1、基本不等式习题课一 知识复习 1 基本不等式：对任意 a、b_，有ab2 ab成立，当且仅当 ab 时取等号(1)x、y(0，)，且 xyP(定值)，那么当 xy时，xy 有最_值 2 P.(2)x、y(0，)，且 xyS(定值)，那么当 xy时，xy 有最_值S24.小 大 思考：若 x、yR，且 xyxy0.求 x+y 的最小值 解：由题有 1xxy4211)1(2211111)1(1xxxxxxxxxxyx则4)(2111minyxxxx时取等号，此时即当且仅当解：由题有111,xyxyyx则4222)11)(xyyxxyyxxyyxyx4)(2minyxyxyxxy时取等号，此时即当且
2、仅当22yxxyyx4042tttyxt解得则令4)(2minyxyx时当且仅当解：利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 53 3已知已知 x0，则，则 yx24x1x的最小值为的最小值为_ 变式 1：已知已知 x2 2，则，则 yx24x1x的最小值为的最小值为_ 变式变式 2：已知已知 x0 0，则，则 yx24x1x的最的最大大值为值为_ 2 6 23211241241140min2yxxxxxxxxxxyx时即当且仅当解：232121minyxxxyx时，当单调递增，时，：在变式61164124102maxyxxxxxxxyx时即当且仅当：变式 利用基本不等式求最值的关键在于变形创
3、设利用基本不等式求最值的关键在于变形创设“一正二一正二定三相等定三相等”这一条件常见的变形的方法有：变符号、凑这一条件常见的变形的方法有：变符号、凑系数、拆项、添项、分子分母同除等方法系数、拆项、添项、分子分母同除等方法.3.当当 _的最大值则12)(02xxxfx11112212212)(maxyxxxxxxxxf时即，当且仅当解：1练习：设 ab0，则 a21ab1aab的最小值是()A1 B2 C3 D4 分析：求和式的最小值，符合基本不等式不等号方向的要求，由已知 ab0 知 ab0，要消去分母中的 ab，a，ab，需将 a2变形后产生上述表达式，故 a2a2ababa(ab)ab，这
4、样就可以产生定值了，最后只要看等号能否同时成立即可了 答案：D 1已知2x8y1(x0，y0)，则 xy 的最小值为()A12 B14 C16 D18 D 1的技巧1的技巧942545)(41(,1baabbaabbabayba解：931,324minybabaab时，等号成立。此时即当且仅当 C9答案：答案：C1的技巧练习：设 0 x1，a、b 都为大于零的常数，则a2xb21x的最小值为()A(ab)2 B(ab)2 Ca2b2 Da2 答案B 1的技巧1的技巧变式变式：若正实数：若正实数x，y满足满足2xy6xy，则，则xy的最小的最小值是值是_18解不等式求最值思考：还有其他方法求解吗
5、？练习练习2.若实数若实数x、y满足满足x2y2xy1，则，则xy的最大的最大值是值是_解不等式求最值利用基本不等式解决恒成立问题的取值范围是多少？恒成立，则若对任意aaxxxx13,0.12的最大值是多少？恒成立，则实数若已知mmxyyxxyyx2,0,0.21.已知 a、b、cR且 abc1，求证：(1a1)(1b1)(1c1)8.用基本不等式证明不等式变式:已知 a，b，c 均为正数，且 abc1.求证：1a1b1c9.用基本不等式证明不等式点评：利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推
6、理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.总结：1利用基本不等式求最值需注意的问题(1)各数(或式)均为正；(2)和或积其中之一为定值；(3)等号能否成立，即“一正二定三相等”，这三个条件缺一不可注意：要特别注意不等式成立的条件及等号成立的条件2创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法
