1、1正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理21.正弦定理正弦定理(1)内容内容:=2R(其中其中R为为ABC外接外接圆的半径圆的半径).(2)正弦定理的几种常见变形正弦定理的几种常见变形a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(其中其中R是是ABC外接外接圆半径圆半径)abcsinAsinBsinC,;222abcsinAsinBsinCRRR3asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;a:b:c=sinA:sinB:sinC.42.余弦定理余弦定理(1)余弦定理的内容余弦定理的内容c2=b2+a2-2bacosC,b2=a2+c2-2accosB,a2
2、=b2+c2-2bccosA.5(2)余弦定理的变形余弦定理的变形222222222;2;2.2bcabcaccosAcosBcosbacabbCca6(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令在余弦定理表达式中分别令A B C为为90,则上述关系式则上述关系式分别化为分别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.73.解斜三角形的类型解斜三角形的类型在在ABC中中,已知已知a、b和和A时时,解的情况如下解的情况如下:894.测距离的应用测距离的应用10115.测高的应用测高的应用126.仰角仰角 俯角俯角 方位角方位角 视角视角(
3、1)在视线和水平线所成的角中在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做视线在水平线上方的角叫做仰角仰角,在水平线下方的角叫做在水平线下方的角叫做俯角俯角,如下左图所示如下左图所示.13(2)如上右图所示如上右图所示,P点的方向角为点的方向角为南偏东南偏东60.(3)由物体两端射出的两条光线由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做在眼球内交叉而成的角叫做视角视角.147.ABC的面积公式有的面积公式有22aa1(1)211(2)2h(ha);(r);2241(3)()21(pabc.4)()()()2SasinBsinCabcSabsinCR sinAsinBsinCasinA
4、RSr abcSp papbpc表示 边上的高为内切圆半径其中15考点陪练考点陪练161.ABC,a,B60,A()A.135B.90C.45D.2,033b已知中那么角 等于232,.232:sin23,AaAB,A45.absinAsinBsinAb解析 由正弦定理得可得又所以所以答案答案:C172.ABCa b c,a1,c4,B45,ABC2.4 3.5.2.()6 2ABCD的边分别为 且则的面积为ABC1122:S1 4si522n4.acsinB 解析答案答案:C182223.ABC,A B Cabc,acbtanBB3,.6352.6()633acABCD在中 角 的对边分别为
5、、若则角 的值为或或192222223,313.22:ac232,btanBBsinB(0,).22B33acacbcosBcosBactanBsinB解析 由联想到余弦定理并代入得显然在内或答案答案:D204.在在ABC中中,角角A,B,C的对边为的对边为a,b,c,若若 B=45,则角则角A等于等于()A.30B.30或或105C.60D.60或或1203,2,ab21:sinAA),A,3.22(,.43.3ADabsinAsinBasinBb解析 由正弦定理得又或故选答案答案:D225.(2010湖南湖南)在在ABC中中,角角A,B,C所对的边长分别为所对的边长分别为a,b,c.若若C
6、=120,a,则则()A.abB.abC.a=bD.a与与b的大小关系不能确定的大小关系不能确定解析解析:c2=a2+b2-2abcos120a2-b2-ab=0b=AC知知CB,则则C有两解有两解.2 3,AB,ABACsinCsinB12 332.22ABsinBAC26(1)当当C为锐角时为锐角时,C=60,A=90,由三角形面积公式得由三角形面积公式得:S=ABACsinA=2sin90=.(2)当当C为钝角时为钝角时,C=120,A=30,由三角形面积公式得由三角形面积公式得:S=ABACsinA=ABC的面积为的面积为 或或1212 322 312112 323,22 2 33.2
7、7解法二解法二:由余弦定理得由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|BC|cosB,即即:4=12+|BC|2-2|BC|BC|2-6|BC|+8=0,|BC|=2或或|BC|=4.(1)当当|BC|=2时时,S=|AB|BC|sinB(2)当当|BC|=4时时,S=|AB|BC|sinBABC的面积为的面积为 或或2 33,212112 323.2212112 342 3.222 33.28 反思感悟反思感悟本题主要考查正弦定理本题主要考查正弦定理 三角形面积公式及分类三角形面积公式及分类讨论的数学思想讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推同时也考查了三角函数
8、的运算能力及推理能力理能力.29类型二类型二判断三角形的形状判断三角形的形状解题准备解题准备:1.这类题型主要是利用正这类题型主要是利用正 余弦定理及其变形余弦定理及其变形,把把题设条件中的边题设条件中的边 角关系转化为角或边的简单关系角关系转化为角或边的简单关系,从而从而进行判断进行判断.302.判断三角形的形状的思路大致有两种判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角一是化边为角,以角以角为着眼点为着眼点,利用正利用正 余弦定理及变形余弦定理及变形,把已知条件转化为内把已知条件转化为内角三角函数之间的关系角三角函数之间的关系,走三角变形之路走三角变形之路;二是化角为边二是化角为边,以以
9、边为着眼点边为着眼点,利用正利用正 余弦定理及变形余弦定理及变形,把已知条件转化为把已知条件转化为边的关系边的关系,走代数变形之路走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时在运用这些方法对等式变形时,一般两边不约去公因式一般两边不约去公因式,应移项提公因式应移项提公因式,以免产生漏解以免产生漏解.31【典例典例2】在在ABC中中,a、b、c分别表示三个内角分别表示三个内角A、B、C的对边的对边,如果如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断该试判断该三角形的形状三角形的形状.分析分析利用正、余弦定理进行边角互化利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角转化
10、为边边关系或角角关系角关系.32 解解解法一解法一:由已知由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B).得得a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理得由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即即sin2A sinAsinB=sin2B sinAsinB.330A,0B180,故故B=135不适合题意不适合题意,是个增解是个增解.这这个增解产生的根源是忽视了个增解产生的根源是忽视了ab这一条件这一条件,根据三角形的边根据三角形的边角关系角关系,角角
11、B应小于角应小于角A,故故B=135应舍去应舍去.50 正解正解在在ABC中中,由正弦定理可得由正弦定理可得因为因为ab,所以所以AB,所以所以B=45.答案答案45评析评析已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角时求另一边的对角时,一定要一定要注意根据边角关系注意根据边角关系,确定适合题意的角是一个还是两个确定适合题意的角是一个还是两个.2602,26bsinAsinsinBa51错源二错源二因忽视边角关系而致错因忽视边角关系而致错【典例典例2】在在ABC中中,tanA=a2,tanB=b2,那么那么ABC是是()A.锐角三角形锐角三角形B.直角三角形直角三角形C.等
12、腰三角形等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形52222222,tanAa,tanBbsinAcosAsinBcosB,sin2Asin2B,AB.ABC,C.,tanAatanBbsinAcosBsin AcosBsinAcosAsinBsin BcosAsinB错解由得即所以所以所以所以所以是等腰三角形 选剖析剖析上述错解忽视了满足上述错解忽视了满足sin2A=sin2B的另一个角之间的的另一个角之间的关系关系:2A+2B=180.53222222,tanAa,tanBbsinAcosAsinBcosB,sin2Asin2,B,ABAB90.ABC,D.tanAasin
13、AcosBsin AtanBbcosAsinBsin BcosBsinAcosAsinB正解由得即所以所以所以所以或所以是等腰三角形或直角三角形 选答案答案D评析评析判断三角形形状时判断三角形形状时,一定要把边或角的关系考查周全一定要把边或角的关系考查周全,避避免遗漏免遗漏.54错源三错源三因忽视角的范围而致错因忽视角的范围而致错【典例典例3】在在ABC中中,若若A=2B,求求 的取值范围的取值范围.错解错解在在ABC中中,由正弦定理由正弦定理,可得可得因为因为0B,所以所以-1cosB1,所以所以-22cosB2,又又 ,所以所以02cosB2,所以所以 的取值范围是的取值范围是(0,2).
14、ab222,asin BsinBcosBcosBbsinBsinB0abab55 剖析剖析上述错解忽视了根据已知条件上述错解忽视了根据已知条件A=2B进一步考查角进一步考查角B的的取值范围取值范围.正解正解在在ABC中中,由正弦定理由正弦定理,可得可得因为因为A=2B,A+B,所以所以所以所以 cosB1,所以所以12cosBbc,即最大边长为即最大边长为a,所以所以A=120,因为因为b=a-4,c=b-4=a-8,4,2abacb58所以在所以在ABC中由余弦定理中由余弦定理,得得解得解得a=14或或a=4,所以最大边长为所以最大边长为4或或14.剖析剖析上述错解忽视了已知条件上述错解忽视
15、了已知条件a=4+b中隐含的中隐含的a4这一要求这一要求.222(4)(8)1,2(4)(8)2aaacosAaa 59 正解正解由由 可得可得b-c=4,所以所以abc,即最大边长为即最大边长为a,所以所以A=120,因为因为b=a-4,c=b-4=a-8,所以在所以在ABC中由余弦定理中由余弦定理,得得4,2abacb60解得解得a=14或或a=4,因为因为a=4+b,所以所以a4,所以最大边长为所以最大边长为14.222(4)(8)1,2(4)(8)2aaacosAaa 61 评析评析对于题目中的隐含条件对于题目中的隐含条件,尤其是范围条件尤其是范围条件,一定要善于一定要善于挖掘挖掘.6
16、2错源五错源五忽视内角和定理的限制忽视内角和定理的限制5ABC,3sinA4cosB6,3cosA4sinB15.,.66C52.6633()ABCD【典例】在中则 的大小为或或633461.3sin ABsinC41215,266,C.sinAcosBcosAsinBC错解由平方相加得或故选,3cosA4sinB111.3c2o.356sAAC.剖析 平方易增解由得643461.341215,266sin ABsinCC.C,AB1 3cosA4s5.6611,325inB0,c.os,3AAC,CA6.6sinAcosBcosAsinB正解由平方相加得或若则故应选答案答案A65技法一技法一
17、方程思想方程思想【典例典例1】如图如图,D是直角是直角ABC斜边斜边BC上一点上一点,AB=AD,记记CAD=,ABC=.(1)证明证明:sin+cos2=0;(2)若若AC=,求求的值的值.3DC66 1:BAD(2)2sinsins2,22.inc22os20.2cos 解证明 因为所以即67 222ADC,.sinsin.1:sincos2,si()3,3()33(ncos21 2sin),330.33.22sinsins33in,.223sin0sinDCACsinsinDCDCsinsin 在中由正弦定理 得即所以又由可知所以即解得或因为故从而68 方法与技巧方法与技巧第第(2)问借
18、助正弦定理得到问借助正弦定理得到“sin=sin”,结合第结合第(1)问的结论消去问的结论消去角角,把问题转化为关于把问题转化为关于sin的一元的一元二次方程二次方程,通过解方程求得通过解方程求得.此题灵活运用了消元思想和方此题灵活运用了消元思想和方程思想程思想.369技法二技法二分类讨论思想分类讨论思想【典例典例2】如图如图,有两条相交成有两条相交成60的直线的直线xx,yy,其交点为其交点为O,甲、乙两辆汽车分别在甲、乙两辆汽车分别在xx,Oy上行驶上行驶,起初甲离起初甲离O点点30 km,乙离乙离O点点10 km,后来两车均用后来两车均用60 km/h的速度的速度,甲沿甲沿xx方方向向,
19、乙沿乙沿yy方向行驶方向行驶(设甲、乙两车最初的位置分别为设甲、乙两车最初的位置分别为A,B).70(1)起初两车的距离是多少起初两车的距离是多少?(2)用包含用包含t的式子表示的式子表示,t小时后两车的距离是多少小时后两车的距离是多少?71 解解(1)由余弦定理由余弦定理,知知AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60=302+102-23010 =700.故故AB=(km).即起初两车的距离是即起初两车的距离是1210 710 7.km72(2)设甲设甲 乙两车乙两车t小时后的位置分别为小时后的位置分别为P,Q,则则AP=60t,BQ=60t.当当0t 时时,POQ=60.此时此时OP=
20、30-60t,OQ=10+60t.由余弦定理由余弦定理,得得PQ2=(30-60t)2+(10+60t)2-2(30-60t)(10+60t)cos60=10800t2-3600t+700.1273当当 时时,POQ=120.此时此时OP=60t-30,OQ=10+60t.由余弦定理由余弦定理,得得PQ2=(60t-30)2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos120=10800t2-3600t+700.综上知综上知PQ2=10800t2-3600t+700.则则故故t小时后两车的距离是小时后两车的距离是12t 210 108367.PQtt210 108367().P
21、Qttkm74 方法与技巧方法与技巧本题是一个解三角形的实际问题本题是一个解三角形的实际问题,由于两车的行由于两车的行驶方向导致以驶方向导致以O点为起点的两线段的夹角发生变化点为起点的两线段的夹角发生变化,因此必因此必须对两种情况进行分类讨论须对两种情况进行分类讨论.75技法三技法三数形结合思想数形结合思想【典例典例3】在斜度一定的山坡上的一点在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物测得山顶上一建筑物顶端顶端C对于山坡的斜度为对于山坡的斜度为15,向山顶前进向山顶前进100 m后后,又从又从B点测得斜度为点测得斜度为45.设建筑物的高为设建筑物的高为50 m,求山坡对于地平求山坡对于地平面
22、的斜度的倾斜角面的斜度的倾斜角的余弦值的余弦值.76 解题切入点解题切入点本题是测量角度问题本题是测量角度问题,首先应根据题意画出图形首先应根据题意画出图形,如图所示如图所示.设山坡对于地平面的斜度的倾斜角设山坡对于地平面的斜度的倾斜角EAD=,这这样可在样可在ABC中利用正弦定理求出中利用正弦定理求出BC;再在再在BCD中中,利利用正弦定理得到关于用正弦定理得到关于的三角函数关系式的三角函数关系式,进而解出进而解出.77100301510015.3 ABC,BAC15,CBA18045135,ACB30,AB100 m.,BCB010015CD,CD50,BCCBD45,CDB90.,30100155030.49,5(0)BCsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin 解 在中根据正弦定理 有所以又在中根据正弦定理 有3.cos1解得7831.即山坡对于地面的斜度的倾斜角的余弦值为 方法与技巧方法与技巧题中已知条件较多题中已知条件较多,为了求倾斜角为了求倾斜角,根据题意画根据题意画出其示意图出其示意图,将已知条件归结到将已知条件归结到ABC与与BCD中中.在在BCD中中,利用三角形的性质利用三角形的性质,将将CDB与角与角联系起来联系起来,从而在两个从而在两个三角形中三角形中,利用正弦定理将利用正弦定理将求出求出.
