1、三、幂级数及其收敛性三、幂级数及其收敛性 (1)形如00)(nnnxya202010)()(xyaxyaa的函数项级数称为幂级数幂级数,其中数列),1,0(nan为幂级数的系数系数.nnxya)(0称 令0 xyx0nnnxa则幂级数化为不失一般性，下面讨论幂级数0nnnxa(2)幂级数的收敛半径与收敛域任何幂级数在0都收敛。由例1知其收敛域是一个区间。）收敛域（1,10nnx定理定理 1.(Abel定理定理)若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.在1xx 0 xx 的一切 x,该幂级数也发散.点发散,则对满足不等式ox发 散发 散收 敛收
2、敛发散阿贝尔阿贝尔(1802 1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5 次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群,证证:设,0lim0nnnxa收敛,则必有),2,1(0nMxann于是存在常数 M 0,使00nnnxannnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0当 时,0 xx 00nnxxM收敛,0nnnxa故
3、原幂级数绝对收敛.也收敛,下面用反证法反证法证之.假设有一点1x1x1xx 满足且使级数收敛,级数在点的 x,原幂级数也发散.则对一切满足不等式则由前可知也应收敛,与所设矛盾。证毕证毕设发散,01nnnxaxO界界 点点讨论：讨论：在界点处在界点处函数项级数是否函数项级数是否有相同敛散性？有相同敛散性？答：答：在界点处级数可能收敛，在界点处级数可能收敛，也可能发散也可能发散，在两个界点处的，在两个界点处的敛散性未必相同，要单独讨论敛散性未必相同，要单独讨论.RR 因此，当我们从原点出发，沿数轴向两方走，因此，当我们从原点出发，沿数轴向两方走，后来遇到的全部是发散点后来遇到的全部是发散点.起初只
4、遇到收敛点，起初只遇到收敛点，定义定义1若幂级数0nnnxa,:绝对收敛绝对收敛Rxx在在,:发散发散Rxx这个R称为幂级数0nnnxa的收敛半径，而把开区间（-R,R）称为收敛区间。幂级数在(,+)收敛，规定规定R=0；幂级数仅在 x=0 收敛，R=。(1)幂级数的收敛域是区间；(2)幂级数00)(nnnxya在(a,b)内收敛，在(a,b)外发散，.2a-bR 则则例例3.设1)1(nnnxa在1x处收敛，则此级数在2x处收敛性如何？（A）条件收敛）条件收敛（B）绝对收敛）绝对收敛#2012022801（C）发散）发散（D）太难确定了）太难确定了例例3.设1)1(nnnxa在1x处收敛，则
5、此级数在2x处收敛性如何？解解:令1 xy设级数1nnnya的收敛半径为R。级数级数即即,21yx1nnnya收敛，由阿贝尔定理22 R,12Ryx 即即又又.2处处级级数数绝绝对对收收敛敛x1.已知0 xx 在处条件收敛,问该级数收敛半径性质为0)(xRAnnnxa00)(xRB0)(xRC真不好说)(D思考思考#2012022802幂级数 由它的系数数列 所确定，0nnnxana故其收敛半径R也应由 唯一确定na定理定理2.若0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,则 xaaxaxannnnnnnn111limlim证证:1)若
6、 0,则根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;当,1x原级数发散.x即1x时,即时,1x因此级数的收敛半径.1R2)若,0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛,3)若,则对除 x=0 以外的一切 x 原级发散,.0R对任意 x 原级数因此因此 注意（1 1）缺项的幂级数不能直接用此定理缺项的幂级数不能直接用此定理解决：（ii）用一般级数收敛域求法（i）作变换112nnnxa12nnnxa（2 2）也可以由根值法求收敛半径也可以由根值法求收敛半径对端点 x=1,nnnaaR1lim1nxxxxnn 132)1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x=1,级数为交错级数,1)1(11
7、nnn收敛;级数为,11nn发散.1,1(故收敛域为例例1 1.求幂级数 limn 1 R例例2.nnxnn202)!(!)2(求幂级数的收敛半径.解解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,审敛法求收敛半径.lim)()(lim1nnnnxuxu2!)1(!)1(2nn2!2nn22)1()22()12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为.21R21x即142x当21x即)1(2nxnx2故直接由比值例例3.12)1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解:令,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21)1(211nnnnnnn2)1(2l
8、im12当 t=2 时,级数为,11nn此级数发散;当 t=2 时,级数为,)1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x例例4.求下列幂级数的收敛域.nxnnen2111)1(nnxn1)2(解解:(1)令,xet级数变为nnntn2111于是于是,111limlimenunnnnneR nnntn2111的收敛区间为),(ee0 xet)e,0(收收敛敛区区间间为为。，收收敛敛域域为为原原级级数数收收敛敛区区间间为为),-1(),-1(nnxn1)2(解解:(1)令,1xt 级数变为nnntn1于是于是,limlimnunnnn0R级数nnn
9、tn1在0t收敛，xt1原级数无收敛点。原级数无收敛点。2.在幂级数中,nnaa1nn)1(2)1(2211n 为奇数,23n 为偶数,61nnnnx02)1(2它的收敛半径?2)(RA0)(RB显然不存在RC)(真不好说)(D思考思考#20120228032.在幂级数nnnnx02)1(2中,nnaa1nn)1(2)1(2211n 为奇数,23n 为偶数,61能否确定它的收敛半径不存在?答答:不能.因为nnnxu)(lim2)1(2limxnnn2x当2x时级数收敛,2x时级数发散,.2R说明说明:可以证明:比值判别法成立根值判别法成立三、幂级数的性质三、幂级数的性质1.1.四则运算性质四则
10、运算性质其中其中0110bababacnnnn 设有幂级数设有幂级数 与与 ，它们的收敛半径分别为，它们的收敛半径分别为 与与 ，记，记 ，且且 .则则1R 0nnnxa 0nnnxb2R,min21RRR 0 R(1)(1),(,)(000RRxxbaxbxannnnnnnnnn (2)(2),(,000RRxxcxbxannnnnnnnn 说明说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设 nnnxa0nnnxb0),2,1,0,1(0naan,3,2,0,1,110nbbbn它们的收敛半径均为,R但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是.1R1x
11、1nnnxb0 x112.幂级数的和函数的分析性质幂级数的和函数的分析性质Ixdttadttadttsnxnnxnnnx ,)(00000(4.8)(4.8)性质性质1 幂级数幂级数 的和函数的和函数 在其收敛域在其收敛域I上连续上连续.即有即有 或或 0nnnxa)(xs)()(lim00 xsxsxx(4.7)(4.7)Ixxaxannnnnnxx 000,lim00性质性质2 幂级数幂级数 的和函数的和函数 在其收敛域在其收敛域 上可积，上可积，并且可以逐项积分，即有并且可以逐项积分，即有 0nnnxa)(xsI逐项求极限逐项求极限性质性质3 幂级数幂级数 的和函数的和函数 在其收敛区间
12、在其收敛区间 内可导，并且可以逐项求导，即有内可导，并且可以逐项求导，即有 0nnnxa),(RR)(xs并且逐项求积或逐项求导后所得的幂级数与原级数有相并且逐项求积或逐项求导后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径同的收敛半径.(4.9)(4.9),(,)(0100RRxxnaxaxaxsnnnnnnnnn 反复应用上述结论可得，幂级数反复应用上述结论可得，幂级数 的和函数的和函数 在其收敛区间在其收敛区间 内具有任意阶导数内具有任意阶导数.0nnnxa)(xs),(RR 你发现这三条你发现这三条性质的条件有性质的条件有什么不同吗？什么不同吗？逐项求极限、逐项积分是在收敛域逐项求极限、逐项积分
13、是在收敛域I上；上；而逐项求导限制在收敛域区间而逐项求导限制在收敛域区间(-R,R)内内.例例1.1nnxn求幂级数的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,x1 时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1(xx.)(xS11nnxnx1nnxx散,例例2.求级数01nnnx的和函数.)(xS解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx)10(x1x及收敛,有时则当,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1)1,0()0,1x)(xS,)1ln(1xx因此由和函数的连续性得:)
14、(xS而)0(S,1)1(lnlim0 xxx,)1ln(1xx,10 x,1)10(x1x及解解:级数的收敛半径 R+.例例3.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x则11!)1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函数.因此得设例例4.2)1(122的和求数项级数nnn解解:设,1)(22nnnxxS则,)1,1(x2112nnnxx21121nnnxx)0(x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(21nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)
15、1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222)1(1nnn)0(x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0(x内容小结内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与)0(0nnnnaxa也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.第四节两类问题:在收敛域内和函数)(xSnnnxa0幂级数求 和展展 开开本节内容本
16、节内容:一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十一章 一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在若函数0)(xxf在的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有:)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为f(x)的泰勒
17、级数泰勒级数.则称当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?待解决的问题待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,0)(xxf在定理定理1.各阶导数,)(0 x则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn证明证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xx设函数 f(x)在点 x0 的某
18、一邻域 内具有定理定理2.若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证证:设 f(x)所展成的幂级数为),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;)1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 显然结论成立.)0(0fa 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;第三步 判别在收敛
19、区间(R,R)内)(limxRnn是否为骤如下:展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0.的函数展开例例1.将函数xexf)(展开成 x 的幂级数.解解:,)()(xnexf),1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足 )(xRne!)1(n1nxxe!)1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n!)1(1nn0),(x(在0与x 之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数 例例2.将xxfsin)(展开成 x 的幂级数.解解:)()(xfn)0()(nf得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为,R
20、对任何有限数 x,其余项满足 )(xRn)1(sin(2 n!)1(n1nx!)1(1nxn12kn),2,1,0(k3!31x5!51x12!)12(1)1(kkkx),(xxsinn0kn2,)1(k,012!)12(15!513!31)1(kkkxxxxkkxkxxx242!)2(1)1(!41!211cos类似可推出:),(x),(x1253!)12(1)1(!51!31sinkkxkxxxx(见P281页)例例3.将函数mxxf)1()(展开成 x 的幂级数,其中m为任意常数.解解:易求出,1)0(f,)0(mf,)1()0(mmf,)1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得
21、级数 mx12!2)1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!)1()1(级数在开区间(1,1)内收敛.因此对任意常数 m,11,)(xxF2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(1!)1()1()1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1(xFx),(xmFmxxF)1()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F推导推导则为避免研究余项,设此级数的和函数为2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmxm1)1()11(x称为二项展开式二项展开式.说明：说明：(1)在 x1 处的收敛性与 m
22、有关.(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式 就是代数学中的二项式定理二项式定理.由此得 对应1,2121m的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx)1(x)11(1112xxxxxn2.间接展开法间接展开法211x x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例例4.将函数展开成 x 的幂级数.解解:因为nnxxx)1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242)1(1)11(x,得将所给函数展开成 幂级
23、数.例例5.将函数)1ln()(xxf展开成 x 的幂级数.解解:xxf11)()11()1(0 xxnnn从 0 到 x 积分xxxxnnnd)1()1ln(00,1)1(01nnnxn定义且连续,区间为.11x利用此题可得11)1(41312112lnnn11x11x上式右端的幂级数在 x 1 收敛,有在而1)1ln(xx所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛得例例6.将xsin展成4x解解:)(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的幂级数.2)4(!21x4)4(!41
24、x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x例例7.将3412 xx展成 x1 的幂级数.解解:)3)(1(13412xxxx)3(21)1(21xx 14121x 4121x222)1(xnnnx2)1()1(81141x224)1(xnnnx4)1()1(nnnnnx)1(2121)1(3220)31(x)21(x 18141x1内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1(lnxx1,1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11)1(nnxn式的函数.!)12(
25、)1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x!)2()1(2nxnnmx)1(1xm2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(当 m=1 时x11,)1(132nnxxxx),(x),(x)1,1(x)1,1(x思考与练习思考与练习1.函数0)(xxf在处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示提示:后者必需证明,0)(limxRnn前者无此要求.2.如何求xy2sin的幂级数?提示提示:xy2cos21210!)2(1)1(2121nnn,!)2(4)1(2121nnnnxn),(xnx2)2()(xFm2!2)2)(1(111)(xmm
26、xmmxF)()1(xFx211)(xmxmxFx1mxm2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(nxnnmm!)()1(nxnnmm!)1()1()1(例例3 附注附注备用题备用题 1.将函数展开成 x 的幂级数xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,)1(02nnnx)1,1(x)0()(fxf002d)1(nxnnxx01212)1(nnnxnx1 时,此级数条件收敛,4)0(f,12)1(4)(012nnnxnxf1,1x因此)1(lnxx1,1(x221x331x441x11)1(nnxn2.将在x=0处展为幂级数.)32ln()(2xxxf解解:)1ln(2ln)1ln()(23xxxf)1ln(x)32)(1(322xxxx1nnnx)11(x)1ln(23xnnnxn)(23)1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)()1(2311
