1、8-7 8-7 地下水非稳定井流公式地下水非稳定井流公式一、承压水完整井非稳定流公式一、承压水完整井非稳定流公式-泰斯公式泰斯公式 1、泰斯公式的假定条件：、泰斯公式的假定条件：（1）单井位于含水层中央，井径无限小，定流量抽水 （如下图示）；（2）含水层均质、等厚、各向同性，水平埋藏且无限延伸；（3）无垂向水量交换，无侧向补给；（4）渗流符合达西定律；（5）抽水前水头面水平，水头为H0。抽水后形成以井轴 为对称的降落漏斗；（6）含水层和水都具有弹性。M无越流承压井流示意剖面图无越流承压井流示意剖面图 方程推导：根据水均衡原理：Q1-Q2=V-(1)根据达西定律：因为单位时间的水头下降为 ，则单
2、位时间内单元含水柱体内的弹性释放水量应为rHrMKKIWQ22)(22)(2222221rHrHrKMdrrHKMrdrrrHrKMrHrMKdrrQQQtHtHrHrrHTVQQ*1)1(2221式，化简后得：代入、把tHrdrV*22、泰斯公式的导出：、泰斯公式的导出：根据上述假定条件，建立数学模型：求解上述数学模型的思路：先将二阶偏微分方程变换为只含一个变量的常微分方程，求出该微分方程的解，最后得出计算公式-泰斯公式。TQrHrHHHHrHrrHTtHrt2lim1*00022r 0t0 r 0t=0 r 0t0 r t0 duueTQsduueTQHHuuuu440 W(u)值可由表中
3、查得，根据泰斯公式就可求出承压含水层中单井抽水时任一时刻t，距离抽水井r处的水头降深值s。443322ln5772.0)1(ln5772.04321uuuuunnuuduuennnuu！1432)1(ln5772.0443322ln5772.0)(nnnnnuuuuuuuuW令：！TtruuWuWTQs4*)()(42泰斯井函数，泰斯公式，从W(u)的级数展开式可看出，当u值足够小时，级数第三项以后的各项数值都非常小，W(u)可用级数的前两项近似表示。将 代入上式，泰斯公式变为：-雅各布公式泰斯公式的近似表达式为雅各布公式，其近似程度作如下分析：当 时，泰斯公式和雅各布公式计算结果误差 ；当
4、时，误差 ；当 时，误差 。uuuW1ln781.1lnln5772.0)(Ttru4*2*25.2lg183.0*25.2lg43.2*25.2ln4)(4222rTtTQrTtTQrTtTQuWTQs*25.2lg183.02rTtTQs 1.0u%505.0u%201.0u%25.0 例：有一凿于宽阔承压含水层中的完整井，井径0.305m，出水量2700m3/d，含水层厚度M=30m，渗透系数 K=41m/d，弹性释水系数*=0.00025，试求抽水4 小时，距井60m处的水位降深s。解：根据题意满足泰斯公式应用条件，查表查表W(u)=6.2363 322101.124430414000
5、25.0604*Ttru)(09.10899.12363.6304114.342700)(4muWTQs如果用雅各布公式求解其结果为：)(09.10885.100025.060244304125.2lg30412700183.0*25.2lg183.022mrTtTQs井函数井函数W（u）表）表 3、泰斯公式的讨论、泰斯公式的讨论（1）井函数W(u)的值随u的增大而减小（如下图示），当 抽水井作定流量抽水时，降深s随着离抽水井距离r的增大而减小，随着抽水时间t的延长而增大。（2）水头的下降速度：把 代入：水头下降速度是时间t与距离r的函数，对于同一时间t，近井轴处的下降快，远离井轴处的下降速度
6、慢。r一定时，当t足够大时，0，1tuduueTQHutHduueTQHHuuuu4400Ttru4*2TtrTtretTQtsetTQtH4*4*221414Ttru4*2Ttre4*2 则：即抽水井周围的某一范围内，水头下降的速度基本相同，与距离r无关经过一定时间抽水后，抽水井附近的降落漏斗曲面近乎等速（幅）下降。tTQts14（3）设通过柱形径距为r过水断面流量为Qr，当t一定时，通过各过水断面的流量随着距离r的减小而增大，因为 恒为正，所以 ，故 QrQ，当r 0 Qr Q。Ttr4*214*2TtreTtrrTtrrQeQeTQTrHrTQ4*4*22222据达西定律14*2Ttre
7、TtreTQrHr4*22 当r一定时，流量随着抽水时间的t延长而增大。当 时，则：QrQ。即：在距离r以内，各断面的流量均近似等于井的出水量。（4）井径无限小对泰斯公式的影响：e-0.01=0.99 1，误差1%，所以：在 或 的影响下，由于井径无限小的假设引起的相对误差不超过1%。Trt*25214*2Ttre01.04*2TtrTrt*252 二、潜水完整井非稳定流公式二、潜水完整井非稳定流公式-仿泰斯公式仿泰斯公式 潜水向完整井的运动（如下图示），其潜水面 是一个随时间不断变化的可动边界。即：（1）在潜水含水层中抽水，近井范围内具有三维流特征，要考 虑渗流速度的垂直分量；（2）含水层厚
8、度是时间t及向径r的函数，因此T也是t和r的函数。（3）在潜水含水层中抽水具有“滞后疏干”和“延迟补给”的 特点。1、假定条件：、假定条件：（1）含水层均质、等厚、隔水底板水平埋藏，含水层侧向无界；（2）垂向无水量交换，抽水前潜水面水平；（3）当抽水降深与含水层厚度比不大时，将近井范围内三维流 简化为二维流。潜水完整井非稳定流运动示意图潜水完整井非稳定流运动示意图（4）定流量抽水，水量来自含水层的瞬时疏干，渗流服 从达西定律；（5）井径无限小。2、潜水仿泰斯公式的导出：、潜水仿泰斯公式的导出：根据上述假定条件，建立数学模型进行线性化处理：令 ，数学模型变为：r 0221HTQKHQrHrHHH
9、HrHHrrHHrKtHrt22lim1)(000TQrrrrrTtrt2lim100022r 0 上述形式与承压水完整井相同，其解的形式为：将 、代入上式得：因为：H02H2=（2H0s)s 上式可表示为：-潜水仿泰斯公式duueKQuu40Ttru42221H20021HduueKQHHuu2202)(2220uWKQHH)(2)2(0uWKQssH如果W(u)取级数展开式前两项近似表示：225.2ln)(rTtuW22025.2lg23.225.2ln2)2(rTtKQrTtKQssH-潜水的雅各布公式3、仿泰斯公式的讨论、仿泰斯公式的讨论（1）用s0表示抽水井中的水位降深，当 时，即
10、水位降深与含水层厚度相比很小可忽略不计时，潜水井的非稳定流可直接用承压水的泰斯公式计算：，10100Hs002)2(HsH)(40uWKHQs2025.2lg43.2rTtKHQs（2）当 时，10310100HssHssrTtKHQsuWKHQs)21(*25.2lg43.2*)(4*0200（3）当 时，近井范围内渗流速度的垂直分量不 可忽略及T随t、r的变化和含水层疏干的非瞬时性，将导致潜水中的泰斯公式不能应用。10300Hs三、泰斯公式的应用三、泰斯公式的应用1、计算、计算s和和Q：给定T、*、Q，确定井中或含水层任一点处的s，可预测抽水降落漏斗的发展趋势。给定t和s时，可确定Q。2、
11、计算水文地质参数：、计算水文地质参数：根据完整井定流量非稳定抽水试验资料，确定含水层的T和*。（1）配线法）配线法（标准曲线对比法）：优点：能用抽水试验中所取得的全部数据求参，用此参数 进行地下水资源评价结果较可靠。缺点：当实测的s变化不大时，会给配线法带来很大的随意 性，影响计算结果的精度。原理：对于承压水 取对数从解析几何中得知，如果上述关系成立，则曲线和 的形状相同，只是曲线 相对于 在横坐标上位移了a，在纵坐标上位移了b。TrutTtruuWTQs4*14*)(422axxbyy11)2(4*lg1lglg)1(4lg)(lglg2TrutTQuWs)(xfy)(11xfy)(xfy)
12、(11xfy 降深降深-时间时间配线法（配线法（适用于主井或任意一个观测井）同理：曲线和 曲线形状相同，只是纵坐标相差 ，横坐标相差 两个常数。那么将两个座标系绘制的曲线，保持对应座标平移，两曲线必定重合。在重合的线上任取一点，为两曲线方程的解。换言之，由这一点分别在两个座标系内，确定出t、s、1/u、w(u)的值，将值代入泰斯公式就可求出T，*。计算公式：)1(4*)(42urTtuWsQTTQ4lgTr4*lg2)(lglgtfs)1(lg)(lgufuW具体作法具体作法：（1）根据井函数表中w(u)、1/u的数据，在双 对数座标A纸上，绘制w(u)-1/u理论曲线。（2）在透明双对数座标
13、B纸上绘制实测s 和t曲线，（3）将B纸放在A纸上平移、重合；（4）任取一点读：w(u)、1/u、s、t，求取T、*。例：某机械厂供水井，井深246m，含水层累计厚度58m，抽水流量77.45m3/h，观测孔距抽水井距离为1450m，其抽水试验资料如下表示，试用降深-时间配线法 求含水层的T、*。机机 械械 厂厂 供供 水水 井井 抽抽 水水 试试 验验 资资 料料观观测测时时间间抽抽水水孔孔观观测测孔孔月月日日时时分分累累计计时时间间(min)出出水水量量(m3/h)水水位位(m)降降深深(m)2811157745340402816028577453455005129801245774544
14、35103129160172577454965156121016031657745649530912108041257745669532512111604605774568553451211805565774572503846212160604577457425402121218456210停停泵泵解:（1）在双对数A纸上绘制w(u)-1/u标准曲线；（2）在双对数B纸上绘制s-t曲线；（3）B纸与A纸重合，平移（如图）；（4）在重合线选配合点查出相应的各值：w(u)=0.0378、1/u=0.443、s=0.1m、t=365分 配合点可不选在重合的曲线上，但计算结果一样。为了计算方便，配合点
15、可以选一个对数周期。)/(9.550378.01.014.342445.77)(42dmuWsQT522101.6000061.0443.014501440365564)1(4*urTt 作业：在江苏丰县王沟村乡曹楼大队的一机井进行非稳 定流抽水试验，抽水井位于广阔的第四纪冲积平 原上，可以认为平面上是无限的。含水层为粉细 砂和亚砂土。抽水井深120m，直径0.20m，观1孔 具抽水井距离117.85m，观2孔具抽水井158.30m，观3孔具抽水井235.00m。抽水试验持续时间97h，流量为22.60m3/h。试根据观1孔资料（下表）计算 含水层的*和T。作业参考答案解：（1）根据表中资料在
16、双对数座标纸上作s-t曲线；（2）将曲线重叠在标准曲线上，平移、重合；（3）取配合点：s=10-1=0.1m t=10h W(u)=0.185 1/u=6.2（4）计算：)/(34.3185.01.06.2208.0)(08.02hmuWsQT3221054.12.6)85.117(1034.34)1(4*urTt具体作法具体作法：（1）根据井函数表中w(u)、u的数据，在双对 数座标A纸上，绘制w(u)-u理论曲线；（2）在双对数座标B纸上绘制实测的r2和 s曲线；（3）将B纸重在A纸上，平移，重合；（4）读出：w(u)、u、s、r2，求取T、*。)(4uWsQT24*rTtu降深降深-距离
17、距离配线法：配线法：适用于三个以上的观测井。原理：与前述方法相同。即：在双对数纸上s-r2和W(u)-u关系曲线形状相同，平移、两曲线重合，任取一点为其公共解。TturTQuWs4*lglglg4lg)(lglg2对泰斯公式取对数：例：某城市供水水源地十四号井抽水，Q=60m3/h，在 400分钟时（从开抽算起），测得各观测井降深为：2号井:s2=3.2m；15号井:s15=1.89m；16号井:s16=1.45m；10号井:s10=0.65m；9号井:s9=0.50m。井位分布如下图示。试用降深-距离配线法求取含水层的T、*。解:（1）在双对数A纸上绘制w(u)-u曲线；（2）在双对数B纸上
18、绘制s-r2曲线；（3）B纸与A纸重合，平移（如下图）；（4）在重合线选配合点查出相应的各值：w(u)=1.0、u=0.01、s=0.5m、r2=17000m2)/(2290.15.014.342460)(42dmuWsQT42105.100015.014401700040001.022944*rTtu作业：在某承压含水层中有一完整井，以60m3/h流量进行 抽水试验，在抽水开始后990分时，测得五个观测孔 中的水位降深资料如下表所示。试根据表中资料利 用配线法计算含水层的T和*。孔孔 号号12345与与抽抽水水井井的的距距离离r(m)43125140510780水水位位降降深深s(m)3.7
19、72.461.981.240.95（2）直线法）直线法 优点：作图和计算简便。缺点：受u0.01条件的限制，某些数据点（抽水初 期的数据和距抽水井远的观测孔数据）无法利用。降深降深-时间直线图解法时间直线图解法 在主井或观测孔不同时间持续进行降深观测，t为变量。原理：根据雅各布公式 式中：由上可知：s-lgt是直线关系tCAtTQrTTQrTtTQslglg183.0*25.2lg183.0*25.2lg183.022斜率截距，TQCrTTQA183.0*25.2lg183.02 具体作法具体作法：（1）在半对数纸上以s为纵座标，t为横座标 绘制降深历时曲线（如下图示）；（2）确定曲线的直线段
20、和斜率C：（3）延长直线段与横座标相交，读出 s=0处 的 t0值。tsttssClglglg1212*25.2lg183.0020rTtTQ0*25.2lg20rTt1*25.220rTt2025.2*rTtCQT183.0 例：某承压完整井以Q=1362.5m3/d定流量抽水，在距 主井15.27m处的观测井进行水位降深的观测，资料 如下：解：由上表资料绘制s-lgt曲线（如下图），在直线上 按对数周期取两点：s1=0.8，s2=4.9，s=4.1 观测时间观测时间（s）180018003000300042004200540054007200720090009000120001200024
21、0002400036000360005400054000水位降深水位降深(m)1 1.98.982.742.743.343.343.773.774.294.294.684.685.175.176.456.457.187.187.907.90)/(8.601.45.1362183.0183.02dmCQT 作业：利用曹楼大队资料，采用降深-时间直线 图解法求取含水层的T和*。0042.08640027.156208.6025.225.225.2*22020rTtrTt延长直线与横轴相交s1=0，t0=620秒 参考答案参考答案解：根据前表资料，在单对数座标纸上作s和lgt的关系曲 线；在直线段上
22、按一个对数周期（t=3和t=30）截 取一段A、B，该线段在纵轴上的投影长度 s=1.21m（如图示）；直线在横轴上（s=0）的截 距t0=2.40h；计算：)/(42.321.160.22183.0183.0183.02hmsQiQT32201033.1)85.117(40.242.325.225.2*rTtC=S=1.21 降深降深-距离直线图解法距离直线图解法 同一时间在不同的观测孔中进行观测，此时只有r为变量，雅各布公式化为如下形式：式中：由上可知：s-lgr是直线关系rCArTQTtTQslglg230.2*25.2lg430.2截距*25.2lg430.2TtTQA斜率TQC230
23、.2 具体作法具体作法：（1）以s为纵坐标，lgr为横坐标的半对数纸 上，绘制降深历时曲线（如下图示）；（2）确定曲线的直线段和斜率C：（3）延长直线段与横坐标相交，读出s=0处 的 r0值，代入公式：2025.2*rTtsQTCQT366.0366.0或 例：某井以1907m3/d的流量抽水，在抽水二小时后，从附近的几个观测孔中测的水位资料如下表所示，利用降深-距离直线法求含 水层的T和*。解：根据上表资料绘制s-lgr曲线（如图示），在lgr轴截取一个对 数周期对应的s轴量得s=2.94m，代入公式：再截取横轴的s=0处截距r0=315m，代入公式：井号井号12345678距抽水井的距抽水
24、井的距离距离 r（m）8.810.713.418.325.950.538.149.7降深降深s（m）4.544.213.873.573.082.932.622.13)/(40.23794.21907366.0366.02dmsQT422201048.43151033.840.23725.225.2*rTt 作业：根据作业：根据34片中的资料，利用降深片中的资料，利用降深-距离直线法求含水层的距离直线法求含水层的T和和*。（3）水位恢复法）水位恢复法 单井以定流量Q抽水，持续到t0时停抽，水位开始恢复（下图示）。设停抽后任一时刻t所对应的降深为剩余降深s。对水位恢复阶段，可视为该井在停抽后仍以流
25、量Q继续抽水，与此同时在抽水井的位置上设想又有一虚构的等流量的注水井开始工作，剩余降深s是以二井共同作用的结果。用雅各布公式计算：化简得：*25.2lg43.2*25.2lg43.222rtTTQrTtTQs)1lg(43.2lg43.20ttTQttTQsttt0式中：由上式可知：s与 在单对数座标系中为直线关系。可用直线图解法求T，但不能求*。只有当抽水持续时间很长，恢复时间较短时，即t0t时，可近似地确定*。设停抽后水位回升值为s*，则tt01CQT183.00202011*25.2lg43.2)1lg(43.2*25.2lg43.2*ttrtTTQttTQrTtTQsss由于t0t，则
26、 ，上式可写成110tt*25.2lg43.2*2rtTTQs 显然，水位回升值和水位恢复时间在单对数座标系上也是直线关系，因此也可用直线图解法求*，即：例：利用曹楼大队非稳定流抽水试验观1孔的水位恢复资料（下表示），计算导水系数T。解：根据表列资料在单对数纸作s与 的关系图 （如下图示），在横坐标上截取一个对数周期，对应的纵坐标差值为C=1.12，代入公式计算：2025.2*rtT 01tt)/(69.312.16.22183.0183.02dmCQTt0tt01 作业：某潜水含水层厚度为作业：某潜水含水层厚度为31m，现有一完整井（井半径为，现有一完整井（井半径为0.2m）以以6.48m3
27、/h抽水量进行抽水，当抽到抽水量进行抽水，当抽到191min时停泵，而后进行水时停泵，而后进行水位观测（资料如下所示）。试用直线法计算含水层的位观测（资料如下所示）。试用直线法计算含水层的T。（对于。（对于潜水含水层，当潜水含水层，当s0.1H0时，可用泰斯公式计算）。时，可用泰斯公式计算）。1+（t0/t）ss*tT=134.3m2/d 8-8 8-8 有越流补给时有越流补给时非稳定井流公式非稳定井流公式一、汉土什一、汉土什-雅各布公式假定条件：雅各布公式假定条件：（1）单井位于含水层中央，井径无限小，定流量抽水 （如下图示）；（2）含水层均质、等厚，水平埋藏且无限延伸；（3）越流的强度与降
28、深成正比；（4）渗流符合达西定律；（5）抽水前水头面水平，水头为H0。抽水后形成以井轴 为对称的降落漏斗；（6）含水层和水都具有弹性。二、汉土什二、汉土什-雅各布公式推导：雅各布公式推导：建立数学模型建立数学模型 式中：式中：TQrHrHHHHBHHrHrrHTtHrt2lim1*0002022t0 r 0t=0 r 0t0 r t0 r 0KMTB21955年汉图什-雅各布对上述数学模型求解，其结果如下：dyyBryyTQsu)4exp(1422其中：s=H0-H，Ttru4*2r 0越流因素B令：即：称为越流井函数，其值可查表得。级数形式为：、为第一类、第二类零阶虚宗量贝塞尔函数。三、三、
29、汉图什汉图什-雅各布公式的讨论雅各布公式的讨论（1）当抽水时间很长时，即：，dyyBryyBruWu)4exp(1),(22),(4BruWTQs),(BruWmnmnmmnuBruBrnmnuBrBrIuuuWueuBrWBrIBrKBruW221122220422004)!2()!1()1(41)()(ln5772.042),(22BrK0BrI0t0u),(BruWBrK02 BrKTQs0max2此式不含t，表征由非稳定流转化为稳定流上式描述了越流补给量已增大到同抽水量接近平衡时的状态。如果 0.05，K0()2.3lg(1.12B/r)（2）当弱透水层的透水性很差时，（3）当u值相同
30、时，因为 恒为正，故积分值 较 小，即有越流时抽水含水层中的降深比无 越流时小。，则0,0BrBK)(4),(4uWTQsBruWTQsyBr224dyeyyBryu2241dueuuu1BrBrrBTQs12.1lg366.0max如下图所示：四、计算水文地质参数四、计算水文地质参数1、降深距离配线法 标准曲线为：，利用s与r试验资料在双 对数坐标系绘制曲线，根据配合点坐标 、s、r代如公式：、2、降深距离直线图解法 在单对数坐标绘制s-lgr曲线，取直线段斜率和s=0时 的r0计算T和B及K。BrBrK和0BrK0BrBrKsQT02BrrB CQT366.0089.0rB rBTQs12.1lg366.0max2BMTK2BMTK
