1、数学史数学史 2 2、古代希腊数学、古代希腊数学2 2、古代希腊数学、古代希腊数学 希腊数学一般是指从公元前希腊数学一般是指从公元前600年至公元年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海地区、马年间，活动于希腊半岛、爱琴海地区、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。及非洲北部的数学家们创造的数学。古希腊人也叫海仑人古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可，其历史可以追溯到公元前以追溯到公元前2000年。当时，作为希腊先民年。当时，作为希腊先民的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半岛定的一些原始部落由北向南挺进，在
2、希腊半岛定居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。到公元前到公元前600年左右，希腊人已散布于地中海年左右，希腊人已散布于地中海与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起了新的数学浪潮。了新的数学浪潮。这些海滨移民具有两大优势：这些海滨移民具有两大优势：他们具有典型的开拓精神，不愿因袭他们具有典型的开拓精神，不愿因袭传统；传统；他们身处与两大河谷地区毗邻之地，他们身处与两大河谷地区毗邻之地，易于汲取那里的文化。易于汲取那里的文化。2.1 论证数学的发端论证数学的发端 2.1.1、爱奥尼亚学派、爱奥尼亚学派和演绎证
3、明和演绎证明 最早的希腊数学家是最早的希腊数学家是泰勒斯泰勒斯(Thales of Miletus,约公元前约公元前625-前前547)。泰勒斯出生于。泰勒斯出生于小亚细亚（今土耳其）小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的西部爱奥尼亚地方的米利都城，他领导的米利都城，他领导的爱奥尼亚学派开创了爱奥尼亚学派开创了希腊命题证明之先河。希腊命题证明之先河。泰勒斯在数学上的贡献的最可靠的证据泰勒斯在数学上的贡献的最可靠的证据是来自公元是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家世纪新柏拉图学派哲学家普罗克鲁斯普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著所著欧欧几里得几里得第一卷评注第一卷评注一书一书:（泰勒
4、斯）首先来到埃及，然后将（泰勒斯）首先来到埃及，然后将几何研究引进希腊。他本人发现了许多几何研究引进希腊。他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理他命题的基本原理”。普罗克鲁斯在普罗克鲁斯在评注评注中介中介绍说泰勒斯曾绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理：证明了下列四条定理：圆的直径将圆分为两个相等的部分；圆的直径将圆分为两个相等的部分；等腰三角形两底角相等；等腰三角形两底角相等；两相交的直线形成的对顶角相等；两相交的直线形成的对顶角相等；如果一三角形有两角、一边分别与另一如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角三角形的对应角、对应
5、对应边边相等，那么这两相等，那么这两个三角形全个三角形全等。等。半圆上的圆周角是直角半圆上的圆周角是直角.(.(泰勒斯定理泰勒斯定理)上述间接的记载流传至今，使泰勒斯获得了上述间接的记载流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说：关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说：泰勒斯早年经商，因进行橄榄轧油机生泰勒斯早年经商，因进行橄榄轧油机生意而发了大财；意而发了大财；在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高；在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高；在巴比伦，预报了公元前在巴比伦，预报了公元前585年的一次年的一次日蚀，等等。日蚀，等
6、等。希腊人为什么认为几何事实需要证明？希腊人为什么认为几何事实需要证明？1、古典时期希腊人对哲学研究具有特殊的兴、古典时期希腊人对哲学研究具有特殊的兴趣。在哲学中，人们关心的是可以从假设的趣。在哲学中，人们关心的是可以从假设的前提推出必然的结论。前提推出必然的结论。2、另一种原因在于希腊人对美的追求。演绎、另一种原因在于希腊人对美的追求。演绎论证中所体现的条理性、一致性、完备性和论证中所体现的条理性、一致性、完备性和确定性，都是令人神往的。确定性，都是令人神往的。3、还有一种原因在于古希腊的奴隶制度。这、还有一种原因在于古希腊的奴隶制度。这种制度促进了理论与实践的分离，特权阶层种制度促进了理论
7、与实践的分离，特权阶层偏爱理论轻视实践。偏爱理论轻视实践。2.1.2、毕达哥拉斯、毕达哥拉斯学派学派 希腊论证数学的希腊论证数学的另一位祖师是毕达另一位祖师是毕达哥拉斯哥拉斯(Pythagoras of Samos,约公元前约公元前580-前前500)。今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普罗克鲁斯等人关于希腊数学著要也是通过普罗克鲁斯等人关于希腊数学著作的评注，另外还有如柏拉图、希罗多德的作的评注，另外还有如柏拉图、希罗多德的著述也提供了一些信息。著述也提供了一些信息。毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩
8、斯岛，曾游历埃及和巴比伦，可能还到过摩斯岛，曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于当时的大希腊印度，回希腊后定居于当时的大希腊(Magna Graecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内，即今意大利东南沿海的克洛托内(Crotone)，并在那里建立了一个秘密会社，并在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。这是一也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。这是一个宗教式的组织。个宗教式的组织。虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们主要是将数一步，但希腊数学著作的评注者们主要是将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯
9、学派。学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯学派。一般认为，欧几里得一般认为，欧几里得原本原本前二卷的大前二卷的大部分材料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文部分材料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定理。献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定理。但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。理的直接证据。人们对毕达哥拉斯证明勾股定理的方人们对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法给出了种种猜测，其中最著名的是普法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（鲁塔克（Plutarch,约约46-120）的面积剖）的面积剖分法。分法。毕达哥
10、拉斯学派另一项几何成就就是正多面体作毕达哥拉斯学派另一项几何成就就是正多面体作图，他们称正多面体为图，他们称正多面体为“宇宙形宇宙形”.我们今天知道在三我们今天知道在三维空间中正多面体仅有五种维空间中正多面体仅有五种正四面体、正六面体、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。正八面体、正十二面体和正二十面体。欧几里得欧几里得原本原本第第8卷的附注指出：卷的附注指出：“其中三个其中三个（正四、六、八面题）应归功于毕达哥拉斯学派，而（正四、六、八面题）应归功于毕达哥拉斯学派，而十二面体和二十面体应归功于蒂奥泰德十二面体和二十面体应归功于蒂奥泰德(Theaetetus)”。蒂奥泰德（约
11、公元前蒂奥泰德（约公元前417-前前369）是晚期毕达哥拉斯学）是晚期毕达哥拉斯学派成员希奥多罗斯（约公元前派成员希奥多罗斯（约公元前465-前前399）的学生，深）的学生，深受毕达哥拉斯学派思想的影响。因此，一般认为所有受毕达哥拉斯学派思想的影响。因此，一般认为所有正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关。正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关。在所有的正多面体中，正十在所有的正多面体中，正十二面体的作图是最为诱人的问题，二面体的作图是最为诱人的问题，因为它是由正五边形围成，而其因为它是由正五边形围成，而其他正多面体都是以三角形或正方他正多面体都是以三角形或正方形为界面，正五边形的作图则与形为界面
12、，正五边形的作图则与著名的著名的“黄金分割黄金分割”问题有关问题有关.正五边形正五边形ABCDE的五条对角线分别相的五条对角线分别相交于点交于点 、，这些交点以这些交点以一些特殊的方式分割对角线：每条对角线都一些特殊的方式分割对角线：每条对角线都被交点分成两条不相等的线段，使该对角线被交点分成两条不相等的线段，使该对角线的整体与较长部分之比等于较长部分与较短的整体与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。这就是所谓部分之比。这就是所谓“黄金分割黄金分割”。ABCDE柏拉图宇柏拉图宇宙的象征宙的象征这是达芬这是达芬奇在帕乔奇在帕乔利的著作利的著作神圣的神圣的比例比例（15091509）中所画的中
13、所画的 尽管人们将许多几何成就归功于毕达哥尽管人们将许多几何成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派基本的信条却是：拉斯学派，但这个学派基本的信条却是：“万物皆数万物皆数”。该 学 派 晚 期 的 一 位 成 员 费 洛 罗 斯该 学 派 晚 期 的 一 位 成 员 费 洛 罗 斯（Philolaus,约卒于公元前约卒于公元前390年）确曾明确地年）确曾明确地宣称：宣称：人们所知道的一切事物都包含数；因人们所知道的一切事物都包含数；因此没有数就既不可能表达、也不可能理解此没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物。任何事物。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，分数是被看
14、成两个整数之比的关系。他分数是被看成两个整数之比的关系。他们认为：们认为：数数1生成所有的数，并命之为生成所有的数，并命之为“原因数原因数”(Number of reason)。一切数中最神圣的是一切数中最神圣的是10，它是完，它是完美、和谐的标志。美、和谐的标志。定义了完全数、亏数、盈数、亲和数。定义了完全数、亏数、盈数、亲和数。一般地由公式一般地由公式2)1(321nnnN 给出的数称为给出的数称为“三角形数三角形数”，它们可以用某种三角，它们可以用某种三角点式来表示；点式来表示；由序列由序列)12(7531nN形成一系列形成一系列“正方形数正方形数”。毕达哥拉斯学派关于毕达哥拉斯学派关于
15、“形数形数”研究，强烈地反映了研究，强烈地反映了它们将数作为几何思维元素的精神。它们将数作为几何思维元素的精神。五五边形数和六边形数分别由序列边形数和六边形数分别由序列2)13()23(741nnnNnnnN22)34(951和和得到，这是一些高阶等差序列。得到，这是一些高阶等差序列。用同样的方式可以定义所有的多边形数。用同样的方式可以定义所有的多边形数。“形数形数”体现了形与数的结合。数形结合的另一个典型例子是由体现了形与数的结合。数形结合的另一个典型例子是由21,2122mmm给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形角形 的两条直
16、角边和斜边，与勾股定理密切相关。的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。（m为整数）为整数）“万物皆数万物皆数”的信念，使毕达格拉斯学的信念，使毕达格拉斯学派成为相信自然现象可以通过数学来理解派成为相信自然现象可以通过数学来理解的先驱。的先驱。毕达哥拉斯相信毕达哥拉斯相信任何量都可以表示成两个整任何量都可以表示成两个整数之比数之比（即某个有理量）。在几何上这相当于说：（即某个有理量）。在几何上这相当于说：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。希腊人称这样两条
17、给定线段为段。希腊人称这样两条给定线段为“可公度量可公度量”，意即有公共的度量单位。意即有公共的度量单位。然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都是可公度的，存在着不可公度的线段，例如正方形的对角线和是可公度的，存在着不可公度的线段，例如正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段。其一边就构成不可公度线段。这一事实的证明最早出现在亚里士多德的著作中：根据这一事实的证明最早出现在亚里士多德的著作中：根据勾股定理，如正方形对角线与其一边之比为勾股定理，如正方形对角线与其一边之比为 （互互素），则有素），则有 。这里为。这里为 偶数，则偶数，
18、则 也必为偶数，也必为偶数，设设 ，于是，于是 ，即，即 为偶数，则为偶数，则 也必为偶数，也必为偶数，这与这与 互素的假设相矛盾，因此正方形对互素的假设相矛盾，因此正方形对角线与其一边不可公度。角线与其一边不可公度。,2222222224222,2,毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由于不可公度量的发现而受到了动摇。这些于不可公度量的发现而受到了动摇。这些“怪物怪物”深深地困深深地困惑着古希腊的数学家，希腊数学中出现的这一逻辑困难，有惑着古希腊的数学家，希腊数学中出现的这一逻辑困难，有时也被称为时也被称为“第一次数学危机第一次数学危
19、机”。大约一个世纪后，这一。大约一个世纪后，这一“危机危机”才由于欧多克斯才由于欧多克斯(Eudoxus)提出的新比例理论而暂时提出的新比例理论而暂时消除。消除。2.1.3 2.1.3 伊利亚学派与诡辩学派伊利亚学派与诡辩学派 希腊波斯战争（公元前希腊波斯战争（公元前492-前前449）以后，雅典）以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派林立。随之走向繁荣，学派林立。伊利亚学派伊利亚学派 以居住在意大以居住在意大利南部依利亚利南部依利亚(Eles)(Eles)地方的芝地方的芝诺（诺（Zeno,Zeno,约公元前约公元前
20、490-490-前前430430）为代表。为代表。芝芝诺提出了四个著名的悖论，诺提出了四个著名的悖论，将无限性所遭遇的困难揭示无将无限性所遭遇的困难揭示无遗。这四个悖遗。这四个悖论中的两个如下论中的两个如下:阿基里阿基里斯追龟：斯追龟：阿基里斯阿基里斯(Achilles,希希腊名将，善跑腊名将，善跑)永远追不上一只乌龟，因永远追不上一只乌龟，因为若乌龟的起跑点领先一段距离，阿基为若乌龟的起跑点领先一段距离，阿基里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而在里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬过一段距离，这段时间里乌龟又向前爬过一段距离，如此直至无穷。如此直至无穷。飞飞箭不动：箭不动：飞
21、着的箭是静止的，因为飞着的箭是静止的，因为任何事物当它是在一个和自己大小相同任何事物当它是在一个和自己大小相同的空间里时，它是静止的，而飞箭在飞的空间里时，它是静止的，而飞箭在飞行过程中的每一行过程中的每一“瞬间瞬间”都是如此。都是如此。芝诺悖论的前两个，是针对事物无限可芝诺悖论的前两个，是针对事物无限可分的观点，而后两个则矛头直指不可分分的观点，而后两个则矛头直指不可分无穷小量的思想。要澄清这些悖论需要无穷小量的思想。要澄清这些悖论需要极限、连续及无穷集合等抽象概念，当极限、连续及无穷集合等抽象概念，当时的希腊数学家尚不可能给予清晰的解时的希腊数学家尚不可能给予清晰的解答。但芝诺悖论与不答。
22、但芝诺悖论与不可公度可公度的困难一起，的困难一起，成为希腊数学追求逻辑精确性的强力激成为希腊数学追求逻辑精确性的强力激素。素。诡辩学派诡辩学派 提出了提出了“三大作图问题三大作图问题”2.1.4 柏拉图学派柏拉图学派 柏拉图（柏拉图（Plato,公元前公元前427-前前347）曾师从毕达）曾师从毕达哥拉斯学派的学者，约公哥拉斯学派的学者，约公元前元前387年在雅典创办学年在雅典创办学院，讲授哲学与数学，形院，讲授哲学与数学，形成了自己的学派。成了自己的学派。雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应归功于柏拉图、亚里士多德和他们
23、的学派。归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。柏拉图与亚里士多德柏拉图与亚里士多德（拉斐尔名画（拉斐尔名画雅典学派局部雅典学派局部）柏拉图认为数学是一切学问的基础，柏拉图认为数学是一切学问的基础，据说柏拉图学院的大门上写着据说柏拉图学院的大门上写着“不懂几不懂几何者莫入何者莫入”。柏拉图本人虽未得到很多。柏拉图本人虽未得到很多具体的数学成就，但对数学研究的方法具体的数学成就，但对数学研究的方法却颇多贡献。普罗克鲁斯将分析法和归却颇多贡献。普罗克鲁斯将分析法和归缪法归功于柏拉图。缪法归功于柏拉图。从学术上讲，柏拉图不是数学家，从学术上讲，柏拉图不是数学家，但人们称他为但人们称他为“数学家的创造者
24、数学家的创造者”。无。无可否认的是，他确实刺激了许多比他高可否认的是，他确实刺激了许多比他高明得多的数学家去创造一些真实的数学。明得多的数学家去创造一些真实的数学。柏拉图给出了许多几何定义，并坚持对数柏拉图给出了许多几何定义，并坚持对数学知识作演绎整理，这在他的代表著作学知识作演绎整理，这在他的代表著作理理想国想国中有明确的陈中有明确的陈述述。柏拉图的思想在他的学生与同事亚里士多柏拉图的思想在他的学生与同事亚里士多德那里得到了极大的发展和完善。亚里士多德德那里得到了极大的发展和完善。亚里士多德对定义作了更精密的讨论，并指出需要有未加对定义作了更精密的讨论，并指出需要有未加定义的名词。他也深入研
25、究了作为数学推理的定义的名词。他也深入研究了作为数学推理的出发点的基本原理，并将它们区分为公理和公出发点的基本原理，并将它们区分为公理和公设（他认为公理是一切科学所公有的真理，而设（他认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则是为某一门科学所接受的第一性原理）。公设则是为某一门科学所接受的第一性原理）。三大几何三大几何作图作图问题问题 古希腊三大著名几古希腊三大著名几何作图问何作图问题是：题是：化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。
26、三等分角，即分任意角为三等分。三等分角，即分任意角为三等分。三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。如三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。如 倍立方体问题：倍立方体问题：说神话中的米诺斯王说神话中的米诺斯王(King Minos)(King Minos)嫌儿子格劳嫌儿子格劳卡斯卡斯(Glaucus)(Glaucus)为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍。为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍。这类问题激发了古希腊时代许多数学家的研究兴趣，其中贡献这类问题激发了古希腊时代许多数学家的研究兴趣，其中贡献最多的是诡辩学派。由于希腊人限制了作图工具只能是圆规和（不最多的是诡辩学派。由于希腊人限制了作图工
27、具只能是圆规和（不带刻度的）直尺，使这些问题变得难以解决并富有理论魅力。带刻度的）直尺，使这些问题变得难以解决并富有理论魅力。最 早 研 究 化 圆 为 方 问 题 的 是 安 纳 萨 哥 拉 斯最 早 研 究 化 圆 为 方 问 题 的 是 安 纳 萨 哥 拉 斯（Anaxagoras,约公元前约公元前500 前前428），但详情不得），但详情不得而知。公元而知。公元5世纪下半叶，开奥斯的希波克拉底世纪下半叶，开奥斯的希波克拉底（Hippociates of Chios）解决了与化圆为方有关的化）解决了与化圆为方有关的化月牙形为方。但单个圆的化圆为方问题没有解决。月牙形为方。但单个圆的化圆为
28、方问题没有解决。（课本（课本P20）关于倍立方体问题，一个关键的进展是希关于倍立方体问题，一个关键的进展是希波克拉底对这一问题的波克拉底对这一问题的“简化简化”。希波克。希波克拉底指出了倍立方体问题可以化为求一线拉底指出了倍立方体问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题：问题：a:x=x:y=y:2a 这样求出这样求出 的必须满足的必须满足 ，即为倍，即为倍立方问题的解。立方问题的解。332ax x 希波克拉底并没有能从几何上作出这样的比例中项线段。希波克拉底并没有能从几何上作出这样的比例中项线段。比他稍晚的柏拉图学派的梅内赫莫斯（比他稍晚
29、的柏拉图学派的梅内赫莫斯（Menaechmus,公元公元前前360）为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。事实上，前述的比例为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。事实上，前述的比例中项关系等价于方程：中项关系等价于方程：2222,2,axyaxyayx因此因此,量量 应为两条抛物线的交点或一条抛物线与一条双曲线应为两条抛物线的交点或一条抛物线与一条双曲线的交点之坐标。的交点之坐标。yx,希腊人还利用其它多种曲线来解决希腊人还利用其它多种曲线来解决三大作图问题，例如，据说巧辩学派的三大作图问题，例如，据说巧辩学派的希比阿斯为了三等分任意角而发明了希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割圆曲线割圆曲线”（
30、quadratrix）。）。在正方形在正方形 中，令中，令 平行于自平行于自身匀速下降直至与身匀速下降直至与 重合。与此同时重合。与此同时DA顺时针匀速转动直至与顺时针匀速转动直至与DC重合。若重合。若ABCDABDCBA DA用用 和和 分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置，分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置，那么他们的交点那么他们的交点P产生的曲线就是割圆曲线。产生的曲线就是割圆曲线。如果这曲线能够作出，那么三等分一个角就容易做到。如如果这曲线能够作出，那么三等分一个角就容易做到。如 是需要三等分得角。将是需要三等分得角。将 和和 三等分，分点为三等分，分点为 设设 和和 分别交割圆
31、曲线于分别交割圆曲线于 和和 ，则根据该曲线的性质，线段，则根据该曲线的性质，线段 就就将角将角 分成三个相等的部分。分成三个相等的部分。PDCCBDA.,UTSRTRUSVWDWDV,PDC 希腊人对三大几何问题的所有解答都无法严格遵守尺规（称为希腊人对三大几何问题的所有解答都无法严格遵守尺规（称为欧几里得工具）作图的限制。直到欧几里得工具）作图的限制。直到19世纪，数学家们才利用现代数世纪，数学家们才利用现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。不过，如我们已经看到的那样，希腊人虽然没有能解决三大不过，如我们已经看到的那样，希腊人虽然没有能解决三
32、大作图问题，但他们的探讨引出了许多重要发现，对整个希腊数学作图问题，但他们的探讨引出了许多重要发现，对整个希腊数学产生了巨大影响。产生了巨大影响。18371837年法国数学家旺泽尔（年法国数学家旺泽尔（P.L.WantzelP.L.Wantzel）首先在代数方程论）首先在代数方程论基础上证明了倍立方和等分任意角不可能只用尺规作图；基础上证明了倍立方和等分任意角不可能只用尺规作图；18821882年德国数学家林德曼证明了数年德国数学家林德曼证明了数 的超越性，从而确立了的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能性。尺规化圆为方的不可能性。几何作图问题的解决几何作图问题的解决 一、作图公法一、作图公
33、法 1、过两已知点可作一直线。、过两已知点可作一直线。2、已知圆心和半径可作一圆。、已知圆心和半径可作一圆。3、已知两直线相交，可求其交点。、已知两直线相交，可求其交点。4、已知一直线和一圆相交，可求其交点。、已知一直线和一圆相交，可求其交点。5、已知两圆相交，可求其交点。、已知两圆相交，可求其交点。二、可作出的线段的量数二、可作出的线段的量数 例：若例：若a、b、c为已知线段则为已知线段则 1、x=a+b 2、3、均可作出。均可作出。“一线段的量数，当且仅当能由已知线段的量数，一线段的量数，当且仅当能由已知线段的量数，经过有限次加、减、乘、除、开平方得出时，可用尺经过有限次加、减、乘、除、开
34、平方得出时，可用尺规作图。规作图。”cabxabx 三、证明思路三、证明思路 1、域，例、域，例Q.2、扩域，例、扩域，例Q().可作图量。可作图量。3、方程、方程 在在数域上的可约情况。数域上的可约情况。4、定理：如果一个有理系数的三次方程没有、定理：如果一个有理系数的三次方程没有有理根，则它的根没有一个是由有理数域出有理根，则它的根没有一个是由有理数域出发的可作图量。（证明用反证法见发的可作图量。（证明用反证法见现代数现代数学与中学数学学与中学数学）5、倍立方问题与三等分角问题的解、倍立方问题与三等分角问题的解决。决。倍立方问题等价于做方程倍立方问题等价于做方程 的根的根.但此但此方程没有
35、有理根方程没有有理根.223x022x022x022x 取取 来讨论来讨论,这时这时 一般地有：一般地有：记记 则只须求解方程：则只须求解方程：但此方程没有有理根但此方程没有有理根.60.21cos),3cos(3)3(cos4cos3,20cos)3cos(x为.0168,342133xxxx即三等分角问题三等分角问题6、化圆为方问题的解决。、化圆为方问题的解决。定义，如果一个实数满足下述代数方程定义，如果一个实数满足下述代数方程 an xn+an-1 xn-1+a2x2+a1x+a0=0 那么那么,这个实数是代数数。方程中所有系数，这个实数是代数数。方程中所有系数，an，a2，a 1，都是
36、整数。，都是整数。因此，有理数因此，有理数 是代数数，因为它是多项式方是代数数，因为它是多项式方 程程 3x-2=0 的解；无理数的解；无理数 也是代数数，因也是代数数，因为它可以满足方程为它可以满足方程 ；如果一个数不是代数数，就是超越数。如果一个数不是代数数，就是超越数。322022x 德国数学家费迪南德德国数学家费迪南德林德曼（林德曼（18521939 年）年）证明了证明了是超越数。是超越数。四、其他方法四、其他方法 1、刻度尺法三等分角。、刻度尺法三等分角。2、曲线法倍立方。、曲线法倍立方。3、圆柱法化圆为方。、圆柱法化圆为方。五、希腊人强调尺规作图的五、希腊人强调尺规作图的原因原因:
37、1、重视数学在训练智力方面的作用，通过几何、重视数学在训练智力方面的作用，通过几何作图训练思维能力，工具必须受限。作图训练思维能力，工具必须受限。2、几何要从最少的基本假设推出尽可能多的命、几何要从最少的基本假设推出尽可能多的命题，作图工具也要求少到不能再少。题，作图工具也要求少到不能再少。3、雅典时期，平面几何限定尺规作图基本、雅典时期，平面几何限定尺规作图基本 够用。够用。2.2 2.2 希腊数学希腊数学的黄的黄金时代金时代 从公元前从公元前338年希腊诸邦被马其顿控制，至年希腊诸邦被马其顿控制，至公元前公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百
38、余年，史称希腊数学的密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时黄金时代代”。这一时期希腊数学的中心从雅典转移到。这一时期希腊数学的中心从雅典转移到了亚历山大城那里学者云集，先后出现了欧几了亚历山大城那里学者云集，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰。他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰。2.2.1 欧几里得与几何欧几里得与几何原本原本 欧几里得（约公元前欧几里得（约公元前330-前前275）欧几里得在公元前）欧几里得在公元前300年年左右，在托勒密王的邀请下，左右，在托勒密王的邀请下，来到亚历山大里亚教学来
39、到亚历山大里亚教学 欧几里得写过不少数学、欧几里得写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著天文、光学和音乐方面的著作。现存的有几何作。现存的有几何原本原本(Elements)、数据数据、论论剖分剖分、现象现象、光学光学和和镜面反射镜面反射等。在所有这等。在所有这些著作中，最重要的莫过于几些著作中，最重要的莫过于几何何原本原本。欧几里得（约公元前欧几里得（约公元前330-前前275）第第卷给出了一些最基本的定义，如卷给出了一些最基本的定义，如“点是没有部分点是没有部分的的”；“线是没有宽度的长线是没有宽度的长”；“面是只有长度和宽度面是只有长度和宽度的的”；“圆是由一条曲线包围的平面图形，从其内一
40、点圆是由一条曲线包围的平面图形，从其内一点出发落在曲线上，所有线段彼此相等出发落在曲线上，所有线段彼此相等”,等等。等等。5条公设条公设:1.假定从任意一点到任意一点可作一直线。假定从任意一点到任意一点可作一直线。2.一条有限直线可不断延长。一条有限直线可不断延长。3.以任意中心和直径可以画圆。以任意中心和直径可以画圆。4.凡直角都彼此相等。凡直角都彼此相等。5.5.若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。直角的一侧相交。5条公
41、理：条公理：1.1.等于同量的量彼此相等。等于同量的量彼此相等。2.2.等量加等量，和相等。等量加等量，和相等。3.3.等量减等量，差相等。等量减等量，差相等。4.4.彼此重合的图形是全等的。彼此重合的图形是全等的。5.5.整体大于部分。整体大于部分。欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点。出发点。第第、及及（6）卷包含了平面几何的一些基本内）卷包含了平面几何的一些基本内容，如全等三角形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、容，如全等三角形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等。初等作图及相似形等。第第、卷中涉及
42、所谓卷中涉及所谓“几何代数几何代数”的内容，即以几何形式的内容，即以几何形式处理的代数问题。例如处理的代数问题。例如卷命题卷命题4：若把一线在任意一点割开，若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正方形等于两段上的正方形加则在整个线上的正方形等于两段上的正方形加上二个以上二个以两段为边两段为边的矩形的矩形.这相当于代数关系式这相当于代数关系式2222)(bababa 第第卷讲比例论，是以欧多克斯的工作卷讲比例论，是以欧多克斯的工作为基础的。有人认为这一卷代表了为基础的。有人认为这一卷代表了原本原本的最大成就，因为它在当时的认识水平上消的最大成就，因为它在当时的认识水平上消除了由不可公度量引起的数
43、学危机。除了由不可公度量引起的数学危机。原本原本第第卷中给出比例的定义相当于说：卷中给出比例的定义相当于说：设设A,B,C,D是任意四个量，其中是任意四个量，其中A和和B同类（即均为线段、角或面同类（即均为线段、角或面积等），积等），C和和D同类。如果对于任何两个正整数同类。如果对于任何两个正整数m和和n，关系，关系mA （或）（或）nB是否成立，相应的取决于关系是否成立，相应的取决于关系mC （或）（或）nD是否成是否成立，则称立，则称A与与B之比等于之比等于C与与D之比，即之比，即A,B,C,D四量成比例。四量成比例。这一定义并未限制涉及的量是可公度的还是不这一定义并未限制涉及的量是可公度
44、的还是不可公度的，因此可以用它来证明许多早期毕达哥拉可公度的，因此可以用它来证明许多早期毕达哥拉斯学派只对可公度量证明了的命题。斯学派只对可公度量证明了的命题。定理：如果两个三角形的高相等，则它们的面积之定理：如果两个三角形的高相等，则它们的面积之比等于两底之比。（证明比等于两底之比。（证明伊伊P46P46）第第、卷是关于数论的内容，其中陈述了卷是关于数论的内容，其中陈述了求两数最大公因子的辗转相除法，即著名的欧几里求两数最大公因子的辗转相除法，即著名的欧几里得算法。这几卷给出了关于整数的一些定理及其证得算法。这几卷给出了关于整数的一些定理及其证明，特别是素数分解的唯一性、素数个数无穷，等明，
45、特别是素数分解的唯一性、素数个数无穷，等等。这些内容说明，将等。这些内容说明，将原本原本看成是一部纯几何看成是一部纯几何的著作是多少有些误解的。的著作是多少有些误解的。第第卷讨论不可公度量，并试图进行分卷讨论不可公度量，并试图进行分类。类。最后的三卷（最后的三卷（、）主要是立体几何的）主要是立体几何的内容，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体内容，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体积定理以及对正多面体的讨论（在卷积定理以及对正多面体的讨论（在卷中证明了正中证明了正多面体只有五多面体只有五种）。种）。欧几里得欧几里得原本原本可以说是数学史上的第一座理可以说是数学史上的第一座理论丰碑。它
46、最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确论丰碑。它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理自明的基本原理公理或公设。这就公理或公设。这就是公是公理化思想。理化思想。与现代公理化方法相比，欧几里得与现代公理化方法相比，欧几里得原本原本存在存在着缺陷。虽然欧几里得对公理和公设进行了精心的选着缺陷。虽然欧几里得对公理和公设
47、进行了精心的选择，但他的公理系统是不完备的，有些公理不独立择，但他的公理系统是不完备的，有些公理不独立（如（如“凡直角都相等凡直角都相等”）。）。2.2.2 2.2.2 阿基米德的数学成就阿基米德的数学成就历历史上任何三个史上任何三个“最伟大最伟大”的数学家的名单都将包括阿基米德的数学家的名单都将包括阿基米德（Archimedes,公元前公元前287-前前212）的名字）的名字(通常与他相联系的另通常与他相联系的另外两个名字是牛顿和高斯外两个名字是牛顿和高斯)。阿基米德的著述极为丰富，但多以类似论文手稿而非大部阿基米德的著述极为丰富，但多以类似论文手稿而非大部巨著的形式出现。这些著述内容涉及数
48、学、力学及天文学等，巨著的形式出现。这些著述内容涉及数学、力学及天文学等，其中流传于世的有：其中流传于世的有：(1)圆的度量圆的度量；(2)抛物线求积抛物线求积；(3)论螺线论螺线；(4)论球和圆柱论球和圆柱；(5)论劈锥曲面和旋转球体论劈锥曲面和旋转球体；阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题。在积计算相关的问题。在圆的度量圆的度量中，阿中，阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。他从圆内正接三角形出发，边数逐次加倍，他从圆内正接三角形出发，边数逐次加倍，计算到正计算到正96边形而得到圆周率边形而得到
49、圆周率 的近的近似值似值 。在在球和圆柱球和圆柱中，他运用穷竭法证明了与中，他运用穷竭法证明了与球的面积和体积有关的公式。他证明的命题球的面积和体积有关的公式。他证明的命题包括：任一球面积等于其大圆面积的四倍；包括：任一球面积等于其大圆面积的四倍；以球的大圆为底，以球直径为高的圆柱，其以球的大圆为底，以球直径为高的圆柱，其体积是球体积的体积是球体积的 ，其包括上、下底在内的表，其包括上、下底在内的表面积是球面积的面积是球面积的 ；等等。；等等。7222323 阿基米德的数学工作是严格证明与创造技阿基米德的数学工作是严格证明与创造技巧相结合的典范，这在其巧相结合的典范，这在其处理力学问题的处理力
50、学问题的方法方法中有充分的体中有充分的体现。现。例例：平衡法求球体积：平衡法求球体积平衡法平衡法 设球的半径为设球的半径为R，如图作球、圆，如图作球、圆柱、圆锥的轴截面。柱、圆锥的轴截面。延长延长SN到到T使使TN=2R。在与在与N距离为距离为x处割出厚度为处割出厚度为x的三个薄片（可看成近似的圆柱的三个薄片（可看成近似的圆柱体），它们的体积分别是：体），它们的体积分别是：球薄片：球薄片：，圆柱薄片：圆柱薄片：，圆锥薄片：圆锥薄片：将球薄片与圆锥薄片的重心吊在将球薄片与圆锥薄片的重心吊在点点T处，圆柱薄片的重心仍在原处，处，圆柱薄片的重心仍在原处，以以N为支点考虑两边的力矩：为支点考虑两边的力
