1、一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理 1.10 闭区间上连续函数的性质上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、有界性与最大值最小值定理v最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)最大值与最小值举例:函数 f(x)=1+sinx在区间0 2p上有最大值 2 和最小值 0 下页上页下页铃结束返回首页 函数y=sgn x 在区间(-+)内有最大值1和最小值-1 但在开区间(0+)内 它的最大值和最小值都是1 下页最大值与最小值举例:一、有界性与
2、最大值最小值定理v最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)上页下页铃结束返回首页 并非任何函数都有最大值和最小值 例如，函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值 应注意的问题:下页一、有界性与最大值最小值定理v最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)上页下页铃结束返回首页说明:v定理1(最大值和最小值定理)
3、在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 下页又至少有一点x2a b 使f(x2)是f(x)在a b上的最小值 至少有一点x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值 定理说明 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 那么上页下页铃结束返回首页应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例如 函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值 下页v定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 上页下页铃结束返回首页下页 又如 如下函数在闭区间0 2内既无最
4、大值又无最小值+-=+-=21 31 110 1)(xxxxxxfy 应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 v定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 上页下页铃结束返回首页v定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 设函数f(x)在闭区间a b上连续 根据定理1 存在f(x)在区间a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b满足mf(x)M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函数f(x)在a b上有界 首页v定理1(最大值和最小值定理)
5、在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 上页下页铃结束返回首页二、零点定理与介值定理注:如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点 下页v定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0上页下页铃结束返回首页 例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根 证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则f(x)在闭区间0 1上连续 并且 f(0)=10 f(1)=-2下页二、零点定理与介值定理v定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异
6、号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0上页下页铃结束返回首页二、零点定理与介值定理v定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 v定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C 结束上页下页铃结束返回首页1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示:建立坐标系如图.xoy则面积函数,)(CS因,0)(=SAS=)(故由介值定理可知:,),(0.2)(0AS=使)(S上页下页铃结束返回首页,2,0)(aCxf,)2()0(aff=证明至少存在使2.设一点,0ax aff+=xx3.P74 第3题，第5题 作业作业P74 第1，2题
