影响，使得平均数代表性变小；而且受极大值的影响平均数代表性变小；而且受极大值的影响大于受极小值的影响。大于受极小值的影响。当组距数列为开口组时，由于组中值不易当组距数列为开口组时，由于组中值不易确定，使平均数的代表性不很可靠。确定，使平均数的
5、代表性不很可靠。三、调和平均数调和平均数(概念)调和平均数又称为调和平均数又称为“倒数平均数倒数平均数”，它是各个变，它是各个变量值倒数的算术平均数的倒数。量值倒数的算术平均数的倒数。计算公式为计算公式为1hNXX简简单单调调和和平平均均数数：111niihniiifXfX加加权权调调和和平平均均数数：调和平均数(算例:由平均数计算)某日三种蔬菜的批发成交数据某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜蔬菜名称名称批发价格批发价格(元元)Xi成交额成交额(元元)m=Xi Fi成交量成交量(公斤公斤)Fi甲甲乙乙丙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合计合计369
6、0048000调和平均数 特点：特点：数列中各标志值不能为零；数列中各标志值不能为零；受极端值影响，并且受极小值的影响大于受极受极端值影响，并且受极小值的影响大于受极大值的影响，但比算术平均数受极端值的影响大值的影响，但比算术平均数受极端值的影响要小。要小。四、几何平均数几何平均数(概念要点)几何平均数(简单几何平均数)121NNNGNiiXXXXX112log1log(logloglog)NiiGNXXXXXNN1logarc logarcNiiGGXXXN几何平均数(简单几何平均数算例)某某工业产品产量平均发展速度计算表工业产品产量平均发展速度计算表年份年份产品产量产品产量(亿吨亿吨)逐年
7、发展速度逐年发展速度(X)(各年产量为前一年的各年产量为前一年的)逐年发展速度的对数逐年发展速度的对数(lgX)1993199420192019201920199.8010.5410.8010.8711.1611.41107.6102.5100.6102.7102.22.03192.01072.00252.01152.0094合计合计10.0660几何平均数(简单几何平均数算例)nGXX5107.6102.5100.6102.7102.251.16454103.1%lg10.0660lg2.01335GXXnlg2.0133 103.1%GGXarcXarc几何平均数(加权几何平均数)1212
8、1121ninininffffffffGniiXXXXX11221121lglglglglgniinniGnniifXfXfXfXXffff11lgarc logarcniiiGGniifXXXf几何平均数(算例)【例例3.12】投资银行投资银行43年的利率分配为：年的利率分配为：1年为年为3，4年为年为5，8年为年为8，10年为年为1020年为年为15。计算平均年利率。计算平均年利率。某某投资银行平均年利率计算表投资银行平均年利率计算表年利率发展速度年利率发展速度()X年份年份f年利率发展速度的对数年利率发展速度的对数(lgX)f lgX 10310510811011514810202.01
9、282.02122.03342.04142.06072.01288.084816.267220.414041.214合合 计计4387.9929几何平均数(算例)lg87.9929lg2.0463543GfXXflg2.04635111.2617%GGXarcXarc几何平均数(特点)数列中标志值不能为零或负；数列中标志值不能为零或负；受极端值影响较算术平均数和调和平均数受极端值影响较算术平均数和调和平均数要小，较稳健；要小，较稳健；适用于反映特定现象的平均水平，即现象适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总体标志值不是各单位标志值的总和，的总体标志值不是各单位标志值的总和，而是各单位标志值的
10、连乘积。而是各单位标志值的连乘积。五、众数众数(概念要点)集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一出现次数最多的变量值出现次数最多的变量值不受极端值的影响不受极端值的影响可能没有众数或有几个众数可能没有众数或有几个众数总体的单位数较多，且分配集中，不呈均总体的单位数较多，且分配集中，不呈均匀分布，众数才有意义匀分布，众数才有意义众数(众数的不唯一性)无众数无众数原始数据:10 5 9 12 6 8一个众数一个众数原始数据:6 5 9 8 5 5多于一个众数多于一个众数原始数据:25 28 28 36 42 42品质数列或单项数列的众数(算例)某城市居民关注广告类型的频数分布某城市居民关注广告类
11、型的频数分布 广告类型广告类型人数人数(人人)比例比例频率频率(%)商品广告商品广告 服务广告服务广告 金融广告金融广告 房地产广告房地产广告 招生招聘广告招生招聘广告 其他广告其他广告112519161020.5600.2550.0450.0800.0500.01056.025.54.58.05.01.0合计合计2001100【例例3.13】计算众数计算众数解：这里的变量为解：这里的变量为“广告类广告类型型”，这是个定类变量，不，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人人当中，关注商品广告的人数最
12、多，为数最多，为112人，占总被人，占总被调查人数的调查人数的56%，因此众数，因此众数为为“商品广告商品广告”这一类别，这一类别，即即 Mo商品广告商品广告品质数列或单项数列的众数(算例)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)百分比百分比 (%)非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意24108934530836311510合计合计300100.0组距数列的众数(要点及计算公式)1.众数的值与相邻两组频数的分布有关众数的值与相邻两组频数的分布有关 组距数列的众数(要点及计算公式)101
13、1()()LffMXdffff1011()()UffMXdffff组距数列的众数(算例)某车间某车间50名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表按零件数分组按零件数分组频数（人）频数（人）累积频数累积频数105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合计合计50)(1235)1014()814(8141200个 M014 101255123()(148)(14 10)M个众数的特点是位置平均数，只考虑总体分布中最频繁是位置平均数，只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，不受极端值和开口组的影出现的变量值，不受极
14、端值和开口组的影响，增强了其代表性；响，增强了其代表性；当分布数列中无明显的集中趋势而呈均匀当分布数列中无明显的集中趋势而呈均匀分布时，无众数；当变量数列不等距分组分布时，无众数；当变量数列不等距分组时，众数不易确定。时，众数不易确定。六、中位数和分位数中位数(概念要点)集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值Me50%50%不受极端值的影响不受极端值的影响各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即1minnieiXM未分组数据的中位数(计算公式)为偶数时当为奇数时当NXXNXMNNNe1222121未分组数
15、据：未分组数据：21N中位数位置未分组数据的中位数(5个数据的算例)原始数据原始数据:24 22 21 26 20排排 序序:20 21 22 24 26位位 置置:1 2 3 4 5321521N位置未分组数据的中位数(6个数据的算例)原始数据原始数据:10 5 9 12 6 8排排 序序:5 6 8 9 10 12位位 置置:1 2 3 4 5 6品质数列或单项数列的中位数(计算方法)2f中 位 数 位 置 单项数列的中位数(算例)某厂工人日产零件中位数计算某厂工人日产零件中位数计算 按日产零件分组按日产零件分组(件件)工人数工人数(人人)向上累计频数向上累计频数向下累计频数向下累计频数2
16、6313234364131014271883132754728080775753268合计合计80f804022中位数位置品质数列的中位数(算例)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)累计频数累计频数 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意2410893453024132225270300合计合计300组距数列的中位数(要点及计算公式)根据位置公式确定中位数所在的组根据位置公式确定中位数所在的组假定中位数组的频数在该组内均匀分布假定中位数组的频数在该组内均匀分布采用下列近似公式计算：采
17、用下列近似公式计算：m 1emfS2MLdfm1emfS2MUdf组距数列的中位数(计算公式几何证明)某班统计学学习成绩某班统计学学习成绩成绩成绩（Xi）人数人数（Fi）向上累积频数向上累积频数向下累计频数向下累计频数60以下以下60707080809090100371093310202932322922123【例3.18】某班统计学成绩如下表，计算中位数16efM2的位置中位数组为7080分组距数列的中位数(计算公式几何证明)组距数列的中位数(算例)某车间某车间50名工人名工人日加工零件数分组表日加工零件数分组表按零件数按零件数分组分组频数频数（人）（人）向上累积向上累积频数频数向下累计向下
18、累计频数频数1051101101151151201201251251301301351351403581410643816304046505047423420104合计合计50e50162M120514123.21()个e50202M125514123.21()个各种平均数之间的比较算术平均数、几何平均数、调和平均数的关系hGXXX21212121212GXXXX2 X XXXX XXX2 即121212121212Gh1212XXX XX X2X X2X X2X XXX11XXXX 即众数、中位数和均值的关系oeXMM对称分布对称分布 均值均值=中位数中位数=众数众数eoXMM左偏分布左偏分布均值均值 中位数中位数 众数众数右偏分布右偏分布众数众数 中位数中位数 均值均值eoXMM结结 束束
