1、1.1 变化率与导数变化率与导数陈 琦为什么同样从室温变化到为什么同样从室温变化到100摄氏度，青蛙却有摄氏度，青蛙却有 不不同的反应呢？同的反应呢？时间时间 x(年年)200020022006人均人均GDP y(美元美元)85611002010这是我国的某年的人均收入：这是我国的某年的人均收入：如何判断我国经济发展如何判断我国经济发展情况呢？情况呢？研究丰富多彩的变化率问题研究丰富多彩的变化率问题 平均变化率平均变化率 瞬时变化率瞬时变化率问题一：气球膨胀率问题一：气球膨胀率的函数关系：之间）与半径（气球的体积)(dmrLV334rV343)(VVr，半径增加增加到体积从LL10)1(，半径
2、增加增加到体积从LL21)2()(62.0)0()1(dmrr)(16.0)1()2(dmrr)/(62.001)0()1(Ldmrr平均膨胀率)/(16.012)1()2(Ldmrr平均膨胀率增加单位体积，增加单位体积，半径的改变量半径的改变量问题二：高台跳水问题二：高台跳水105.69.4)()()(2ttthstmh存在函数关系：时间与起跳后的运动员相对于水高度这段时间里平均速度：在5.00)1(t)/(05.405.0)0()5.0(smhhv这段时间里平均速度：在21)2(t)/(2.812)1()2(smhhv343)(VVr105.69.4)(2ttth)(xfy 平均膨胀率的增
3、加到体积从LL21里的平均速度这段时间在5.00t的到从21xx平均变化率平均变化率12)1()2(rr05.0)0()5.0(hhv12)1()2(xxxfxf12)1()2(xxxfxf 我们把这个式子称为函数 从 到 的 平均变化率（average rate of change).习惯上用 表示 ，即 ,类似的 .于是，平均变化率可以表示为 .)(xfy 1x2xx12xx)()(12xfxfy12xxxxy平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义 对任意函数对任意函数 ，做过其上任意两点的割线，做过其上任意两点的割线.不妨以不妨以 为例为例.)(xfy 105.69.4)(2xxxf（
4、几何画板演示）（几何画板演示）研究丰富多彩的变化率问题研究丰富多彩的变化率问题 平均变化率平均变化率 瞬时变化率瞬时变化率105.69.4)(2ttth 求t=2s时的瞬时速度，先考察t=2附近的情况.在t=2附近任取一个时刻 .t20t0t这段时间内的平均速度，在时2t2,0t这段时间内的平均速度，在时tt22,01.139.4)2(2)2()2(ttthhv1.139.42)2()2()2(tththv取较小的取较小的 值代入计算值代入计算t 当当 t 趋近于趋近于0时时,即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边,还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时,平均速度都趋近与一
5、个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.从物理的角度看从物理的角度看,时间间隔时间间隔|t|无限变小时无限变小时,平均速度平均速度就无限趋近于就无限趋近于 t=2时的瞬时速度时的瞬时速度.因此因此,运动员在运动员在 t=2 时时的瞬时速度是的瞬时速度是 13.1m/s.1.13,0,21.1322lim,0定值趋近于确平均速度时趋近于当表示我们用为了表述方便vttththt思考思考：1、任取某一时刻、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？其瞬时速度怎样表示？tthtth)()(00lim0t2、函数、函数f(x)在在x0处的瞬时变化率怎样表示？处的瞬时变化率怎样表示？xxfxxfli
6、mxy000 xlim0 x一般的，函数一般的，函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xyxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 ,即即0|xxy 导数的定义导数的定义:具体取无关的与 xxf)(0一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同不相同其导数值一般也不的值有关，与000)(xxxf 导数的几何意义导数的几何意义:（几何画板演示）（几何画板演示）)()()(lim0000 xfxxfxxfkx 函数函数 在在 处的
7、导数就是切线的处的导数就是切线的斜率斜率 ，即，即)(xf0 xx k 例例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热.如果第如果第 x h时时,原油的温度原油的温度(单单位位:)为为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第计算第2h和第和第6h,原原油温度的瞬时变化率油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.C解解:在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是)2(f).6(f 和和xfxf)2()2(根据导数的定义根据导数的定义,37)(42
8、xxxxx所以所以,.3)3(limlim)2(00 xxyfxx同理可得同理可得.5)6(f 在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5.它说它说明在第明在第2h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以3 /h的速率下降的速率下降;在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 /h的速率上升的速率上升.CC一差一差二比二比三极限三极限.053)(.22处的导数在求例xxxf解法一：解法一：一差二比三极限一差二比三极限0)0(f解法二解法二：利用利用导数的几何意义导数的几何意义).0(00fkx 处，切线斜率在课堂小结：课堂小结：平均变化率 从 到 的 平均变化率)(xfy 1x2xxy割线的斜率导数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率xyxfx lim)(00切线的斜率一差一差二比二比三极限三极限习题1.1：A组1、2题B组1、3题作业
