1、第一章第一章 寿险精算基础寿险精算基础1本章重点本章重点年金现值和终值的计算生存函数和生命表函数多减因表基本函数等21.1利息理论利息理论在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时间越长，实现的价值增值就越大。同时，等额的货币在不同时间上，由于受通货膨胀的影响，其实际价值也不同。因此转让货币使用权应得到与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬，利息正是借入资本需要支付的使用代价，或者是出让资本使用权得到的报酬。利息的计算与累积函数的形式、利息的计息次数、投资时期长短等有关。3永续年金永续年金6永续年金是收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋
2、于无穷大时的值。每年一元期末付永续年金现值为：iaann1lim变额年金变额年金7变额年金是每次收入额不等的年金，实际中通常有两种常见的变额年金，每次收入额等差递增和等比递增。如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第二年末收付2单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现值为：inaIannn)(1.2 生命表生命表生命表是研究人口死亡规律的有力工具，它用表格的形式简单清楚地表述了同时出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡的全部过程。81.2.1基本函数基本函数9函数函数 意义意义lx存活到确切整数年龄x岁的人口数ndx在xx+n岁死亡的人数nqxx岁的人在xx+n岁死亡的概率nLxx岁的
3、人在xx+n岁生存的人年数dxx岁的人群未来累积生存人年数1.2.2生存分布生存分布生存函数x岁余寿的生存函数x岁整值余寿的概率函数死亡力整值平均余寿与中值余寿10生存函数生存函数11生命表描述了人口在整数年龄上存活和死亡的规律，但实际上年龄是人出生后存活时间的度量，它是一个连续随机变量，如果设新生儿未来存活时间或者说新生儿的死亡年龄为X，它是一个连续的随机变量，其分布函数为：F(x)=Pr(Xx)；s(x)=1-F(x)=Pr(Xx)（x0）它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0，s(x)称为生存函数。x岁余寿的生存函数岁余寿的生存函数12以(x)表示年龄是x岁的人，(x)的余寿以连续
4、随机变量T(x)表示，其概率分布函数为：G(t)=P rT(x)t （t0）它正是x岁的人在t时间内死亡的概率tqx T(x)的存活函数为：1-G(t)=PrT(x)t，（t0）它正是x岁的人在t时间内存活的概率 tpx x岁整值余寿的概率函数岁整值余寿的概率函数13在寿险精算中，年龄变量通常取整数，它实际上是上述T(x)的整数部分。这里定义K(x)为T(x)的整数部分，即K(x)k，当k(x)k+1时，k=0,1,2它是(x)未来存活的整数年数，称为(x)的整值余寿，其概率分布函数为：rK(x)=k=Pr(kTm(x)=1/2xkkkkxxkxqkqpkEK(x)e00 1.2.3选择生命表
5、和终极生命表选择生命表和终极生命表在保险精算中反映被保险人死亡规律的经验生命表与人口生命表是不同的，保险只提供给符合健康标准的人，因此，在年龄相等时，有理由认为刚买保险的人比已经买若干年保险的人死亡率更低。因此，在对被保险人依一定的健康标准加以选择后，一组被保险人的死亡率不仅随年龄而变动，而且随已投保年限长短变动。依据选择效果已经消失后的死亡率资料编制的生命表称为终极表，显然，在同一年龄上终极表的死亡概率更高。161.2.4非整数年龄存活函数的估计非整数年龄存活函数的估计死亡均匀分布假设死亡力恒定假设巴尔杜奇(Balducci)假设171.3多减因表多减因表1.3.1基本函数1.3.2减因力1.3.3联合单减因表18
